Bac Gabon 2022
Série C-SI
Durée : 4 heures
Coefficient : 5
L'usage de la calculatrice est autorisé
5 points exercice 1
Questions à choix multiples
Pour chacune des questions ,
une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple : Question 1 Réponse A .
Une bonne réponse rapporte
1 pt , une mauvaise fait perdre
0,5 point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point . Si le total des points est négatif , la note de cet exercice est ramenée à zéro .
1. Soit
)
l'équation différentielle

.
Les solutions de cette équation sont de la forme :
2. Chez l'hommel'angine peut être provoquée soit par une bactérie , soit par un virus . On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans

des cas . Sur un échantillon de
)
hommes la probabilité d'obrenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :
3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
)
. On considère les points

d'affixes respectives

.
L'ensemble des points

d'affixe

tels que

est :
4. L'intégrale
\text{ d}x)
est égale à :
5. Soient

et

deux rotations de centres respectifs

d'angles respectifs

et

avec

.

est le point du plan tel que
=C)
. La composée

est :
5 points exercice 2
Isométries de l'espace
Dans l'espace
)
muni d'un repère orthonormé
)
, on considère les points
\text{ , }A\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{7}{3}\right))
et l'application

de l'espace
 \text{ dans } (\mathcal{E}))
d'expression analytique :

.
1. Déterminer
)
.
2. Soit
)
un point de l'espace et
)
son image par

.
a) Démontrer que
\vec{u}\text{ avec }\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k})
.
b) Démontrer que l'ensemble
 )
des points invariants par

est le plan d'équation :

.
c) Justifier que la droite
)
est orthogonale à
)
.
d) Démontrer que le milieu

du segment
![[MM']](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[MM'])
appartient au plan
)
.
e) En déduire la nature de

.
3. Soit
)
la droite passant par

et dirigée par le vecteur

.
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de
)
est :
)
.
b) Justifier que la droite
)
est orthogonale au plan
)
.
c) Déterminer les coordonnées du point

intersection de
)
et
)
.
4. Soit
})
le démi-tour d'axe
)
.
a) Déterminer l'expression analytique de
})
.
b) Déterminer la nature de
} \circ f)
, puis montrer que
}\circ f(A)=E)
.
4 points exercice 3
Arithmétique - Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite
Soit
_{n\in\N})
une suite de nombres entiers naturels définie par :

.
1-a) Calculer

.
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par

et

des termes de cette suite ?
2-a) Démontrer que pour tout entier naturel
![n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4])
.
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
![n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4])
.
c) En déduire que pour tout entier naturel
![n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4])
.
3. On considère la suite
)
définie sur

par :

.
a) Démontrer que la suite
)
est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) En déduire que pour tout entier naturel
)
.
c) En utilisant le théorème de Gauss , montrer que pour tout entier naturel
![n\text{ : }u_n\equiv 0[17]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\text{ : }u_n\equiv 0[17])
.
4. Conclure sur la divisibilité par

et

des termes de la suite
)
.
6 points exercice 4
Etude d'une famille de fonctions - Calcul intégral
Soit

un entier naturel non nul .
On considère la fonction

définie sur

par :
=1+xe^{-nx+1})
.
)
est sa courbe représentative dans le repère orthonormé
)
.
1. Calculer les limites de

aux bornes de son ensemble de définition . Si possible , Interpréter graphiquement les résultats .
2. On note

la fonction dérivée de

.
a) Montrer que pour tout réel
=(1-nx)e^{-nx+1})
.
b) Calculer
)
puis dresser le tableau de variation de

.
3-a) Démontrer que l'équation
=0)
admet une unique solution

sur

.
b) En déduire le signe de

sur

.
4-a) Démontrer que toutes les courbes
)
passent par un point commun

dont on précisera les coordonnées .
b) Déterminer une équation de la tangente
)
à
)
en

.
5. Construire
,(C_2)\text{ et }(T))
.
6. On pose pour tout entier naturel non nul
\text{ d}x)
.
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul

.
b) Démontrer que la suite
)
est décroissante .
c) Déduire alors la convergence de la suite
)
.
d) A l'aide d'une intégration par parties , démontrer que pour tout entier naturel non nul
+\dfrac{e}{n^2}+1)
.
e) En déduire la limite de la suite
)
.