Fiche de mathématiques
> >

Bac Maroc SVT-PC rattrapage 2022

Partager :



Durée : 3 heures
Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

2,5 points

exercice 1

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u_0=2 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1-a) Montrer que pour tout n de \N \enskip : \enskip u_n> 1

b) Montrer que pour tout n de \N\enskip : \enskip u_{n+1}-u_n=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1) , et en déduire que la suite (u_n) est décroissante et convergente .

2- On pose pour tout n de \N\enskip : \enskip v_n=u_n-1 .

a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme .

b) Ecrire u_n en fonction de n puis déduire la limite de la suite (u_n) .

c) Calculer la somme S=u_0+u_1+u_2+\cdots + u_{2021} .

3 points

exercice 2

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) , on considère les deux points A(1,-1,1) \text{ et }B(5,1,-3) . Soit (S) la sphère de centre \Omega(3,0,-1) et de rayon R=3 , et (\Delta)

la droite passant par le point A et de vecteur directeur \vec{u}(2,-2,1) .

1-a) Calculer la distance \Omega A .

b) Montrer que les droites (\Delta) et (\Omega A) sont perpendiculaires .

c) Déduire la position relative de la droite (\Delta) et la sphère (S) .

2- Soit le point M_a(2a-3,3-2a,a-1)a\in\R , montrer que \overrightarrow{AM_a} =(a-2)\vec{u} et déduire que M_a\in (\Delta) pour tout a\in\R .

3-a) Vérifier que 2x-2y+z-9a+13=0 est une équation du plan (P_a) passant par M_a et perpendiculaire à la droite (\Delta) .

b) Montrer que d\left(\Omega ,(P_a)\right)=|3a-6| .

c) Déterminer les deux valeurs de a pour lesquelles le plan (P_a) est tangent à la sphère (S) .

3 points

exercice 3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) , on considère les points A \text{ , }B \text{ et }C d'affixes respectives Z_A=1+5i\text{ , }Z_B=1-5i \text{ et }Z_C=5-3i .

1- Déterminer le nombre complexe Z_D affixe du point D milieu du segment [AC] .

2- Soit h l'homothétie de centre A et de rapport \dfrac{1}{2} , déterminer le nombre complexe Z_E affixe du point E l'image de B par h .

3- On considère la rotation R de centre C et d'angle \left(\dfrac{-\pi}{2}\right) , déterminer l'image de B par R .

4- Soit F le point d'affixe Z_F=-1+i .

a) Vérifier que \dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}=-1 .

b) En déduire que \overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi]

c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre \dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F} et en déduire la nature du triangle AEF .

d) Déduire que les points A\text{ , }D\text{ , } E \text{ et } F appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre .

3 points

exercice 4

Une urne contient trois boules blanches , quatre boules rouges et cinq boules vertes indiscernables au toucher . On tire au hazard et simultanément trois boules de l'urne .

1- On considère les évènements suivants :
\begin{matrix} &A\enskip:\enskip &\text{ ''Obtenir exactement deux boules rouges'' }\\ &B\enskip : \enskip&\text{ ''Obtenir exactement une boule verte'' } \end{matrix}


a) Montrer que p(A)=\dfrac{12}{55}\text{ et }p(B)=\dfrac{21}{44} .

b) Calculer p(A/B) : la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé . Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

2- Soit la variable aléatoire X qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées .

a) Déterminer la loi de probabilité de X .

b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes .

8,5 points

probleme

Soit f la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par : \begin{cases} f(x)=x^4(\ln x -1)^2 \enskip ; \enskip x>0 \\f(0)=0 \end{cases} et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) \text{   (unité : }1\text{ cm )}

1- Calculer \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) puis déterminer la branche infinie de (C) au voisinage de +\infty .

2-a) Montrer que f est continue à droite en 0 .

b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 puis interpréter le résultat géométriquement .

3-a) Montrer que f'(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1) pour tout x de l'intervalle ]0,+\infty[ .

b) Dresser le tableau de variations de f .

4-a) Sachant que f''(x)=2x^2(6\ln x-5)\ln x pour tout x de l'intervalle ]0,+\infty[ , étudier le signe de f''(x) sur ]0,+\infty[ .

b) Déduire que la courbe (C) admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses .

