Fiche de mathématiques
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Bac Gabon 2022

Série C-SI

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Durée : 4 heures
Coefficient : 5


L'usage de la calculatrice est autorisé


5 points

exercice 1

Questions à choix multiples

Pour chacune des questions , une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple : Question 1 Réponse A .
Une bonne réponse rapporte 1 pt , une mauvaise fait perdre 0,5 point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point . Si le total des points est négatif , la note de cet exercice est ramenée à zéro .

1. Soit (E) l'équation différentielle y''+\omega^2y=0 .
Les solutions de cette équation sont de la forme :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline (A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{2x}&(Ax+B)e^{\omega x}&A \cos\omega x+B\sin\omega x&(Ax+B)e^{-\omega x}\\\hline \end{array}


2. Chez l'homme l'angine peut être provoquée soit par une bactérie , soit par un virus . On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans 20\% des cas . Sur un échantillon de n\enskip (n\geq 2) hommes la probabilité d'obtenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}&\text{ Aucune réponse n'est juste}\\\hline \end{array}


3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{u},\vec{v}) . On considère les points A\text{ et }B d'affixes respectives -1+2i\text{ et }i .
L'ensemble des points M d'affixe z tels que |i\bar{z}-2+i|=|z-i| est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \text{Un cercle de}&\text{La médiatrice du}&\text{Aucune réponse}&\text{Une sphère de}\\\text{diamètre }[AB]&\text{segment }[AB]&\text{n'est juste}&\text{diamètre }[AB]\\\hline \end{array}


4. L'intégrale \displaystyle\int_{e^2}^{e^3}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\text{ d}x est égale à :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\\hline \end{array}


5. Soient g et h deux rotations de centres respectifs A\text{ et }B d'angles respectifs \theta et -\theta avec \theta\neq 0 . C est le point du plan tel que h^{-1}(A)=C . La composée h\circ g est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \text{Une symétrie de}&\text{Une translation de}&\text{Une translation de}&\text{Un anti déplacement}\\\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA}&\\\hline \end{array}


5 points

exercice 2

Isométries de l'espace

Dans l'espace (\mathcal{E}) muni d'un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) , on considère les points E(2;1;1)\text{ , }A\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{7}{3}\right) et l'application f de l'espace (\mathcal{E}) \text{ dans } (\mathcal{E}) d'expression analytique : \begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases} .

1. Déterminer f(A) .

2. Soit M(x;y;z) un point de l'espace et M'(x';y';z') son image par f .
a) Démontrer que \overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}\text{ avec }\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} .
b) Démontrer que l'ensemble (\pi) des points invariants par f est le plan d'équation : x-y+z+3=0 .
c) Justifier que la droite (MM') est orthogonale à (\pi) .
d) Démontrer que le milieu K du segment [MM'] appartient au plan (\pi) .
e) En déduire la nature de f .

3. Soit (D) la droite passant par E et dirigée par le vecteur \vec{u} .
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de (D) est : \begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\enskip (t\in\R) .
b) Justifier que la droite (D) est orthogonale au plan (\pi) .
c) Déterminer les coordonnées du point K intersection de (D) et (\pi) .

4. Soit S_{(D)} le demi-tour d'axe (D) .
a) Déterminer l'expression analytique de S_{(D)} .
b) Déterminer la nature de S_{(D)} \circ f , puis montrer que S_{(D)}\circ f(A)=E .

4 points

exercice 3

Arithmétique - Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite

Soit (u_n)_{n\in\N} une suite de nombres entiers naturels définie par : \begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=17+3u_n\end{cases} .

1-a) Calculer u_1,u_2,u_3\text{ et }u_4 .
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par 4 et 17 des termes de cette suite ?

2-a) Démontrer que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4] .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4] .
c) En déduire que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4] .

3. On considère la suite (v_n) définie sur \N par : v_n=u_n+\dfrac{17}{2} .
a) Démontrer que la suite (v_n) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) En déduire que pour tout entier naturel n\text{ : }2u_n=17(3^n-1) .
c) En utilisant le théorème de Gauss , montrer que pour tout entier naturel n\text{ : }u_n\equiv 0[17] .

