Durée : 3 heures
Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
2,5 points
exercice 1
Soit la suite numérique définie par :
1-a) Montrer que pour tout de
b) Montrer que pour tout de , et en déduire que la suite est décroissante et convergente .
2- On pose pour tout de .
a) Montrer que est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme .
b) Ecrire en fonction de puis déduire la limite de la suite .
c) Calculer la somme .
3 points
exercice 2
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les deux points . Soit la sphère de centre et de rayon , et
la droite passant par le point et de vecteur directeur .
1-a) Calculer la distance .
b) Montrer que les droites et sont perpendiculaires .
c) Déduire la position relative de la droite et la sphère .
2- Soit le point où , montrer que et déduire que pour tout .
3-a) Vérifier que est une équation du plan passant par et perpendiculaire à la droite .
b) Montrer que .
c) Déterminer les deux valeurs de pour lesquelles le plan est tangent à la sphère .
3 points
exercice 3
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les points d'affixes respectives .
1- Déterminer le nombre complexe affixe du point milieu du segment .
2- Soit l'homothétie de centre et de rapport , déterminer le nombre complexe affixe du point l'image de par .
3- On considère la rotation de centre et d'angle , déterminer l'image de par .
4- Soit le point d'affixe .
a) Vérifier que .
b) En déduire que
c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre et en déduire la nature du triangle .
d) Déduire que les points appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre .
3 points
exercice 4
Une urne contient trois boules blanches , quatre boules rouges et cinq boules vertes indiscernables au toucher . On tire au hazard et simultanément trois boules de l'urne .
1- On considère les évènements suivants :
a) Montrer que .
b) Calculer : la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisé . Les évènements et sont-ils indépendants ?
2- Soit la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées .
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes .
8,5 points
probleme
Soit la fonction numérique définie sur par : et sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1- Calculer puis déterminer la branche infinie de au voisinage de .
2-a) Montrer que est continue à droite en .
b) Etudier la dérivabilité de à droite en puis interpréter le résultat géométriquement .
3-a) Montrer que pour tout de l'intervalle .
b) Dresser le tableau de variations de .
4-a) Sachant que pour tout de l'intervalle , étudier le signe de sur .
b) Déduire que la courbe admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses .
5-a) Construire la courbe dans le repère .
b) En utilisant la courbe , déterminer le nombre de solutions de l'équation .
6- On considère la fonction définie sur par .
a) Montrer que la fonction est paire .
b) Construire la courbe représentative de dans le même repère .
7-a) On pose , en utilisant une intégration par parties , montrer que .
b) On considère la fonction définie sur l'intervalle par . Vérifier que .
c) Déduire que .
d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses et les droites d'équations .
Initialisation : Pour La proposition est vérifiée pour
Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain montrons alors que dans ce cas , on a aussi On a , donc , d'où Ou encore .
Enfin : Par conséquent :
Conclusion : On conclut par récurrence que :
b) Pour tout entier naturel
Puisque , pour tout
Le signe de est celui de car
Donc :
On en déduit que :
Récapitulons :
est décroissante .
est minorée par .
Donc :
2-a)
Donc :
Conclusion :
b) Puisque est géométrique de raison et de premier terme
Alors :
De plus , pour tout entier naturel
Et comme , alors
On obtient :
c) Caclulons la somme
exercice 2
1-a) Calcul de la distance :
b) Calculons les coordonnées du vecteur , qui est un vecteur directeur de la droite :
D'autre part , est un vecteur directeur de la droite , alors pour montrer que les droites sont perpendiculaires , il suffit de montrer que le produit scalaire est nul .
On en tire que sont orthogonaux .
D'où :
c) étant la sphère de centre et de rayon .
Et , donc
Or , , donc :
2) On a :
sont donc colinéaires , et puisque et est directeur de
Alors est aussi directeur de et :
3-a) On a est perpendiculaire à et est directeur de .
Le vecteur est donc normal à .
Une équation de s'écrit alors sous la forme : .