5-a) Construire la courbe (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) \enskip\enskip(\text{ on prend } \sqrt{e}\approx 1,6 \text{ et } e^2\approx 7,2 ) .

b) En utilisant la courbe (C) , déterminer le nombre de solutions de l'équation x^2(\ln x -1)  = -1 .

6- On considère la fonction g définie sur \R par g(x)=f(|x|) .

a) Montrer que la fonction g est paire .

b) Construire (C_g) la courbe représentative de g dans le même repère (O,\vec{i},\vec{j}) .

7-a) On pose I=\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x , en utilisant une intégration par parties , montrer que I=\dfrac{6-e^5}{25} .

b) On considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0,+\infty[ par h(x)=x^5(\ln x-1)^2 . Vérifier que h'(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1) .

c) Déduire que \displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I .

d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe (C) et l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1\text{ et } x=e .







exercice 1

Soit (u_n) la suite numérique définie par : u_0=2 \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \text{ pour tout }n\text{ de }\N .

1-a) Montrons par récurrence que \forall n\in\N\text{ : }1<u_n

Initialisation : Pour n=0\text{ : }u_0=2>1
La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N \text{ , } 1<u_n\text{ , } montrons alors que dans ce cas , on a aussi 1<u_{n+1}
On a 1<u_n , donc \dfrac{\sqrt{2}}{2}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n , d'où \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}<\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}
Ou encore \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}<u_{n+1}.
Enfin : \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{2}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1
Par conséquent : 1<u_{n+1}

Conclusion : On conclut par récurrence que :

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }1<u_n}


b) Pour tout entier naturel n\text{ : }

\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}-u_n\\&=&\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1\right)u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}u_n-\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)\end{matrix}

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)}


Puisque , pour tout n\in\N\text{ : }1<u_n\text{ , donc }0<u_n-1

Le signe de u_{n+1}-u_n est celui de \sqrt{2}-2<0 car \sqrt{2}\approx 1,41

Donc : \forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n<0

On en déduit que :

\boxed{(u_n)_{n\in\N}\text{ est une suite décroissante }}


Récapitulons :

(u_n) est décroissante .
(u_n) est minorée par 1 .

Donc :

\boxed{(u_n)_{n\in\N}\text{ est une suite convergente }}


2-a)

\begin{matrix}\forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}&=&u_{n+1}-1\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} -1\\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n+1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}u_n-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\&=& \dfrac{\sqrt{2}}{2}(u_n-1)\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_n\end{matrix}

Donc :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_n \enskip\text{ avec }\enskip v_0=u_0-1=1}


Conclusion :
\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ et de premier terme }v_0=1 }


b) Puisque (v_n) est géométrique de raison \dfrac{\sqrt{2}}{2} et de premier terme v_0=1

Alors : \forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n

De plus , pour tout entier naturel n\text{ : }u_n=v_n+1\text{ , d'où : }

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n+1 }


Et comme -1<\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n=0

On obtient :

\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=1}


c) Caclulons la somme S\text{ : }

\begin{matrix}S&=&u_0+u_1+u_2+\cdots + u_{2021} \\&=&(v_0+1)+(v_1+1)+(v_2+1)+\cdots+(v_{2021}+1)\\&=& v_0+v_1+v_2+\cdots+v_{2021}+\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{2022 \text{ fois } }\\\\&=& v_0+v_1+v_2+\cdots + v_{2021}+2022 \\&=& \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}+2022\end{matrix}

\boxed{S=\dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}+2022}


exercice 2

1-a) Calcul de la distance :

\begin{matrix}\Omega A &=&\sqrt{(x_A-x_{\Omega})^2+(y_A-y_{\Omega})^2+(z_A-z_{\Omega})^2} \\&=&\sqrt{(1-3)^2+(-1-0)^2+(1+1)^2}\\&=&\sqrt{4+1+4}\\&=&\sqrt{9}\\&=&3\end{matrix}

\boxed{\Omega A =3}


b) Calculons les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\Omega A } , qui est un vecteur directeur de la droite (\Omega A) :

\overrightarrow{\Omega A }(x_A-x_{\Omega};y_A-y_{\Omega};z_A-z_{\Omega})=\overrightarrow{\Omega A }(2;1;-2)

D'autre part , \vec{u}(2;-2;1) est un vecteur directeur de la droite (\Delta) , alors pour montrer que les droites (\Omega A ) \text{ et }(\Delta) sont perpendiculaires , il suffit de montrer que le produit scalaire \overrightarrow{\Omega A }\text{ . }\vec{u} est nul .