4. Conclure sur la divisibilité par 4 et 17 des termes de la suite (u_n) .

6 points

exercice 4

Etude d'une famille de fonctions - Calcul intégral

Soit n un entier naturel non nul .
On considère la fonction f_n définie sur \R par : f_n(x)=1+xe^{-nx+1} .
(C_n) est sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O,I,J) .

1. Calculer les limites de f_n aux bornes de son ensemble de définition . Si possible , Interpréter graphiquement les résultats .

2. On note f'_n la fonction dérivée de f_n .
a) Montrer que pour tout réel x\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1} .
b) Calculer f_n\left(\dfrac{1}{n}\right) puis dresser le tableau de variation de f_n .

3-a) Démontrer que l'équation f_n(x)=0 admet une unique solution \varphi_n sur \R .
b) En déduire le signe de f_n sur \R .

4-a) Démontrer que toutes les courbes (C_n) passent par un point commun A dont on précisera les coordonnées .
b) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C_n) en A .

5. Construire (C_1),(C_2)\text{ et }(T) .

6. On pose pour tout entier naturel non nul n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x .
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n\text{ : }1\leq W_n\leq 1+\dfrac{e}{2} .
b) Démontrer que la suite (W_n) est décroissante .
c) Déduire alors la convergence de la suite (W_n) .
d) A l'aide d'une intégration par parties , démontrer que pour tout entier naturel non nul n\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1 .
e) En déduire la limite de la suite (W_n) .







exercice 1



1) La réponse correcte est C

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2) La réponse correcte est B

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3) La réponse correcte est B

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4) La réponse correcte est A

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5) La réponse correcte est C

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exercice 2



1) Déterminons les coordonnées (x';y';z') du point f(A) , l'image de A par f\text{ :}

 \begin{matrix}\begin{cases} 3x'=x_A+2y_A-2z_A-6\\3y'=2x_A+y_A+2z_A+6\\3z'=-2x_A+2y_A+z_A-6\end{cases} &\iff&  \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(x_A+2y_A-2z_A-6)\\y'=\dfrac{1}{3}(2x_A+y_A+2z_A+6)\\z'=\dfrac{1}{3}(-2x_A+2y_A+z_A-6)\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{4}{3}+2\times\dfrac{13}{3}+2\times\dfrac{7}{3}-6\right)\\y'=\dfrac{1}{3}\left(-2\times \dfrac{4}{3}+\dfrac{13}{3}-2\times\dfrac{7}{3}+6\right)\\z'=\dfrac{1}{3}\left(-2\times\dfrac{4}{3}+2\times\dfrac{13}{3}-\dfrac{7}{3}-6\right)\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x'=2 \\y'=1\\z'=1\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x'=x_E\\y'=y_E\\z'=z_E\end{cases}\end{matrix}

Conclusion:

\boxed{f(A)=E}


2-a) On a:

\begin{matrix}\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix} x_{M'}-x_M\\y_{M'}-y_M\\z_{M'}-z_M\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)-x\\\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)-y\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)-z\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6-3x)\\\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6-3y)\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6-3z)\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(-2x+2y-2z-6)\\\dfrac{1}{3}(2x-2y+2z+6)\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y-2z-6)\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\\-\dfrac{2}{3}(-(x-y+z+3))\\-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\end{pmatrix}\\&=&-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix} \end{matrix}

Donc:
\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\left(\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\right) \Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}}


b) Soit M(x;y;z) un point de l'espace \text{  et soit }  M'(x';y';z') \text{ son image par } f\text{ , alors: }

\begin{matrix}M\in(\pi)&\iff& M'=M&\iff& \overrrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM}\\&\iff& \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}&\iff& -\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}=\overrightarrow{0} \\&\iff& x-y+z+3=0&&\text{( En effet : }\vec{u}\neq\vec{0}\text{ )} \end{matrix}

On en tire que:

\boxed{\text{L'ensemble }(\pi) \text{ des points invariants par }f \text{ est le plan d'équation : }x-y+z+3=0}


c) Les coordonnées du vecteur \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \text{ sont: }\vec{u}\left((1;0;0)-(0;1;0)+(0;0;1)\right)=\blue (1;-1;1).

Donc \vec{u} est un vecteur normal au plan (\pi) car il est d'équation: x-y+z+3=0\enskip\iff\enskip \blue 1\black\times x+\blue(-1)\black\times y+\blue 1\black\times z+3=0

Et en sachant que (d'après 2-a) ) le vecteur \overrightarrow{MM'} \text{ est proportionnel au vecteur }\vec{u} , alors le vecteur \overrightarrow{MM'} est aussi un vecteur normal au plan (\pi) .