Or , , d'où :
Donc :
b) On a :
c) est tangent au sphère si et seulement si
Conclusion :
exercice 3
1) Le point milieu du segment , alors :
2) Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport , d'où :
3) Notons l'affixe du point image de par la rotation de centre et d'angle , donc :
Conclusion :
4-a) On a :
b) Directement :
c)Calculons :
On en déduit que :
Interprétation géométrique :
d) Puisque , alors les points appartiennent à un même cercle .
De plus , d'après ce qui précède , le triangle est rectangle en , on en tire que est le diamètre de ce cercle .
Conclusion :
exercice 4
L'urne contient :
Trois boules blanches
Quatre boules rouges
Cinq boules vertes
Donc :
1-a) Soit est l'évènement " Obtenir exactement deux boules rouges " , alors :
Donc
Soit est l'évènement " Obtenir exactement une boule verte " , alors :
Donc
b) On a
Donc
D'où :
On en déduit que , ce qui veut dire que :
2-a) étant la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.
Et pusique qu'il y en a 3 boules vertes dans l'urne , donc les valeurs prises par sont :
.
.
Récapitulatif :
c) La probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes est , d'où :
probleme
est définie sur par :
1) Puisque
D'où :
Pour déterminer la branche infinie au voisinage de , on calcule
En effet
Interprétation graphique :
2-a) On calcule la limite en à droite de la fonction :
En effet , on sait que :
Donc :
D'où :
b) On calcule la limite en à droite du taux de variation de la fonction :
Cette limite existe , et donc :
Interprétation graphique :
La courbe représentative de admet en son point d'abscisse une demi-tangente horizontale dirigée vers la droite , puisque son coefficient directeur est nul.
3-a) est dérivable sur comme produit d'une fonction polynômiale et d'une fonction en , d'où , pour tout réel :
b) Puisque pour tout , alors le signe de est celui du produit
On résoud les équations suivante sur
Et pusique est strictement croissante sur , on peut tracer le tableau de signe de
Et on dresse le tableau de variations de la fonction :
4-a) Pour tout réel strictement positif .
On sait que pour tout réel , donc le signer de f''(x) est celui de
On résoud l'équation suivante sur
Et pusique est strictement croissante sur , on peut tracer le tableau de signe de
b) D'après ce qui précède , ne s'annule qu'en et en changeant de signe , donc :
Remarque : On déduit de ce qui précède aussi que est convexe sur et concave sur .
5-a) Voir 6-b)
b) L'équation est définie pour tout de , et puisque sur cet intervalle , il faut que pour que le produit puisse être égal à
Et , on en tire que les solutions de cette équation appartiennent à .
Ensuite :
Le nombre de solutions de cette équation correspond au nombre de fois que la courbe de coupe la droite horizontale d'équation sur l'intervalle seulement !
D'où , en se référant à la représentation graphique (les points verts):
6-a) On a :
Pour tout réel .
On en déduit que :
b) Puisque est paire , il suffit de tracer sur , le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
De plus , pour tout , alors pour tout , donc et sont confondues sur .
On obtient :
7-a) Intégration par parties :
On pose
D'où :
b) La fonction définie sur l'intervalle par est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :
c) Pour tout réel , d'où
Or ,
D'autre part
D'où :
d) L'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses et les droites d'équations est en unités d'aire :
Et on a vu que , pour tout réel , donc :
On en déduit que
Enfin , on a :
Alors :
Publié par malou/Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
)
la suite numérique définie par : 
de 
)
, et en déduire que la suite 
.
)
est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme .
en fonction de 
.
)
, on considère les deux points  \text{ et }B(5,1,-3))
. Soit )
la sphère de centre )
et de rayon 
, et )
et de vecteur directeur )
.
.
)
sont perpendiculaires .
)
où 
, montrer que \vec{u})
et déduire que )
pour tout 
est une équation du plan )
passant par 
et perpendiculaire à la droite \right)=|3a-6|)
.
pour lesquelles le plan )
, on considère les points 
d'affixes respectives 
.
affixe du point 
milieu du segment ![[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AC])
.
l'homothétie de centre 
, déterminer le nombre complexe 
affixe du point 
l'image de 
par 
de centre 
et d'angle )
, déterminer l'image de 
le point d'affixe 
.
.
![\overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi])
et en déduire la nature du triangle 
.
appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre .
=\dfrac{12}{55}\text{ et }p(B)=\dfrac{21}{44})
.
)
: la probabilité de l'évènement 
qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées .
la fonction numérique définie sur 
par : =x^4(\ln x -1)^2 \enskip ; \enskip x>0 \\f(0)=0 \end{cases})
et )
sa courbe représentative dans un repère orthonormé  \text{ (unité : }1\text{ cm )})
)
puis déterminer la branche infinie de 
.
.
=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1))
pour tout 
de l'intervalle ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
.
=2x^2(6\ln x-5)\ln x)
pour tout )
sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[ )
.
 \enskip\enskip(\text{ on prend } \sqrt{e}\approx 1,6 \text{ et } e^2\approx 7,2 ))
.
 = -1)
.
définie sur 
par =f(|x|))
.
)
la courbe représentative de  )
.
\text{ d}x)
, en utilisant une intégration par parties , montrer que 
.
=x^5(\ln x-1)^2)
. Vérifier que =5f(x)+2x^4(\ln x-1))
.
\text{ d}x=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I)
.
.
montrons alors que dans ce cas , on a aussi 
, donc 
, d'où 
.
u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}u_n-\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)\end{matrix})
})
est celui de 
car 
_{n\in\N}\text{ est une suite décroissante }})
.
_{n\in\N}\text{ est une suite convergente }})
\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_n\end{matrix})
\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ et de premier terme }v_0=1 })
et de premier terme 
^n =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n)
^n+1 })
, alors ^n=0)
+(v_1+1)+(v_2+1)+\cdots+(v_{2021}+1)\\&=& v_0+v_1+v_2+\cdots+v_{2021}+\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{2022 \text{ fois } }\\\\&=& v_0+v_1+v_2+\cdots + v_{2021}+2022 \\&=& \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}+2022\end{matrix})
^n}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}+2022})
^2+(y_A-y_{\Omega})^2+(z_A-z_{\Omega})^2} \\&=&\sqrt{(1-3)^2+(-1-0)^2+(1+1)^2}\\&=&\sqrt{4+1+4}\\&=&\sqrt{9}\\&=&3\end{matrix})
, qui est un vecteur directeur de la droite =\overrightarrow{\Omega A }(2;1;-2))
)
est un vecteur directeur de la droite  \text{ et }(\Delta))
sont perpendiculaires , il suffit de montrer que le produit scalaire 
est nul .
+(-2)\times 1 \\&=& 4-2-2\\&=& 0 \end{matrix})
sont orthogonaux .
\text{ et }(\Delta) \text{ sont perpendiculaires }})
et de rayon 
, donc )
 \perp (\Omega A ))
, donc :
 \text{ est une droite tangente à }(S) \text{ au point }A })
\vec{i}+(y_{M_{a}}-y_A)\vec{j}+(z_{M_{a}}-z_A)\vec{k}\\&=&(2a-3-1)\vec{i}+(3-2a+1)\vec{j}+(a-1-1)\vec{k}\\&=&(2a-4)\vec{i}+(4-2a)\vec{j}+(a-2)\vec{k}\\&=&2(a-2)\vec{i}+2(2-a)\vec{j}+(a-2)\vec{k}\\&=&(a-2)(2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})\\&=&(a-2)\vec{u}\end{matrix})
\vec{u}})
sont donc colinéaires , et puisque )
et 
est directeur de 
est aussi directeur de })
)
est perpendiculaire à 
.