\begin{matrix}\overrightarrow{\Omega A }\text{ . }\vec{u}&=& x_{\overrightarrow{\Omega A }}\text{ . }x_{\vec{u}}\text{ + }y_{\overrightarrow{\Omega A }}\text{ . }y_{\vec{u}}\text{ + }z_{\overrightarrow{\Omega A }}\text{ . }z_{\vec{u}}\\&=&2\times 2 + 1\times (-2)+(-2)\times 1 \\&=& 4-2-2\\&=& 0 \end{matrix}

On en tire que \overrightarrow{\Omega A }\text{ et }\vec{u} sont orthogonaux .

D'où :
\boxed{(\Omega A)\text{ et }(\Delta) \text{ sont perpendiculaires }}


c) (S) étant la sphère de centre \Omega et de rayon R=3 .

Et \Omega A =3 , donc A\in (S)

Or , (\Delta) \perp (\Omega A ) , donc :

\boxed{(\Delta) \text{ est une droite tangente à }(S) \text{ au point }A }


2) On a :

\begin{matrix}\overrightarrow{AM_{a}} &=&(x_{M_{a}}-x_A)\vec{i}+(y_{M_{a}}-y_A)\vec{j}+(z_{M_{a}}-z_A)\vec{k}\\&=&(2a-3-1)\vec{i}+(3-2a+1)\vec{j}+(a-1-1)\vec{k}\\&=&(2a-4)\vec{i}+(4-2a)\vec{j}+(a-2)\vec{k}\\&=&2(a-2)\vec{i}+2(2-a)\vec{j}+(a-2)\vec{k}\\&=&(a-2)(2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})\\&=&(a-2)\vec{u}\end{matrix}

\boxed{\overrightarrow{AM_{a}}=(a-2)\vec{u}}


\overrightarrow{AM_{a}}\text{ et }\vec{u} sont donc colinéaires , et puisque A\in(\Delta) et \vec{u} est directeur de (\Delta)

Alors  \overrightarrow{AM_{a}} est aussi directeur de (\Delta) et :

\boxed{M_{a}\in(\Delta)}


3-a) On a (P_{a}) est perpendiculaire à (\Delta) et \vec{u}(2;-2;1) est directeur de (\Delta) .

Le vecteur \vec{u}(2;-2;1) est donc normal à (P_{a}) .

Une équation de (P_{a}) s'écrit alors sous la forme : 2x-2y+z+d=0 .

Or , M_{a}\in(P_{a}) , d'où :

\begin{matrix}2(2a-3)-2(3-2a)+(a-1)+d=0 &\iff& 4a-6-6+4a+a-1+d=0\\&\iff& 9a-13+d=0\\&\iff& d=-9a+13\end{matrix}

Donc :
\boxed{ 2x-2y+z-9a+13=0 \text{ est une équation cartésienne du plan }(P_a) }


b) On a :

\begin{matrix}d(\Omega;(P_{a}))&=&\dfrac{|2x_{\Omega}-2y_{\Omega}+z_{\Omega}-9a+13|}{\sqrt{4+4+1}}\\&=&\dfrac{|2\times 3 -2\times 0-1-9a+13|}{\sqrt{9}}\\&=&\dfrac{|18-9a|}{3}\\&=&\dfrac{3|6-3a|}{3}\\&=&|6-3a|\end{matrix}

\boxed{d\left(\Omega ,(P_a)\right)=|3a-6| }


c) (P_a) est tangent au sphère (S) si et seulement si d\left(\Omega ,(P_a)\right)=R=3

\begin{matrix}d\left(\Omega ,(P_a)\right)=R&\iff& d\left(\Omega ,(P_a)\right)=3\\&\iff& |3a-6|=3 \\&\iff& 3a-6=3\text{ ou } 3a-6=-3 \\&\iff& 3a=9 \text{ ou }3a=3 \\&\iff& a=3\text{ ou }a=1 \end{matrix}

Conclusion :

\boxed{\text{ Seuls }(P_1)\text{ et }(P_3) \text{ sont tangents à }(S)}


exercice 3

1) Le point D milieu du segment [AC] , alors :