Ce qui veut dire que:

\boxed{\text{ La droite }(MM')\text{ est orthogonale au plan }(\pi)}


d) Les coordonnées du point K milieu du segment [MM'] s'écrivent:

\begin{cases} x_K=\dfrac{x+x'}{2}=\dfrac{3x+3x'}{6}=\dfrac{3x+x+2y-2z-6}{6}=\dfrac{4x+2y-2z-6}{6} \\ y_K=\dfrac{y+y'}{2}=\dfrac{3y+3y'}{6} =\dfrac{3y+2x+y+2z+6}{6}=\dfrac{2x+4y+2z+6}{6}\\ z_K=\dfrac{z+z'}{2}=\dfrac{3z+3z'}{6}=\dfrac{3z-2x+2y+z-6}{6}=\dfrac{-2x+2y+4z-6}{6} \end{cases}


Si les coordonnées de K vérifient l'équation du plan (\pi)\text{ , alors }K\in (\pi) , calculons alors x_K-y_K+z_K+3\text{ : }

\begin{matrix}x_K-y_K+z_K+3&=& \dfrac{4x+2y-2z-6-(2x+4y+2z+6)+(-2x+2y+4z-6)}{6}+3\\&=& \dfrac{4x+2y-2z-6-2x-4y-2z-6-2x+2y+4z-6}{6}+3\\&=& \dfrac{-3\times 6 }{6}+3\\&=&0\end{matrix}

On en déduit que x_K-y_K+z_K+3=0\text{ , et donc } les coordonnées de K vérifient l'équation de (\pi)\text{, d'où : }

\boxed{K\in(\pi)}


e) Soit M(x;y;z) un point de l'espace et M'(x';y';z') son image par f .

D'après ce qui précède:

La droite (MM')\perp(\pi) .

Le point K milieu du segment [MM'] appartient à (\pi).

On en déduit que:

\boxed{f\text{ est la symétrie orthogonale par rapport à }(\pi)}


3-a) (D) étant la droite passant par E(2;1;1) et dirigée par le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}

Soit M(x;y;z) un point de l'espace appartenant à la droite (D) .

Donc:

\exists t\in\R\text{ tel que }\overrightarrow{EM}=t\vec{u}\iff \begin{cases}x-x_E=t \\y-y_E=-t\\z-z_E=t\end{cases}\text{ ; }t\in\R\iff \boxed{ (D)\text{ : }\begin{cases} x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\text{ ; }t\in\R }

b) Le vecteur directeur \vec{u} de la droite (D) est un vecteur normal au plan (\pi) , d'où:

\boxed{\text{La droite }(D) \text{ est orthogonale au plan }(\pi) }


c) Admettons que le point K(x_K;y_K;z_K) est le point d'intersection de (D) et (\pi)

Donc ses coordonnées vérifient:

\begin{cases} x_K=2+t\\y_K=1-t\\z_K=1+t \end{cases}\text{ ; }t\in\R\enskip\enskip\text{ et } \enskip\enskip x_K-y_K+z_K+3=0

Ce qui permet de trouver le réel t qui convient:

x_K-y_K+z_K+3=0\iff 2+t-1+t+1+t+3=0 \iff 3t=-5\iff t=-\dfrac{5}{3}

Et on en tire les coordonnées du point K recherchées:

\begin{cases} x_K=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3}\\y_K=1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}\\z_K=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3} \end{cases}\iff \boxed{K\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3}\right) }


4-a) Soit S_{(D)} le demi-tour d'axe (D).

Soit M(x;y;z) un point de l'espace \text{  , soit }  M'(x';y';z') \text{ son image par } S_{(D)}\text{ et soit } L\left(\dfrac{x+x'}{2};\dfrac{y+y'}{2};\dfrac{z+z'}{2}\right) \text{ le milieu de }[MM']\text{ , alors: }

Donc:
(MM')\perp(D) \text{ et }L\in(D) .