)
, d'où :
-2(3-2a)+(a-1)+d=0 &\iff& 4a-6-6+4a+a-1+d=0\\&\iff& 9a-13+d=0\\&\iff& d=-9a+13\end{matrix} )
 })
)&=&\dfrac{|2x_{\Omega}-2y_{\Omega}+z_{\Omega}-9a+13|}{\sqrt{4+4+1}}\\&=&\dfrac{|2\times 3 -2\times 0-1-9a+13|}{\sqrt{9}}\\&=&\dfrac{|18-9a|}{3}\\&=&\dfrac{3|6-3a|}{3}\\&=&|6-3a|\end{matrix})
\right)=|3a-6| })
\right)=R=3)
\right)=R&\iff& d\left(\Omega ,(P_a)\right)=3\\&\iff& |3a-6|=3 \\&\iff& 3a-6=3\text{ ou } 3a-6=-3 \\&\iff& 3a=9 \text{ ou }3a=3 \\&\iff& a=3\text{ ou }a=1 \end{matrix})
\text{ et }(P_3) \text{ sont tangents à }(S)})
![[AC]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AC] )
, alors :
 &\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(Z_B-Z_A)+Z_A \\&\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(1-5i-(1+5i))+1+5i \\&\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(1-5i-1-5i)+1+5i \\&\iff& Z_E =\dfrac{1}{2}(-10i)+1+5i \\&\iff& Z_E=-5i+1+5i\\\\&\iff& \boxed{Z_E=1}\end{matrix})
l'affixe du point image de  &\iff& Z=e^{-i\pi/2}(Z_B-Z_C)+Z_C \\&\iff& Z=-i(1-5i-(5-3i))+5-3i \\&\iff& Z=-i(-4-2i)+5-3i \\&\iff& Z=4i-2+5-3i\\&\iff& Z=3+i\\\\&\iff& \boxed{Z=Z_D}\end{matrix})
}{-1+i-(1+5i)}\times\dfrac{-1+i-1}{3+i-1}&=&\dfrac{2-4i}{-2-4i}\times\dfrac{-2+i}{2+i}\\\\&=&\dfrac{1-2i}{-1-2i}\times\dfrac{-2+i}{2+i}&=&\dfrac{(1-2i)(-2+i)}{(-1-2i)(2+i)}\\\\&=& \dfrac{-2+i+4i+2}{-2-i-4i+2}&=&\dfrac{5i}{-5i}\\\\&=&-1\end{matrix})
![\begin{matrix}\overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}&\equiv& \arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)+\arg\left(\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg(-1)\enskip[2\pi] \\&\equiv&\pi\enskip[2\pi] \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}&\equiv& \arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)+\arg\left(\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg(-1)\enskip[2\pi] \\&\equiv&\pi\enskip[2\pi] \end{matrix})
![\boxed{ \overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi]})
![\begin{matrix}\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}&=&\dfrac{1+1-i}{1+5i+1-i}&=&\dfrac{2-i}{2+4i}\\\\&=&\dfrac{(2-i)(2-4i)}{2^2+4^2}&=&\dfrac{4-8i-2i-4}{20}\\\\&=&\dfrac{-10i}{20}&=&-\dfrac{1}{2}i\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(0-i)&=&\boxed{\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}&=&\dfrac{1+1-i}{1+5i+1-i}&=&\dfrac{2-i}{2+4i}\\\\&=&\dfrac{(2-i)(2-4i)}{2^2+4^2}&=&\dfrac{4-8i-2i-4}{20}\\\\&=&\dfrac{-10i}{20}&=&-\dfrac{1}{2}i\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(0-i)&=&\boxed{\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]}\end{matrix})
![\overline{\left(\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}\right)}\equiv \arg\left(\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overline{\left(\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}\right)}\equiv \arg\left(\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi])
, alors les points 
appartiennent à un même cercle .
![[AE]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[AE] )
est le diamètre de ce cercle .
![\boxed{A\text{ , }D\text{ , } E \text{ et } F \text{ appartiennent au cercle de diamètre }[AE]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \boxed{A\text{ , }D\text{ , } E \text{ et } F \text{ appartiennent au cercle de diamètre }[AE]} )
=\dfrac{ {4\choose 2 } {8\choose 1 }}{220}=\dfrac{6\times 8}{220}=\dfrac{12}{55} )
=\dfrac{12}{55}})
=\dfrac{ {3\choose 1 }{7\choose 2 }}{220}=\dfrac{3\times 21}{220}=\dfrac{21}{44} )
=\dfrac{21}{44}})
=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}\enskip\enskip\text{ , et }\enskip\enskip A\cap B\text{ : }\lbrace{R\enskip R\enskip V\rbrace} )
=\dfrac{ {4\choose 2 }{5\choose 1 }}{220}=\dfrac{6\times 5}{220}=\dfrac{3}{22} )
=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{22}}{\dfrac{21}{44}}=\dfrac{3}{22}\times\dfrac{44}{21}=\dfrac{2}{7})
=\dfrac{2}{7}})
\neq p(A)\text{ , d'où } \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}\neq p(A) \text{ , ou encore } p(A\cap B)\neq p(A)p(B) )
, ce qui veut dire que :
=\dfrac{{7\choose 3}}{220}=\dfrac{7}{44})
=p(B)=\dfrac{3\times 21}{120}=\dfrac{21}{44})
.