Z_D=\dfrac{Z_A+Z_C}{2}=\dfrac{1+5i+5-3i}{2}=\dfrac{6+2i}{2}=3+i

\boxed{Z_D=3+i}


2) Le point E est l'image du point B par l'homothétie h de centre A et de rapport \dfrac{1}{2} , d'où :

\begin{matrix}Z_E-Z_A=\dfrac{1}{2}(Z_B-Z_A) &\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(Z_B-Z_A)+Z_A  \\&\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(1-5i-(1+5i))+1+5i \\&\iff& Z_E=\dfrac{1}{2}(1-5i-1-5i)+1+5i \\&\iff& Z_E =\dfrac{1}{2}(-10i)+1+5i \\&\iff& Z_E=-5i+1+5i\\\\&\iff& \boxed{Z_E=1}\end{matrix}

3) Notons Z l'affixe du point image de B par la rotation R de centre C et d'angle \left(\dfrac{-\pi}{2}\right) , donc :

\begin{matrix}Z-Z_C=e^{-i\pi/2}(Z_B-Z_C) &\iff& Z=e^{-i\pi/2}(Z_B-Z_C)+Z_C  \\&\iff& Z=-i(1-5i-(5-3i))+5-3i \\&\iff& Z=-i(-4-2i)+5-3i \\&\iff& Z=4i-2+5-3i\\&\iff& Z=3+i\\\\&\iff& \boxed{Z=Z_D}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{ \text{Le point }D \text{ est l'image du point }B \text{ par la rotation }R}


4-a) On a :

\begin{matrix} \dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}&=&\dfrac{3+i-(1+5i)}{-1+i-(1+5i)}\times\dfrac{-1+i-1}{3+i-1}&=&\dfrac{2-4i}{-2-4i}\times\dfrac{-2+i}{2+i}\\\\&=&\dfrac{1-2i}{-1-2i}\times\dfrac{-2+i}{2+i}&=&\dfrac{(1-2i)(-2+i)}{(-1-2i)(2+i)}\\\\&=& \dfrac{-2+i+4i+2}{-2-i-4i+2}&=&\dfrac{5i}{-5i}\\\\&=&-1\end{matrix}

\boxed{ \dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}=-1}


b) Directement :

\begin{matrix}\overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}&\equiv& \arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\right)+\arg\left(\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg\left(\dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}\right) \enskip [2\pi]\\&\equiv&\arg(-1)\enskip[2\pi] \\&\equiv&\pi\enskip[2\pi]  \end{matrix}

\boxed{ \overline{\left(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD}\right)} + \overline{\left(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF}\right)}\equiv \pi \enskip [2\pi]}


c)Calculons \dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F} :

\begin{matrix}\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}&=&\dfrac{1+1-i}{1+5i+1-i}&=&\dfrac{2-i}{2+4i}\\\\&=&\dfrac{(2-i)(2-4i)}{2^2+4^2}&=&\dfrac{4-8i-2i-4}{20}\\\\&=&\dfrac{-10i}{20}&=&-\dfrac{1}{2}i\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(0-i)&=&\boxed{\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]}\end{matrix}


On en déduit que : \overline{\left(\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}\right)}\equiv \arg\left(\dfrac{Z_E-Z_F}{Z_A-Z_F}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]

Interprétation géométrique :

\boxed{\text{ Le triangle }AEF\text{ est rectangle en }F}


d) Puisque \dfrac{Z_D-Z_A}{Z_F-Z_A}\times\dfrac{Z_F-Z_E}{Z_D-Z_E}=-1\in\R , alors les points A,D,E\text{ et }F appartiennent à un même cercle .

De plus , d'après ce qui précède , le triangle AEF est rectangle en F , on en tire que [AE] est le diamètre de ce cercle .

Conclusion :
 \boxed{A\text{ , }D\text{ , } E \text{ et } F \text{ appartiennent au cercle de diamètre }[AE]}


exercice 4

L'urne contient :

Trois boules blanches
Quatre boules rouges
Cinq boules vertes

Donc : \text{Card }\Omega={12\choose 3}=220

1-a) Soit A est l'évènement " Obtenir exactement deux boules rouges " , alors : \lbrace{R\enskip R\enskip \bar{R}\rbrace}

Donc p(A)=\dfrac{ {4\choose 2 } {8\choose 1 }}{220}=\dfrac{6\times 8}{220}=\dfrac{12}{55}

\boxed{p(A)=\dfrac{12}{55}}


Soit B est l'évènement " Obtenir exactement une boule verte " , alors : \lbrace{V \enskip \bar{V}\enskip \bar{V}\rbrace}