Et puisque \vec{u} est directeur de (D) , donc: \begin{cases} \overrightarrow{MM'}\text{ . }\vec{u}=0 \\ L\in(D) \end{cases}

En sachant que (D):\begin{cases} x=2+t\\y=1-t\\z=1+t \end{cases}\text{, }t\in\R \enskip\enskip \text{ , }\enskip \vec{u}(1;-1;1)\enskip\text{  et }\enskip \overrightarrow{MM'}(x'-x;y'-y;z'-z) .

On obtient:

\begin{matrix}\begin{cases} \overrightarrow{MM'}\text{ . }\vec{u}=0 \\ L\in(D) \end{cases} &\iff& (x'-x)\times 1 +(y'-y)\times(-1)+(z'-z)\times 1 =0 \enskip\text{ et }\enskip\begin{cases} \dfrac{x'+x}{2}=2+t\\\dfrac{y'+y}{2}=1-t\\\dfrac{z'+z}{2}=1+t \end{cases} \\\\&\iff& x'-x-y'+y+z'-z=0\enskip\text{ et }\enskip\begin{cases} x'=4+2t-x\\y'=2-2t-y\\z'=2+2t-z \end{cases} \end{matrix}

Dès lors, on en tire l'expression de t en fonction de x\text{ , }y\text{ et }z\text{ : }

\begin{matrix} x'-x-y'+y+z'-z=0 &\iff& 4+2t-x-x-(2-2t-y)+y+2+2t-z-z=0 \\\\&\iff& -2x+2y-2z+-t+4=0 \\\\&\iff& -x+y-z+3t+2=0\\\\&\iff& t=\dfrac{1}{3}\left( x-y+z-2\right)\end{matrix}

Finalement, en remplaçant t par son expresion dans \begin{cases} x'=4+2t-x\\y'=2-2t-y\\z'=2+2t-z \end{cases} .

On déduit \begin{cases} x'=-x+4+\dfrac{2}{3}(x-y+z-2)\\y'=-y+2-\dfrac{2}{3}(x-y+z-2)\\z'=-z+2+\dfrac{2}{3}(x-y+z-2) \end{cases}

Donc:
\boxed{\text{L'expression analytique de }S_{(D)}\text{ : }\begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(-x-2y+2z+8)\\y'=\dfrac{1}{3}(-2x-y-2z+10)\\z'=\dfrac{1}{3}(2x-2y-z+2) \end{cases}}


b) Soit M(x;y;z) un point de l'espace \text{  , soit }  M'(x';y';z') \text{ son image par } f\text{ et soit } M''(x'';y'';z'') \text{ l'image de }M'\text{ par } S_{(D)}\text{ :}

On a donc:

M''=S_{(D)}(M')\iff \begin{cases} x''=\dfrac{1}{3}(-x'-2y'+2z'+8)\\y''=\dfrac{1}{3}(-2x'-y'-2z'+10)\\z''=\dfrac{1}{3}(2x'-2y'-z'+2) \end{cases}

  M'=f(M)\iff \begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases}\iff \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)\\y'=\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)\\z'=\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)\end{cases}

Et on écrit les coordonnées de M'' en fonction des coordonnées de M pour trouver l'expression analytique de S_{(D)}\circ f \text{ : }

x''=\dfrac{1}{3}(-x'-2y'+2z'+8) = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{2}{3}(2x+y+2z+6)+\dfrac{2}{3}(-2x+2y+z-6)+8\right)=-x+\dfrac{2}{3}

y''=\dfrac{1}{3}(-2x'-y'-2z'+10) = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)-\dfrac{2}{3}(-2x+2y+z-6)+10\right)=-y+\dfrac{16}{3}

z''=\dfrac{1}{3}(2x'-2y'-z'+2) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{2}{3}(2x+y+2z+6)-\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)+2\right)=-z-\dfrac{4}{3}

Ainsi:

M''=S_{(D)}\circ f(M) \iff \begin{cases} x''=-x+\dfrac{2}{3} \\y''=-y+\dfrac{16}{3} \\z''=-z-\dfrac{4}{3}\end{cases}\iff \begin{cases} x''=-x+2\times \dfrac{1}{3} \\y''=-y+2\times \dfrac{8}{3} \\z''=-z+2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\end{cases} \iff \begin{cases} x''=-x+2x_K \\y''=-y+2y_K \\z''=-z+2z_K\end{cases}

Conclusion:

\boxed{S_{(D)}\circ f \text{ est une symétrie centrale de centre }K }


Montrons que S_{(D)}\circ f(A)=E :

