Fiche de mathématiques
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Bac Mali 2022

Série TLL

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Durée : 2 heures
Coefficient : 1


5 points

exercice 1

1) Trouve les limites suivantes :
\red{\text{a) }\black \displaystyle\lim_{x\to 3}\left(\dfrac{4x-1}{7x+8}\right) \enskip ; \enskip\red{\text{ b) }\black  \displaystyle\lim_{x\to 1} \left(\dfrac{3x^2+7x-10}{3x^2-4x+8}\right)\enskip ; \enskip \red{\text{ c) }\black \displaystyle\lim_{x\to -1} 3x^3-2x^2+1

2) Chercher le signe de x^2-1 , puis étudier les limites en 1 et en -1 de la fonction x\mapsto \dfrac{2x^2+1}{x^2-1} .

5 points

exercice 2

Soit (U_n) une suite définie par : U_n=3n+2 .

a) Calculer U_0,U_1,U_2 .

b) Déterminer la nature de cette suite .

10 points

probleme

Soit la fonction f définie par f(x)=-x^3+3x-1 et (c) sa courbe représentative dans le repère (o,\vec{i},\vec{j}) .

1) Calculer D_f .

2) Calculer les limites aux bornes de D_f .

3) Calculer f'(x) .

4) Dresser le tableau de variation de f .

5) Donner une équation de la tangente à (c) au point d'abscisse x_0=0 .

6) Construire la courbe (c) dans le repère (o,\vec{i},\vec{j}) .



5 points

exercice 1

1.
a. \lim\limits_{x\to 3} (4x-1)=11\quad \lim\limits_{x\to 3}(7x+8)=29 \quad \text{ donc}  \quad \lim\limits_{x\to 3}\dfrac{ 4x-1}{7x+8}=\dfrac {11}{29}

b. \lim\limits_{x\to 1}(3x²+7x-10)=0 \quad \lim\limits_{x\to 1}(3x²-4x+8)=7 \quad \text{ donc }  \quad \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{3x²+7x-10}{3x²-4x+8}=\dfrac 0 7 = 0

c. \lim\limits_{x\to -1}(3x^3-2x²+1)=-3-2+1=-4

2.
x²-1=(x-1)(x+1) est un polynôme du second degré qui s'annule pour -1 et 1 , et qui est du signe du coefficient de x² (ici positif)à l'extérieur des solutions.

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1& & +\infty & \\ \hline \text{signe de } x²-1& & + & 0 & - & 0 & + & & \\ \hline \end{array}

Limite en 1 :
\lim\limits_{x\to 1}(2x²+1)=3 \quad \lim\limits_{\substack{x\to 1 \\ x < 1}}(x²-1)=0^-\quad \text{ donc} \quad   \lim\limits_{\substack{x\to 1 \\ x < 1}}\dfrac{2x²+1}{x²-1}=-\infty

\lim\limits_{x\to 1}(2x²+1)=3 \quad \lim\limits_{\substack{x\to 1 \\ x > 1}}(x²-1)=0^+\quad \text{ donc} \quad   \lim\limits_{\substack{x\to 1 \\ x < 1}}\dfrac{2x²+1}{x²-1}=+\infty

En 1, la limite à gauche n'étant pas égale à la limite à droite, la fonction n'admet pas de limite.

Limite en -1 :
\lim\limits_{x\to -1}(2x²+1)=3 \quad \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x < -1}}(x²-1)=0^+\quad \text{ donc} \quad   \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x < -1}}\dfrac{2x²+1}{x²-1}=+\infty

\lim\limits_{x\to -1}(2x²+1)=3 \quad \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x > -1}}(x²-1)=0^-\quad \text{ donc} \quad   \lim\limits_{\substack{x\to -1 \\ x < -1}}\dfrac{2x²+1}{x²-1}=-\infty

En -1, la limite à gauche n'étant pas égale à la limite à droite, la fonction n'admet pas de limite. 5 points

exercice 2

Soit (U_n) une suite définie par : U_n=3n+2 .

a. U_0=3\times 0 + 2 = 2
U_1=3\times 2 + 2 = 5
U_2=3\times 2+2=8

b. La suite semble arithmétique, démontrons le.
Pour tout n de N , U_{n+1}=3(n+1)+2=3n+3+2=(3n+2)+3=U_n+3\;\cdot
Tout terme se déduit du précédent par addition de la constante 3. La suite U est donc une suite arithmétique de raison 3. Son premier terme est U_0 = 2\;\cdot

10 points

probleme

Soit la fonction f définie par f(x)=-x^3+3x-1

1. f est une fonction polynôme donc est définie sur R et \mathcal D_f=\textbf R\;\cdot

2. En +infini ou -infini, toute fonction polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.
\lim\limits_{x\to -\infty}(-x^3+3x-1)=\lim\limits_{x\to -\infty}(-x^3)=+\infty
\lim\limits_{x\to +\infty}(-x^3+3x-1)=\lim\limits_{x\to +\infty}(-x^3)=-\infty

3. La fonction polynôme f est dérivable sur R et f'(x)=-3x²+3=3(1-x²)=3(1-x)(1+x) .

4. La dérivée s'annule pour -1 et 1, et a le même signe que 1-x² .Elle est donc du signe négatif à l'extérieur des solutions -1 et 1.

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty & \\ \hline \text{signe de} f'(x)& & - & 0 & + & 0 & - & & \\ \hline \text{variations de } f& ^{+\infty} & \searrow & _{-3}& \nearrow & ^1& \searrow & _{-\infty}& \\ \hline \end{array}


Remarque : f(1)=-1+3-1=1 \quad \text{ et }\quad f(-1)=+1-3-1=-3

5. f(0)=-1 \quad \text{ et } \quad f'(0)=3 .
Une équation de la tangente à la courbe au point de la courbe d'abscisse 0 est :
y-f(0)=f'(0)(x-0)\quad \text{ soit } y+1=3x \quad \text{ ou encore } y=3x-1\;\cdot

Bac Mali 2022 série TLL : image 1
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