=\dfrac{{5\choose 2}{7\choose 1}}{220}=\dfrac{7}{22})
=\dfrac{{5\choose 3}}{220}=\dfrac{1}{22})
.
 & \dfrac{7}{44} &\dfrac{21}{44}&\dfrac{7}{22}&\dfrac{1}{22}\\ && &&\\ \hline \end{array})
)
, d'où :
=p(X=2)+p(X=3)= \dfrac{7}{22}+\dfrac{1}{22} = \dfrac{8}{22}=\dfrac{4}{11})
=\dfrac{4}{11}})
 =\lim_{x\to+\infty} x^4(\ln x -1)^2=(+\infty)\times(+\infty)=+\infty)
 =+\infty})
 }{x})
 }{x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^3(\ln x -1)^2=+\infty)
 \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty})
![\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^4(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^4(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix})
=0=f(0)})
![\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^3(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^3(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix})
-f(0)}{x}=f'_d(0)=0)
, et donc :
=0))
d'abscisse )
est nul.
\text{ admet l'axe des abscisses comme demi-tangente au point }O(0;0)\text{ à droite }} )
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
comme produit d'une fonction polynômiale et d'une fonction en 
, d'où , pour tout réel ![x\in]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0;+\infty[ )
:
![\begin{matrix}f'(x)&=&\left(x^4(\ln x -1)^2\right)'&=& (x^4)'(\ln x-1)^2+ x^4\left[(\ln x-1)^2\right]'\\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4(\ln x-1)'(\ln x-1) &=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4\times \dfrac{1}{x}(\ln x-1) \\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^3(\ln x-1) &=& 2x^3(\ln x-1)(2(\ln x-1)+1) \\\\&=& 2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}f'(x)&=&\left(x^4(\ln x -1)^2\right)'&=& (x^4)'(\ln x-1)^2+ x^4\left[(\ln x-1)^2\right]'\\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4(\ln x-1)'(\ln x-1) &=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4\times \dfrac{1}{x}(\ln x-1) \\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^3(\ln x-1) &=& 2x^3(\ln x-1)(2(\ln x-1)+1) \\\\&=& 2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)\end{matrix})
![\boxed{\forall x\in]0;+ \infty[\text{ , }f'(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in]0;+ \infty[\text{ , }f'(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)})
![x\in]0;+\infty[ \text{ , }2x^3>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0;+\infty[ \text{ , }2x^3>0)
, alors le signe de )
est celui du produit (2\ln x-1) )
![]0;+\infty[\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[\text{ : })
(2\ln x-1))
(2\ln x-1) &\dbarre & + & \barre{0} & - & \barre{0} & +& \\ \hline \end{array})
 &\dbarre & + & \barre{0} & - & \barre{0} & +& \\ \hline & &&e^2/4&&&&+\infty \\ f &&\nearrow&&\searrow&&\nearrow & \\ &0 &&&&0& & \\ \hline\end{array})
=(\sqrt{e})^4(\ln\sqrt{e}-1)^2=e^2\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2=\dfrac{e^2}{4})
=e^4(\ln e-1)^2=e^4\times 0=0)
=2x^2(6\ln x-5)\ln x )
.
, donc le signer de f''(x) est celui de \ln x)
 &\dbarre & + & \barre{0} & - & \barre{0} & +& \\ \hline \end{array})
![\boxed{\begin{matrix} \forall x\in]0;1]\cup [e^{5/6};+\infty[\text{ : }f''(x)\geq 0 \\\forall x\in[1;e^{5/6}]\text{ : }f''(x)\leq 0 \end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix} \forall x\in]0;1]\cup [e^{5/6};+\infty[\text{ : }f''(x)\geq 0 \\\forall x\in[1;e^{5/6}]\text{ : }f''(x)\leq 0 \end{matrix}})
ne s'annule qu'en 
en changeant de signe , donc :
\text{ admet deux points d'inflexion d'abscisse }1 \text{ et d'abscisse }e^{5/6}})
![]0;1]\cup[e^{5/6};+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;1]\cup[e^{5/6};+\infty[)
et concave sur ![[1;e^{5/6}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;e^{5/6}])
.