Puisque E\in(D)\text{ , alors }S_{(D)}(E)=E \text{ , et d'après 1)  }f(A)=E \text{ , donc :  }

S_{(D)}\circ f(A)=S_{(D)}\left(f(A)\right)=S_{(D)}(E)=E \Longrightarrow \boxed{S_{(D)}\circ f(A)=E}



exercice 3



1-a) Calcul direct:

u_1=17+3u_0=17
u_2=17+3u_1=17+51=68
u_3=17+3u_2=17+3\times 68=221
u_4=17+3u_3=17+3\times 221=680
Récapitulation:

\boxed{\begin{matrix} u_1=17 & u_2=68 \\ u_3=221& u_4=680\end{matrix}}


b) On a:

17/17\Longrightarrow 17/u_1
68=4\times 17\Longrightarrow 17/u_2\text{ et }4/u_2
221=13\times 17 \Longrightarrow 17/u_3
680=68\times 10\Longrightarrow u_2/u_4\Longrightarrow 17/u_4\text{ et }4/u_4

On peut donc conjecturer que:

\boxed{\begin{matrix}\text{ Tous les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }17 \\ \text{ Les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }4\text{ si et seulement si }n\text{ est pair}\end{matrix}}


2-a) On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+2}=17+3u_{n+1}=17+3\left(17+3u_n\right)=9u_n+68


Et puisque 9\equiv 1[4] \enskip\text{ et }\enskip 68\equiv 0[4] , alors:

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4] }


b) Démontrons par récurrence que :
\forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]


Initialisation: Pour n=0\text{ , } u_{2\times 0 }=u_0=0  \text{ , donc }u_0\equiv 0[4] \text{ (évident)}

Hérédité: Supposons que pour un entier naturel n fixé, on a u_{2n}\equiv 0[4]\text{, } montrons que dans ce cas, on a u_{2(n+1)}\equiv 0[4] .

On a, d'après la question précédente, u_{2(n+1)}=u_{2n+2}\equiv u_{2n}[4]

Or, on a supposé que u_{2n}\equiv 0[4] , il s'ensuit que u_{2(n+1)}\equiv 0[4]

L'hérédité est donc bien vérifiée.

Conclusion: On déduit par récurrence que:

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4] }


c) On a, pour tout entier naturel n :

u_{2n+1}=17+3u_{2n}


Et puisque  17\equiv 1[4]\enskip\text{ et }\enskip \forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4] , alors:

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4] }


3-a) Soit (v_n) la suite définie sur \N par : v_n=u_n+\dfrac{17}{2} .

On a, pour tout entier naturel n\text{ :}

v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{17}{2}=17+3u_n+\dfrac{17}{2}=3u_n+3\times\dfrac{17}{2}=3\left(u_n+\dfrac{17}{2}\right)=3v_n

De plus: v_0=u_0+\dfrac{17}{2}=\dfrac{17}{2}

\text{ Récapitulons: }\begin{cases}v_0=\dfrac{17}{2} \\\\ \forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}=3v_n\end{cases}\text{ , donc: }

\boxed{(v_n)_{n\in\N} \text{ est une suite géométrique de raison }q=3\text{ et de premier terme }v_0=\dfrac{17}{2}}


b) On a trouvé que (v_n) est une suite géoémtrique de raison q=3 avec v_0=\dfrac{17}{2} , alors:

\forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0 q^n=\dfrac{17}{2} \times 3^n


Il s'ensuit que, pour tout entier naturel n\text{ : } : u_n+\dfrac{17}{2}=\dfrac{17}{2} \times 3^n \iff u_n= \dfrac{17}{2} \times 3^n -\dfrac{17}{2}\iff u_n =\dfrac{17}{2}\left(3^n-1\right)

Ou encore:

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }2u_n=17(3^n-1)}


c) Puisque \forall n\in\N\text{ : }2u_n=17(3^n-1)

Donc pour tout entier naturel n\text{ : } 2/17(3^n-1).