Donc p(B)=\dfrac{ {3\choose 1 }{7\choose 2 }}{220}=\dfrac{3\times 21}{220}=\dfrac{21}{44}

\boxed{p(B)=\dfrac{21}{44}}


b) On a p(A/B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}\enskip\enskip\text{ , et }\enskip\enskip A\cap B\text{ : }\lbrace{R\enskip R\enskip V\rbrace}

Donc p(A\cap B)=\dfrac{ {4\choose 2 }{5\choose 1 }}{220}=\dfrac{6\times 5}{220}=\dfrac{3}{22}

D'où : p(A/B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{22}}{\dfrac{21}{44}}=\dfrac{3}{22}\times\dfrac{44}{21}=\dfrac{2}{7}

\boxed{p(A/B)=\dfrac{2}{7}}


On en déduit que p(A/B)\neq p(A)\text{ , d'où } \dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}\neq p(A) \text{ , ou encore } p(A\cap B)\neq p(A)p(B) , ce qui veut dire que :

\boxed{\text{ Les évènements }A\text{ et }B\text{ ne sont pas indépendants }}


2-a) X étant la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.

Et pusique qu'il y en a 3 boules vertes dans l'urne , donc les valeurs prises par X sont : 0;1;2;3

p(X=0)=\dfrac{{7\choose 3}}{220}=\dfrac{7}{44}
p(X=1)=p(B)=\dfrac{3\times 21}{120}=\dfrac{21}{44} .
p(X=2)=\dfrac{{5\choose 2}{7\choose 1}}{220}=\dfrac{7}{22}
p(X=3)=\dfrac{{5\choose 3}}{220}=\dfrac{1}{22} .

Récapitulatif :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2&3\\\hline   &  &&&\\   p(X=x_i) & \dfrac{7}{44} &\dfrac{21}{44}&\dfrac{7}{22}&\dfrac{1}{22}\\   &&  &&\\ \hline   \end{array}


c) La probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes est p(X\geq 2 ) , d'où :

p(X\geq 2 )=p(X=2)+p(X=3)= \dfrac{7}{22}+\dfrac{1}{22} = \dfrac{8}{22}=\dfrac{4}{11}

\boxed{p(X\geq 2 )=\dfrac{4}{11}}


probleme

f est définie sur [0,+\infty[ par : \begin{cases} f(x)=x^4(\ln x -1)^2 \enskip ; \enskip x>0 \\f(0)=0 \end{cases}


1) Puisque \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^4=+\infty\enskip\text{ et }\enskip \lim_{x\to+\infty} \ln x =+\infty

D'où : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) =\lim_{x\to+\infty} x^4(\ln x -1)^2=(+\infty)\times(+\infty)=+\infty

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) =+\infty}


Pour déterminer la branche infinie au voisinage de +\infty , on calcule \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x) }{x}

\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x) }{x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^3(\ln x -1)^2=+\infty

En effet \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty\enskip\text{ et }\enskip \lim_{x\to+\infty} \ln x =+\infty

Interprétation graphique :

\boxed{(C) \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty}


2-a) On calcule la limite en 0 à droite de la fonction f :

\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^4(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^2 \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix}

En effet , on sait que : \displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln x =0

Donc :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0)}


D'où :

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est continue à droite en }0 }


b) On calcule la limite en 0 à droite du taux de variation de la fonction f :

\begin{matrix}\displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x^3(\ln x -1)^2\\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x x^2(\ln x -1)^2\\ &=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left[x(\ln x -1)\right]^2 \\&=&\displaystyle \lim_{x\to0^+}x \left(x\ln x -x\right)^2\\&=& 0\end{matrix}

Cette limite existe \displaystyle \lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=f'_d(0)=0 , et donc :

\boxed{\text{ La fonction }\text{ est dérivable à droite en }0}


Interprétation graphique :

La courbe (C) représentative de f admet en son point O(0, f(0)=0) d'abscisse 0 une demi-tangente horizontale dirigée vers la droite , puisque son coefficient directeur f'_d(0) est nul.