=-1)
est définie pour tout 
sur cet intervalle , il faut que < 0)
pour que le produit )
puisse être égal à 
, on en tire que les solutions de cette équation appartiennent à ![]0;e[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;e[)
.
![\forall x\in]0;e[\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0;e[\text{ : })
=-1 \iff x^4(\ln x-1)^2=1 \iff f(x)=1 )
sur l'intervalle  = -1 \text{ est }2 })
.
=f(|-x|)=f(|x|)=g(x) )
, le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
, alors =f(|x|)=f(x))
pour tout 
, donc 
.
=\ln x-1 \\v'(x)=x^4 \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=\dfrac{x^5}{5}\end{cases} )
![\begin{matrix} I&=&\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\int_{1}^{e}\dfrac{x^5}{5}\times\dfrac{1}{x}\text{ d}x\\&=&\displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\dfrac{1}{5}\int_{1}^{e}x^4\text{ d}x &=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\left[\dfrac{1}{5}\times\dfrac{x^5}{5}\right]_{1}^{e}\\&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}\left(\ln x-\dfrac{6}{5}\right)\right]_{1}^{e} &=& \dfrac{e^5}{5}\left(1-\dfrac{6}{5}\right)-\dfrac{1}{5}\times\left(-\dfrac{6}{5}\right) \\&=& -\dfrac{e^5}{25}+\dfrac{6}{25} \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} I&=&\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\int_{1}^{e}\dfrac{x^5}{5}\times\dfrac{1}{x}\text{ d}x\\&=&\displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\dfrac{1}{5}\int_{1}^{e}x^4\text{ d}x &=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\left[\dfrac{1}{5}\times\dfrac{x^5}{5}\right]_{1}^{e}\\&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}\left(\ln x-\dfrac{6}{5}\right)\right]_{1}^{e} &=& \dfrac{e^5}{5}\left(1-\dfrac{6}{5}\right)-\dfrac{1}{5}\times\left(-\dfrac{6}{5}\right) \\&=& -\dfrac{e^5}{25}+\dfrac{6}{25} \end{matrix})
![\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)&=&\left(x^5(\ln x-1)^2\right)'&=& 5x^4(\ln x-1)^2+x^5\times 2\times\dfrac{1}{x}\times (\ln x-1) \\\\&=& 5x^4(\ln x-1)^2+2x^4(\ln x-1) &=&\boxed{5f(x)+2x^4(\ln x-1)}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)&=&\left(x^5(\ln x-1)^2\right)'&=& 5x^4(\ln x-1)^2+x^5\times 2\times\dfrac{1}{x}\times (\ln x-1) \\\\&=& 5x^4(\ln x-1)^2+2x^4(\ln x-1) &=&\boxed{5f(x)+2x^4(\ln x-1)}\end{matrix})
![x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1))
, d'où =\dfrac{1}{5}h'(x)-\dfrac{2}{5}x^4(\ln x-1) )
![[1;e]\subset ]0;+\infty[ \text{ , alors : }\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} h'(x)\text{ d}x-\dfrac{2}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\left[h(x)\right]_1^e-\dfrac{2}{5}I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;e]\subset ]0;+\infty[ \text{ , alors : }\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} h'(x)\text{ d}x-\dfrac{2}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\left[h(x)\right]_1^e-\dfrac{2}{5}I)
![\displaystyle\left[h(x)\right]_1^e=e^5(\ln e-1)^2 -(\ln 1-1)^2 =-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\left[h(x)\right]_1^e=e^5(\ln e-1)^2 -(\ln 1-1)^2 =-1)
\text{ d}x=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I})
du domaine délimité par la courbe )
:
|\text{ d}x)
\geq 0 )
, donc :
|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x)
)
})
Voir l'énoncé seul
forum de terminale