Or, \text{ pgcd}(2;17)=1 . Donc d'après le théorème de Gauss: \forall n\in\N\text{ : }2/3^n-1

Par suite, il existe un entier naturel k\text{ tel que, pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=17k

par conséquent:

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n\equiv 0[17]}


d) On sait d'après la 2) que: \forall n\in\N\text{ : }\begin{cases} u_{2n}\equiv 0[4] \\ u_{2n+1}\equiv 1[4] \end{cases} . Et d'après la question précédente: \forall n\in\N\text{ : }u_n\equiv 0[17]

Nous avons donc démontrer les conjectures faites en 1-b) , à savoir:

\boxed{\begin{matrix}\text{ Tous les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }17 \\ \text{ Les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }4\text{ si et seulement si }n\text{ est pair}\end{matrix}}



exercice 4



Pour tout entier naturel non nul n , On considère la fonction f_n définie sur \R par : f_n(x)=1+xe^{-nx+1}

1) Pour tout n\in\N^*\text{ , } la fonction f_n est une fonction en exponentielle, donc l'ensemble de définition est D_{f_n}=\R=]-\infty;+\infty[ .

La limite en +\infty\text{ : }

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim_{x\to +\infty}1+xe^{-nx+1}=\lim_{x\to+\infty} 1+\dfrac{x}{-nx+1} (-nx+1)e^{-nx+1}

Or, pour tout entier naturel non nul n\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to+\infty} -nx+1 =-\infty

\text{Donc en posant }t=-nx+1 \text{ , }\enskip \displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-nx+1)e^{-nx+1}=\lim_{t\to-\infty} te^t=0

De plus: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{-nx+1} =\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{-nx}=-\dfrac{1}{n}

Dès lors: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim_{x\to+\infty} 1+\dfrac{x}{-nx+1} (-nx+1)e^{-nx+1}=1-\dfrac{1}{n}\times 0 = 1

\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N^*\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=1} \underbrace{\Longrightarrow}_{\text{ Interprétation graphique }}\boxed{\begin{matrix}\text{ La droite d'équation }y=1\text{ est une asymptote horizontale aux courbes }\\ (C_n) \text{ au voisinage de }+\infty\end{matrix}}

La limite en +\infty\text{ : }

Pour tout entier naturel non nul n\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to-\infty} -nx+1 =+\infty , donc \displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^{-nx+1} =+\infty

Il s'ensuit que: \displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{-nx+1} =-\infty

On obtient: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_n(x)=\lim_{x\to-\infty} 1+xe^{-nx+1}=1-\infty = -\infty

\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N^*\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}

Interprétation graphique: Il faut calculer la limite \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1+xe^{-nx+1}}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x}+e^{-nx+1}=0+\infty = +\infty

\boxed{\begin{matrix}\text{ Les courbes } (C_n) \text{ admettent une branche parabolique de la direction celle }\\ \text{ de l'axe des ordonnées  au voisinage de }-\infty\end{matrix}}


2-a) Pour tout entier naturel non nul n\text{ , } la fonction f_n est dérivable sur \R comme produit d'une fonction en exponentielle et d'une fonction polynômiale dérivables sur \R.

Pour tout réel x\text{ : }

\begin{matrix} f'_n(x)&=&\left(1+xe^{-nx+1}\right)'&=& e^{-nx+1}+x(-nx+1)'e^{-nx+1}&=& e^{-nx+1}+-nxe^{-nx+1}&=& (1-nx)e^{-nx+1}\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1}}


b) Pour tout n\in\N^{*}\text{ : }e^{-nx+1}>0 \text{ pour tout }x\in\R . Donc le signe de f'_n(x) est celui de (1-nx) qui a clairement pour racine \dfrac{1}{n}.

Donc:

\begin{matrix}\bullet &\forall x\in \left]-\infty; \dfrac{1}{n}\right[\text{ : }1-nx>0 &\Longrightarrow &f'_n(x)>0 \\ \bullet &  x=\dfrac{1}{n}\text{ : }1-nx=0&\Longrightarrow& f'_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=0\\ \bullet &\forall x\in \left]\dfrac{1}{n};+\infty \right[\text{ : }1-nx<0 &\Longrightarrow& f'_n(x)<0 \end{matrix}


D'où:

\begin{matrix}\bullet &f_n \text{ est strictement croissante sur } \left]-\infty; \dfrac{1}{n}\right[ \\ \bullet & f_n \text{ admet un maximum en }\dfrac{1}{n} \\ \bullet &f_n \text{ est strictement décroissante sur } \left]\dfrac{1}{n};+\infty \right[ \end{matrix}


