Fiche de mathématiques

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Bac Gabon 2022

Série C-SI

Durée : 4 heures
Coefficient : 5

L'usage de la calculatrice est autorisé

5 points

exercice 1

Questions à choix multiples

Pour chacune des questions , une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple : Question 1 Réponse A .
Une bonne réponse rapporte 1 pt , une mauvaise fait perdre 0,5 point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point . Si le total des points est négatif , la note de cet exercice est ramenée à zéro .

1. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y''+\omega^2y=0$ .
Les solutions de cette équation sont de la forme :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline (A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{2x}&(Ax+B)e^{\omega x}&A \cos\omega x+B\sin\omega x&(Ax+B)e^{-\omega x}\\\hline \end{array}$

2. Chez l'hommel'angine peut être provoquée soit par une bactérie , soit par un virus . On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans $20\%$ des cas . Sur un échantillon de $n\enskip (n\geq 2)$ hommes la probabilité d'obrenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}&\text{ Aucune réponse n'est juste}\\\hline \end{array}$

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$ . On considère les points $A\text{ et }B$ d'affixes respectives $-1+2i\text{ et }i$ .
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|i\bar{z}-2+i|=|z-i|$ est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Un cercle de}&\text{La médiatrice du}&\text{Aucune réponse}&\text{Une sphère de}\\\text{diamètre }[AB]&\text{segment }[AB]&\text{n'est juste}&\text{diamètre }[AB]\\\hline \end{array}$

4. L'intégrale $\displaystyle\int_{e^2}^{e^3}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\text{ d}x$ est égale à :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\\hline \end{array}$

5. Soient $g$ et $h$ deux rotations de centres respectifs $A\text{ et }B$ d'angles respectifs $\theta$ et $-\theta$ avec $\theta\neq 0$ . $C$ est le point du plan tel que $h^{-1}(A)=C$ . La composée $h\circ g$ est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Une symétrie de}&\text{Une translation de}&\text{Une translation de}&\text{Un anti déplacement}\\\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA}&\\\hline \end{array}$

5 points

exercice 2

Isométries de l'espace

Dans l'espace $(\mathcal{E})$ muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on considère les points $E(2;1;1)\text{ , }A\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{7}{3}\right)$ et l'application $f$ de l'espace $(\mathcal{E}) \text{ dans } (\mathcal{E})$ d'expression analytique : $\begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases}$ .

1. Déterminer $f(A)$ .

2. Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace et $M'(x';y';z')$ son image par $f$ .
a) Démontrer que $\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}\text{ avec }\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ .
b) Démontrer que l'ensemble $(\pi)$ des points invariants par $f$ est le plan d'équation : $x-y+z+3=0$ .
c) Justifier que la droite $(MM')$ est orthogonale à $(\pi)$ .
d) Démontrer que le milieu $K$ du segment $[MM']$ appartient au plan $(\pi)$ .
e) En déduire la nature de $f$ .

3. Soit $(D)$ la droite passant par $E$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ .
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de $(D)$ est : $\begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\enskip (t\in\R)$ .
b) Justifier que la droite $(D)$ est orthogonale au plan $(\pi)$ .
c) Déterminer les coordonnées du point $K$ intersection de $(D)$ et $(\pi)$ .

4. Soit $S_{(D)}$ le démi-tour d'axe $(D)$ .
a) Déterminer l'expression analytique de $S_{(D)}$ .
b) Déterminer la nature de $S_{(D)} \circ f$ , puis montrer que $S_{(D)}\circ f(A)=E$ .

4 points

exercice 3

Arithmétique - Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres entiers naturels définie par : $\begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=17+3u_n\end{cases}$ .

1-a) Calculer $u_1,u_2,u_3\text{ et }u_4$ .
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de cette suite ?

2-a) Démontrer que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4]$ .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]$ .
c) En déduire que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4]$ .

3. On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+\dfrac{17}{2}$ .
a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) En déduire que pour tout entier naturel $n\text{ : }2u_n=17(3^n-1)$ .
c) En utilisant le théorème de Gauss , montrer que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_n\equiv 0[17]$ .

4. Conclure sur la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de la suite $(u_n)$ .

6 points

exercice 4

Etude d'une famille de fonctions - Calcul intégral

Soit $n$ un entier naturel non nul .
On considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par : $f_n(x)=1+xe^{-nx+1}$ .
$(C_n)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ .

1. Calculer les limites de $f_n$ aux bornes de son ensemble de définition . Si possible , Interpréter graphiquement les résultats .

2. On note $f'_n$ la fonction dérivée de $f_n$ .
a) Montrer que pour tout réel $x\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1}$ .
b) Calculer $f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)$ puis dresser le tableau de variation de $f_n$ .

3-a) Démontrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $\varphi_n$ sur $\R$ .
b) En déduire le signe de $f_n$ sur $\R$ .

4-a) Démontrer que toutes les courbes $(C_n)$ passent par un point commun $A$ dont on précisera les coordonnées .
b) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_n)$ en $A$ .

5. Construire $(C_1),(C_2)\text{ et }(T)$ .

6. On pose pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x$ .
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }1\leq W_n\leq 1+\dfrac{e}{2}$ .
b) Démontrer que la suite $(W_n)$ est décroissante .
c) Déduire alors la convergence de la suite $(W_n)$ .
d) A l'aide d'une intégration par parties , démontrer que pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1$ .
e) En déduire la limite de la suite $(W_n)$ .

Publié par malou/Panter le 19-08-2022

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