\boxed{(C)\text{ admet l'axe des abscisses comme demi-tangente au point }O(0;0)\text{ à droite }}


3-a) f est dérivable sur ]0;+\infty[ comme produit d'une fonction polynômiale et d'une fonction en \ln , d'où , pour tout réel x\in]0;+\infty[ :

\begin{matrix}f'(x)&=&\left(x^4(\ln x -1)^2\right)'&=& (x^4)'(\ln x-1)^2+ x^4\left[(\ln x-1)^2\right]'\\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4(\ln x-1)'(\ln x-1) &=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^4\times \dfrac{1}{x}(\ln x-1) \\\\&=& 4x^3(\ln x-1)^2 +2x^3(\ln x-1) &=& 2x^3(\ln x-1)(2(\ln x-1)+1) \\\\&=& 2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)\end{matrix}

\boxed{\forall x\in]0;+ \infty[\text{ , }f'(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)}


b) Puisque pour tout x\in]0;+\infty[ \text{ , }2x^3>0 , alors le signe de f'(x) est celui du produit (\ln x-1)(2\ln x-1)

On résoud les équations suivante sur ]0;+\infty[\text{ : }

\ln x-1=0\iff \ln x = 1 \iff x=e

2\ln x-1=0\iff 2\ln x = 1 \iff \ln x=\dfrac{1}{2} \iff x=e^{1/2} \iff x=\sqrt{e}

Et pusique \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[ , on peut tracer le tableau de signe de (\ln x-1)(2\ln x-1)

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x       & 0       &        & \sqrt{e}  &    & e &   & +\infty    \\ \hline \ln x -1     &\dbarre & - & \barre{} &  -     &   \barre{0}                   &    +&        \\  \hline 2\ln x -1     &\dbarre & - & \barre{0} &  +     &   \barre{}                   &    +&      \\  \hline (\ln x-1)(2\ln x-1)     &\dbarre & + & \barre{0} &  -     &   \barre{0}                   &    +&       \\   \hline \end{array}


Et on dresse le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x       & 0       &        & \sqrt{e}  &    & e &   & +\infty    \\  \hline f'(x)     &\dbarre & + & \barre{0} &  -     &   \barre{0}                   &    +&       \\   \hline & &&e^2/4&&&&+\infty  \\  f   &&\nearrow&&\searrow&&\nearrow & \\    &0 &&&&0& &     \\ \hline\end{array}


f(\sqrt{e})=(\sqrt{e})^4(\ln\sqrt{e}-1)^2=e^2\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2=\dfrac{e^2}{4}
f(e)=e^4(\ln e-1)^2=e^4\times 0=0

4-a) Pour tout réel x strictement positif \text{ : }f''(x)=2x^2(6\ln x-5)\ln x .

On sait que pour tout réel x>0\text{ , }2x^2>0 , donc le signer de f''(x) est celui de (6\ln x-5)\ln x

On résoud l'équation suivante sur ]0;+\infty[\text{ : }

6\ln x-5=0\iff 6\ln x = 5 \iff \ln x=\dfrac{5}{6} \iff x=e^{5/6}

Et pusique \ln est strictement croissante sur ]0;+\infty[ , on peut tracer le tableau de signe de f''(x)

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x       & 0       &        & 1  &    & e^{5/6} &   & +\infty    \\ \hline \ln x     &\dbarre & - & \barre{0} & +      &   \barre{}                   &    +&        \\  \hline 6\ln x-5     &\dbarre & - & \barre{} &  -     &   \barre{0}                   &    +&      \\  \hline f''(x)     &\dbarre & + & \barre{0} &  -     &   \barre{0}                   &    +&       \\   \hline \end{array}


\boxed{\begin{matrix} \forall x\in]0;1]\cup [e^{5/6};+\infty[\text{ : }f''(x)\geq 0 \\\forall x\in[1;e^{5/6}]\text{ : }f''(x)\leq 0 \end{matrix}}


b) D'après ce qui précède , f'' ne s'annule qu'en 1 et e^{5/6} en changeant de signe , donc :

\boxed{(C)\text{ admet deux points d'inflexion d'abscisse }1 \text{ et d'abscisse }e^{5/6}}


Remarque : On déduit de ce qui précède aussi que f est convexe sur ]0;1]\cup[e^{5/6};+\infty[ et concave sur [1;e^{5/6}] .

5-a) Voir 6-b)

b) L'équation x^2(\ln x -1)=-1 est définie pour tout x de ]0;+\infty[ , et puisque x^2>0 sur cet intervalle , il faut que (\ln x-1)< 0 pour que le produit x^2(\ln x-1) puisse être égal à -1

Et \ln x-1< 0\iff \ln x< 1\iff x< e , on en tire que les solutions de cette équation appartiennent à ]0;e[.