Finalement: f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=1+\dfrac{1}{n}\times e^{-n\times \frac{1}{n}+1}=1+\dfrac{1}{n}e^0=1+\dfrac{1}{n}\Longrightarrow \boxed{f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{n+1}{n}}

Et on dresse le tableau de variations de f_n\text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & -\infty     &             & 1/n &        &   +\infty                                          \\ \hline f_n'(x)        &   & +              &\barre{0}      & -     &                                   \\ \hline       &   &       &       \frac{n+1}{n}   & &      \\  f_n               &   &\nearrow&          &     \searrow       &                                   \\	             &         -\infty  &        &  & &            1                                 \\  \hline \end{array}}


3-a) Soit n un entier naturel non nul.

Sur \left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[ \text{ :}

f_n est continue car dérivable sur cet intervalle, de plus elle est strictement décroissante sur cet intervalle.

Donc f_n réalise une bijection de \left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[ vers f_n\left(\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[\right)=\left]1;\dfrac{n+1}{n}\right].

Or 0<1 , donc pour tout entier non nul n\text{ : } 0\notin \left]1;\dfrac{n+1}{n}\right]

On en déduit que:
f_n(x)=0 \text{ n'admet pas de solution sur l'intervalle }\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[ \enskip (I)


Sur \left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right] \text{ :}

f_n est continue car dérivable sur cet intervalle, de plus elle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc f_n réalise une bijection de \left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right] vers f_n\left(\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right]\right)=\left]-\infty;\dfrac{n+1}{n}\right].

Or, pour tout entier non nul n\text{ : }0<\dfrac{n+1}{n}, donc 0\in\left]-\infty;\dfrac{n+1}{n}\right]

On en déduit que:
f_n(x)=0 \text{ admet une unique solution qu'on note }\varphi_n\text{ sur l'intervalle }\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right]  \enskip (II)


Conclusion: de (I)\text{ et }(II)\text{ : }

\boxed{f_n(x)=0 \text{ admet une unique solution }\varphi_n\text{ sur }\R}


b) Complétons le tableau de variations de f_n avec les résultats trouvés ci-dessus:

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x     & -\infty     &  &\varphi_n&           & 1/n &        &   +\infty                                          \\ \hline f_n'(x)        &  & +& \barre{} & +              &\barre{0}      & -     &                                   \\ \hline       &  && &       &       \frac{n+1}{n}   & &      \\  f_n               &&&   &\nearrow&          &     \searrow       &              \\                 &&& 0  &&          &          &      1                       \\                 &&\nearrow&   &&          &            &                                                              \\	             &         -\infty  &       && &  & &                                             \\  \hline \end{array}}


On en tire que, pour tout entier naturel non nul n\text{ :}

\boxed{\begin{matrix}\bullet &\forall x\in \left]-\infty; \varphi_n\right[\text{ : }&f_n(x)<0 \\ \bullet &  f_n(\varphi_n)=0&\\ \bullet &\forall x\in \left]\varphi_n;+\infty \right[\text{ : }& 0<f_n(x) \end{matrix}}


4-a) Toutes les courbes (C_n) passent par un point commun A d'abscisses x_A si et seulement si, pour tout n_1\text{ et }n_2\in\N^{*}\text{ : }f_{n_{1}}(x_A)=f_{n_{2}}(x_A) .

Cela se réalise si pour tout entier n \neq 0 \text{ : }f_n(x_A) est indépendant de n.

On remarque que, pour tout n\in\N^{*}\text{ : }f_n(0)=1+0\times e =1

Ce qui implique que:

\boxed{\text{ Toutes les courbes }(C_n) \text{ passent par le point commun } A(0;1)=J}


b) Une équation de la tangente (T) à (C_n) en A(0;1) s'écrit:

(T)\text{ : }y=f_n'(0)(x-0)+f_n(0)


On a f_n(0)=1 , calculons f'_n(0)\text{ : }f'_n(0)=(1-n\times 0)e^{-n\times 0+1} =e^1=e

Conclusion:

\boxed{\text{ Une équation de la tangente aux }(C_n) \text{ au point }A=J\text{ s'écrit : }(T)\text{ : }y=ex+1}


5) Graphique:

Bac Gabon 2022 série C-SI : image 1


6-a) On a, pour tout entier naturel non nul n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x .

