Durée : 3 heures
Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
2,5 points
exercice 1
Soit la suite numérique définie par :
1-a) Montrer que pour tout de
b) Montrer que pour tout de , et en déduire que la suite est décroissante et convergente .
2- On pose pour tout de .
a) Montrer que est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme .
b) Ecrire en fonction de puis déduire la limite de la suite .
c) Calculer la somme .
3 points
exercice 2
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les deux points . Soit la sphère de centre et de rayon , et
la droite passant par le point et de vecteur directeur .
1-a) Calculer la distance .
b) Montrer que les droites et sont perpendiculaires .
c) Déduire la position relative de la droite et la sphère .
2- Soit le point où , montrer que et déduire que pour tout .
3-a) Vérifier que est une équation du plan passant par et perpendiculaire à la droite .
b) Montrer que .
c) Déterminer les deux valeurs de pour lesquelles le plan est tangent à la sphère .
3 points
exercice 3
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les points d'affixes respectives .
1- Déterminer le nombre complexe affixe du point milieu du segment .
2- Soit l'homothétie de centre et de rapport , déterminer le nombre complexe affixe du point l'image de par .
3- On considère la rotation de centre et d'angle , déterminer l'image de par .
4- Soit le point d'affixe .
a) Vérifier que .
b) En déduire que
c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre et en déduire la nature du triangle .
d) Déduire que les points appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre .
3 points
exercice 4
Une urne contient trois boules blanches , quatre boules rouges et cinq boules vertes indiscernables au toucher . On tire au hazard et simultanément trois boules de l'urne .
1- On considère les évènements suivants :
a) Montrer que .
b) Calculer : la probabilité de l'évènement sachant que l'évènement est réalisé . Les évènements et sont-ils indépendants ?
2- Soit la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées .
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes .
8,5 points
probleme
Soit la fonction numérique définie sur par : et sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1- Calculer puis déterminer la branche infinie de au voisinage de .
2-a) Montrer que est continue à droite en .
b) Etudier la dérivabilité de à droite en puis interpréter le résultat géométriquement .
3-a) Montrer que pour tout de l'intervalle .
b) Dresser le tableau de variations de .
4-a) Sachant que pour tout de l'intervalle , étudier le signe de sur .
b) Déduire que la courbe admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses .
5-a) Construire la courbe dans le repère .
b) En utilisant la courbe , déterminer le nombre de solutions de l'équation .
6- On considère la fonction définie sur par .
a) Montrer que la fonction est paire .
b) Construire la courbe représentative de dans le même repère .
7-a) On pose , en utilisant une intégration par parties , montrer que .
b) On considère la fonction définie sur l'intervalle par . Vérifier que .
c) Déduire que .
d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses et les droites d'équations .
Initialisation : Pour
La proposition est vérifiée pour
Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain montrons alors que dans ce cas , on a aussi
On a , donc , d'où
Ou encore .
Enfin :
Par conséquent :
Conclusion : On conclut par récurrence que :
b) Pour tout entier naturel
Puisque , pour tout
Le signe de est celui de car
Donc :
On en déduit que :
Récapitulons :
est décroissante .
est minorée par .
Donc :
2-a)
Donc :
Conclusion :
b) Puisque est géométrique de raison et de premier terme
Alors :
De plus , pour tout entier naturel
Et comme , alors
On obtient :
c) Caclulons la somme
exercice 2
1-a) Calcul de la distance :
b) Calculons les coordonnées du vecteur , qui est un vecteur directeur de la droite :
D'autre part , est un vecteur directeur de la droite , alors pour montrer que les droites sont perpendiculaires , il suffit de montrer que le produit scalaire est nul .
On en tire que sont orthogonaux .
D'où :
c) étant la sphère de centre et de rayon .
Et , donc
Or , , donc :
2) On a :
sont donc colinéaires , et puisque et est directeur de
Alors est aussi directeur de et :
3-a) On a est perpendiculaire à et est directeur de .
Le vecteur est donc normal à .
Une équation de s'écrit alors sous la forme : .
Or , , d'où :
Donc :
b) On a :
c) est tangent au sphère si et seulement si
Conclusion :
exercice 3
1) Le point milieu du segment , alors :
2) Le point est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport , d'où :
3) Notons l'affixe du point image de par la rotation de centre et d'angle , donc :
Conclusion :
4-a) On a :
b) Directement :
c)Calculons :
On en déduit que :
Interprétation géométrique :
d) Puisque , alors les points appartiennent à un même cercle .
De plus , d'après ce qui précède , le triangle est rectangle en , on en tire que est le diamètre de ce cercle .
Conclusion :
exercice 4
L'urne contient :
Trois boules blanches
Quatre boules rouges
Cinq boules vertes
Donc :
1-a) Soit est l'évènement " Obtenir exactement deux boules rouges " , alors :
Donc
Soit est l'évènement " Obtenir exactement une boule verte " , alors :
Donc
b) On a
Donc
D'où :
On en déduit que , ce qui veut dire que :
2-a) étant la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.
Et pusique qu'il y en a 3 boules vertes dans l'urne , donc les valeurs prises par sont :
.
.
Récapitulatif :
c) La probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes est , d'où :
probleme
est définie sur par :
1) Puisque
D'où :
Pour déterminer la branche infinie au voisinage de , on calcule
En effet
Interprétation graphique :
2-a) On calcule la limite en à droite de la fonction :
En effet , on sait que :
Donc :
D'où :
b) On calcule la limite en à droite du taux de variation de la fonction :
Cette limite existe , et donc :
Interprétation graphique :
La courbe représentative de admet en son point d'abscisse une demi-tangente horizontale dirigée vers la droite , puisque son coefficient directeur est nul.
3-a) est dérivable sur comme produit d'une fonction polynômiale et d'une fonction en , d'où , pour tout réel :
b) Puisque pour tout , alors le signe de est celui du produit
On résoud les équations suivante sur
Et pusique est strictement croissante sur , on peut tracer le tableau de signe de
Et on dresse le tableau de variations de la fonction :
4-a) Pour tout réel strictement positif .
On sait que pour tout réel , donc le signer de f''(x) est celui de
On résoud l'équation suivante sur
Et pusique est strictement croissante sur , on peut tracer le tableau de signe de
b) D'après ce qui précède , ne s'annule qu'en et en changeant de signe , donc :
Remarque : On déduit de ce qui précède aussi que est convexe sur et concave sur .
5-a) Voir 6-b)
b) L'équation est définie pour tout de , et puisque sur cet intervalle , il faut que pour que le produit puisse être égal à
Et , on en tire que les solutions de cette équation appartiennent à .
Ensuite :
Le nombre de solutions de cette équation correspond au nombre de fois que la courbe de coupe la droite horizontale d'équation sur l'intervalle seulement !
D'où , en se référant à la représentation graphique (les points verts):
6-a) On a :
Pour tout réel .
On en déduit que :
b) Puisque est paire , il suffit de tracer sur , le reste de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
De plus , pour tout , alors pour tout , donc et sont confondues sur .
On obtient :
7-a) Intégration par parties :
On pose
D'où :
b) La fonction définie sur l'intervalle par est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :
c) Pour tout réel , d'où
Or ,
D'autre part
D'où :
d) L'aire du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses et les droites d'équations est en unités d'aire :
Et on a vu que , pour tout réel , donc :
On en déduit que
Enfin , on a :
Alors :
Publié par malou/Panter
le
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