Fiche de mathématiques
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Bac Gabon 2022

Série C-SI

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Durée : 4 heures
Coefficient : 5


L'usage de la calculatrice est autorisé


5 points

exercice 1

Questions à choix multiples

Pour chacune des questions , une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple : Question 1 Réponse A .
Une bonne réponse rapporte 1 pt , une mauvaise fait perdre 0,5 point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point . Si le total des points est négatif , la note de cet exercice est ramenée à zéro .

1. Soit (E) l'équation différentielle y''+\omega^2y=0 .
Les solutions de cette équation sont de la forme :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline (A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{2x}&(Ax+B)e^{\omega x}&A \cos\omega x+B\sin\omega x&(Ax+B)e^{-\omega x}\\\hline \end{array}


2. Chez l'hommel'angine peut être provoquée soit par une bactérie , soit par un virus . On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans 20\% des cas . Sur un échantillon de n\enskip (n\geq 2) hommes la probabilité d'obrenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}&\text{ Aucune réponse n'est juste}\\\hline \end{array}


3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{u},\vec{v}) . On considère les points A\text{ et }B d'affixes respectives -1+2i\text{ et }i .
L'ensemble des points M d'affixe z tels que |i\bar{z}-2+i|=|z-i| est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \text{Un cercle de}&\text{La médiatrice du}&\text{Aucune réponse}&\text{Une sphère de}\\\text{diamètre }[AB]&\text{segment }[AB]&\text{n'est juste}&\text{diamètre }[AB]\\\hline \end{array}


4. L'intégrale \displaystyle\int_{e^2}^{e^3}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\text{ d}x est égale à :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\\hline \end{array}


5. Soient g et h deux rotations de centres respectifs A\text{ et }B d'angles respectifs \theta et -\theta avec \theta\neq 0 . C est le point du plan tel que h^{-1}(A)=C . La composée h\circ g est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\  \hline \text{Une symétrie de}&\text{Une translation de}&\text{Une translation de}&\text{Un anti déplacement}\\\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA}&\\\hline \end{array}


5 points

exercice 2

Isométries de l'espace

Dans l'espace (\mathcal{E}) muni d'un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) , on considère les points E(2;1;1)\text{ , }A\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{7}{3}\right) et l'application f de l'espace (\mathcal{E}) \text{ dans } (\mathcal{E}) d'expression analytique : \begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases} .

1. Déterminer f(A) .

2. Soit M(x;y;z) un point de l'espace et M'(x';y';z') son image par f .
a) Démontrer que \overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}\text{ avec }\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} .
b) Démontrer que l'ensemble (\pi) des points invariants par f est le plan d'équation : x-y+z+3=0 .
c) Justifier que la droite (MM') est orthogonale à (\pi) .
d) Démontrer que le milieu K du segment [MM'] appartient au plan (\pi) .
e) En déduire la nature de f .

3. Soit (D) la droite passant par E et dirigée par le vecteur \vec{u} .
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de (D) est : \begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\enskip (t\in\R) .
b) Justifier que la droite (D) est orthogonale au plan (\pi) .
c) Déterminer les coordonnées du point K intersection de (D) et (\pi) .

4. Soit S_{(D)} le démi-tour d'axe (D) .
a) Déterminer l'expression analytique de S_{(D)} .
b) Déterminer la nature de S_{(D)} \circ f , puis montrer que S_{(D)}\circ f(A)=E .

4 points

exercice 3

Arithmétique - Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite

Soit (u_n)_{n\in\N} une suite de nombres entiers naturels définie par : \begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=17+3u_n\end{cases} .

1-a) Calculer u_1,u_2,u_3\text{ et }u_4 .
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par 4 et 17 des termes de cette suite ?

2-a) Démontrer que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4] .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4] .
c) En déduire que pour tout entier naturel n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4] .

3. On considère la suite (v_n) définie sur \N par : v_n=u_n+\dfrac{17}{2} .
a) Démontrer que la suite (v_n) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) En déduire que pour tout entier naturel n\text{ : }2u_n=17(3^n-1) .
c) En utilisant le théorème de Gauss , montrer que pour tout entier naturel n\text{ : }u_n\equiv 0[17] .

4. Conclure sur la divisibilité par 4 et 17 des termes de la suite (u_n) .

6 points

exercice 4

Etude d'une famille de fonctions - Calcul intégral

Soit n un entier naturel non nul .
On considère la fonction f_n définie sur \R par : f_n(x)=1+xe^{-nx+1} .
(C_n) est sa courbe représentative dans le repère orthonormé (O,I,J) .

1. Calculer les limites de f_n aux bornes de son ensemble de définition . Si possible , Interpréter graphiquement les résultats .

2. On note f'_n la fonction dérivée de f_n .
a) Montrer que pour tout réel x\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1} .
b) Calculer f_n\left(\dfrac{1}{n}\right) puis dresser le tableau de variation de f_n .

3-a) Démontrer que l'équation f_n(x)=0 admet une unique solution \varphi_n sur \R .
b) En déduire le signe de f_n sur \R .

4-a) Démontrer que toutes les courbes (C_n) passent par un point commun A dont on précisera les coordonnées .
b) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C_n) en A .

5. Construire (C_1),(C_2)\text{ et }(T) .

6. On pose pour tout entier naturel non nul n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x .
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n\text{ : }1\leq W_n\leq 1+\dfrac{e}{2} .
b) Démontrer que la suite (W_n) est décroissante .
c) Déduire alors la convergence de la suite (W_n) .
d) A l'aide d'une intégration par parties , démontrer que pour tout entier naturel non nul n\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1 .
e) En déduire la limite de la suite (W_n) .
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