Pour tout x\in[0;1]\text{ : }0< e^{-nx+1} \text{ , donc } 0\leq xe^{-nx+1}\text{ , il s'ensuit que } 1\leq f_n(x)=1+xe^{-nx+1} \enskip (I)

D'autre part, pour tout entier naturel non nul n\text{ , } f_n(x)\leq f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=1+\dfrac{1}{n}

Or, on a d'une part e\approx 2,71 \Longrightarrow 1\leq \dfrac{e}{2} \text{ , et d'autre part, pour tout entier }n\in\N^{*}\text{ : } \dfrac{1}{n}\leq 1 \text{ , d'où } \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{e}{2} \Longrightarrow 1+\dfrac{1}{n} \leq 1+\dfrac{e}{2}

On en tire, pour tout x\in[0;1]\text{ : }f_n(x)\leq 1+\dfrac{e}{2}\enskip (II)

De (I)\text{ et }(II)\text{ : }

\forall x\in[0;1]\text{ : }1\leq f_n(x)\leq 1+\dfrac{e}{2}


On obtient:

\displaystyle \int_{0}^{1}\text{ d}x\leq  \int_{0}^{1} f_n(x) \text{ d}x\leq \int_{0}^{1}1+\dfrac{e}{2} \text{ d}x


Ou encore:

\boxed{\displaytstyle 1\leq  W_n \leq 1+\dfrac{e}{2} \text{ , pour tout entier }n\in\N^{*} }


b) Pour tout entier naturel non nul n\text{ : }

W_{n+1}-W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_{n+1}(x)\text{ d}x-\int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x=\int_{0}^{1}(f_{n+1}(x)-f_n(x))\text{ d}x= \int_{0}^{1}xe^{-(n+1)x+1}-xe^{-nx+1}\text{ d}x= \int_{0}^{1}xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\text{ d}x

Or, pour tout x\in[0;1]\text{ : }xe^{-nx+1}> 0 . De plus, -x\leq 0 \Longrightarrow e^{-x}\leq e^0=1 \Longrightarrow e^{-x}-1\leq 0

On en déduit que pour tout x\in[0;1]\text{ : }xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\leq 0  .

Il s'ensuit alors que: \forall n\in\N^{*}\text{ : }W_{n+1}-W_n= \displaystyle\int_{0}^{1}xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\text{ d}x\leq 0

D'où:

\boxed{(W_n)_{n\in\N^*} \text{ est une suite décroissante}}


c) La suite (W_n) est minorée par 1 d'après 6-a) , de plus, elle est décroissante d'après 6-b), donc:

\boxed{(W_n)_{n\in\N^*} \text{ est une suite convergente}}


d) Pour tout n\in\N^*\text{ : }

W_n=\displaystyle  \int_{0}^{1} f_n(x) \text{ d}x=\int_0^1 1+xe^{-nx+1}\text{ d}x =\int_0^1\text{ d}x+\int_0^1 xe^{-nx+1}\text{ d}x=1+\int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x


Calculons \displaystyle \int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x en utilisant une intégration par parties:

\text{ On pose } \begin{cases}u(x)=x \\v'(x)=e^{-nx+1} \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\dfrac{1}{n}e^{-nx+1}\end{cases}

Donc:

\begin{matrix} \displaystyle \int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x&=& \displaystyle \left[-\dfrac{x}{n}e^{-nx+1}\right]_{0}^1 + \int_0^1\dfrac{1}{n} e^{-nx+1}\text{ d}x \\\\&=& \displaystyle -\dfrac{1}{n} e^{-n+1} -\dfrac{1}{n^2} \left[e^{-nx+1}\right]_0^1 \\\\&=& -\dfrac{1}{n}e^{-n+1}-\dfrac{1}{n^2} e^{-n+1}+\dfrac{e}{n^2} \\\\&=&-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}\end{matrix}

On en déduit que:

\forall n\in\N^*\text{ : }\displaystyle W_n=1+\int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x \Longrightarrow \boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1}


e) Directement:

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}W_n= \lim_{n\to+\infty}-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1=\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{1}{n}e^{-n+1}-\dfrac{1}{n^2}e^{-n+1}+\dfrac{e}{n^2}+1 = 0+0+0+1=1

Conclusion:
\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}W_n=1}
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