Ensuite : \forall x\in]0;e[\text{ : }

x^2(\ln x-1)=-1 \iff x^4(\ln x-1)^2=1 \iff f(x)=1

Le nombre de solutions de cette équation correspond au nombre de fois que la courbe (C) de f coupe la droite horizontale d'équation y=1 sur l'intervalle ]0;e[ seulement !

D'où , en se référant à la représentation graphique (les points verts):

\boxed{\text{ Le nombre de solutions de l'équation }x^2(\ln x -1)  = -1 \text{ est }2 }


6-a) On a :

Pour tout réel x \text{ , }-x\in\R .

\forall x\in\R\text{ : }g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)

On en déduit que :

\boxed{\text{ La fonction }g\text{ est une fonction paire }}


b) Puisque g est paire , il suffit de tracer (C_g) sur \R^{+} , le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

De plus , pour tout x\in\R^{+} \text{ : } |x|=x , alors g(x)=f(|x|)=f(x) pour tout x\in\R^{+} , donc (C_g) et (C) sont confondues sur \R^{+} .

On obtient :
Bac Maroc 2022 SVT-PC rattrapage  : image 1


7-a) Intégration par parties :

On pose \begin{cases}u(x)=\ln x-1 \\v'(x)=x^4 \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=\dfrac{x^5}{5}\end{cases}

D'où :

\begin{matrix} I&=&\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\int_{1}^{e}\dfrac{x^5}{5}\times\dfrac{1}{x}\text{ d}x\\&=&\displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\dfrac{1}{5}\int_{1}^{e}x^4\text{ d}x &=& \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}(\ln x-1)\right]_{1}^{e} -\left[\dfrac{1}{5}\times\dfrac{x^5}{5}\right]_{1}^{e}\\&=&  \displaystyle \left[\dfrac{x^5}{5}\left(\ln x-\dfrac{6}{5}\right)\right]_{1}^{e} &=& \dfrac{e^5}{5}\left(1-\dfrac{6}{5}\right)-\dfrac{1}{5}\times\left(-\dfrac{6}{5}\right) \\&=& -\dfrac{e^5}{25}+\dfrac{6}{25} \end{matrix}

\boxed{ I=\dfrac{6-e^5}{25} }


b) La fonction h définie sur l'intervalle ]0,+\infty[ par h(x)=x^5(\ln x-1)^2 est dérivable sur ]0;+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)&=&\left(x^5(\ln x-1)^2\right)'&=& 5x^4(\ln x-1)^2+x^5\times 2\times\dfrac{1}{x}\times (\ln x-1) \\\\&=& 5x^4(\ln x-1)^2+2x^4(\ln x-1) &=&\boxed{5f(x)+2x^4(\ln x-1)}\end{matrix}


c) Pour tout réel x\in]0;+\infty[\text{ : }h'(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1) , d'où f(x)=\dfrac{1}{5}h'(x)-\dfrac{2}{5}x^4(\ln x-1)

Or , [1;e]\subset ]0;+\infty[ \text{ , alors : }\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} h'(x)\text{ d}x-\dfrac{2}{5}\displaystyle \int_{1}^{e} x^4(\ln x-1)\text{ d}x=\dfrac{1}{5}\left[h(x)\right]_1^e-\dfrac{2}{5}I

D'autre part \displaystyle\left[h(x)\right]_1^e=e^5(\ln e-1)^2 -(\ln 1-1)^2  =-1

D'où :

\boxed{\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I}


d) L'aire \mathcal{A} du domaine délimité par la courbe (C) et l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1\text{ et } x=e est en unités d'aire (UA) :

\mathcal{A}=\displaystyle \int_{1}^{e} |f(x)|\text{ d}x

Et on a vu que , pour tout réel x\in [0;+\infty[\text{ : }f(x)\geq 0 , donc :

\mathcal{A}=\displaystyle \int_{1}^{e} |f(x)|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)\text{ d}x

On en déduit que \mathcal{A}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I\enskip(UA)

Enfin , on a : 1UA=1\text{ cm}\times 1\text{ cm}=1\text{ cm}^2

Alors :
\boxed{\mathcal{A}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}I\enskip(\text{cm}^2)}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !