Fiche de mathématiques

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Bac Maroc

Sciences économiques 2022

Rattrapage

Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
4,5 points

exercice 1

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite numérique définie par : $u_0=\dfrac{1}{2} \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{2u_n+1} \text{ pour tout }n\text{ de }\N$

1. Calculer $u_1 \text{ et }u_2$ .

2.a Montrer par récurrence que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n>0$
2.b. Montrer par récurrence que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n<1$

3.a. Vérifier que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}$ .
3.b. En déduire que $(u_n)_{n\in\N}$ est une suite croissante .
3.c.Déduire de ce qui précède que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente .

4. On pose pour tout $n\text{ de }\N\text{ : }v_n=\dfrac{1}{u_n}-1$
4.a. Calculer $v_0$ .
4.b. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ .
4.c. Donner $v_n$ en fonction de $n$ .

5.a. Montrer que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{v_n+1}$ .
5.a. Montrer que pour tout $n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^n+1}$ .
5.c. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ .

11 points

exercice 2

Partie I

On considère la fonction numérique $g$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }g(x)=x^2+2-2\ln x$

1. Montrer que $g'(x)=2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)$ .

2. En déduire que $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et que $g$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ .

3.a. Calculer $g(1)$ .
3.b. Dresser le tableau de variations de $g$ (Le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé) .
3.c. En déduire que : $g(x)\geq 3$ pour tout $x$ de $]0;+\infty[$ .

Partie II

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=x+1+\dfrac{2\ln x}{x}$
et soit $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

1. Calculer $\displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\x>0\end{smallmatrix}}f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ .
2.b. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(f(x)-(x+1)\right)$
2.c. Donner une interprétation géométrique du résultat .

3.a. Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2} \text{pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[$ .
3.b. Déduire que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .
3.c. Dresser le tableau de variations de $f$ .

4.a. Montrer que $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)\text{ pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[$ .
4.b. En déduire que la courbe $(\mathcal C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e\sqrt{e}$ .

5. Dans la figure ci-dessous $(\mathcal C_f )$ est la courbe représentative de $f$ et $(\Delta)$ la droite d'équation $y=x+1$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
5.a. Montrer que $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x =\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2$ .

5.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .

4,5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Une urne contient six jetons rouges portant les numéros $1,2,2,2,3,3$ et quatre jetons verts portant les numéros $2,2,2,3$ .
(Tous les jetons sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard trois jetons de l'urne .
On considère les événements suivants :

A: "Les jetons tirés portent le même numéro"
B: "Les jetons sont de même couleur"

1. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à $120$ .

2.a. Montrer que $p(A)=\dfrac{7}{40}$ .
2.b. Calculer $p(B)$ .
2.c. Calculer la probabilité de tirer trois jetons du même couleur sachant qu'ils portent le même numéro .
2.d. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse .

3. Soit $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de couleurs obtenues à chaque tirage .
Calculer $p(X=1)\text{ et }p(X=2)$ .

Correction

exercice 1

1) On a :

$u_1= \dfrac{3u_0}{2u_0+1}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2}{2}+1}=\dfrac{3}{2+ 2}=\dfrac{3}{4}$
$u_2=\dfrac{3u_1}{2u_1+1}=\dfrac{3\times\dfrac{3}{4}}{2\times\dfrac{3}{4}+1}=\dfrac{9}{6+4}=\dfrac{9}{10}$

$\boxed{u_1=\dfrac{3}{4}\enskip\text{ et }\enskip u_2=\dfrac{9}{10}}$

2-a) Montrons par récurrence que pour tout $n\in\N\text{ : }u_n>0$

Initialisation : Pour $n=0\text{ , on a }u_0=\dfrac{1}{2}>0$
La proposition est vérifiée pour $n=0$

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain $n\in\N \text{ , } u_n>0\text{ , }$ montrons alors que dans ce cas , on a aussi $u_{n+1}>0$

On a $\begin{matrix}u_n>0&\Rightarrow& \begin{cases}3u_n>0\\ 2u_n+1>1>0& \end{cases} &\Rightarrow& \dfrac{3u_n}{2u_n+1}>0\enskip\text{ comme quotient de deux réels strictement positifs }\end{matrix}$

Par conséquent $\text{ : }u_{n+1}>0$

Conclusion : On conclut par récurrence que :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>0}$

b) Montrons par récurrence que pour tout $n\in\N\text{ : }u_n<1$

Initialisation : Pour $n=0\text{ , on a }u_0=\dfrac{1}{2}<1$
La proposition est vérifiée pour $n=0$

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain $n\in\N \text{ , } u_n<1\text{ , }$ montrons alors que dans ce cas , on a aussi $u_{n+1}<1$

On a $\begin{matrix}u_n<1&\Rightarrow& 2u_n+u_n<2u_n+1&\Rightarrow& 3u_n<2u_n+1&\Rightarrow &\dfrac{3u_n}{2u_n+1}<1\end{matrix}$

Par conséquent $\text{ : }u_{n+1}<1$

Conclusion : On conclut par récurrence que :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n<1}$

3-a) Pour tout $n\in\N\text{ : }$

$\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{3u_n}{2u_n+1}-u_n&=&\dfrac{3u_n}{2u_n+1}-\dfrac{u_n(2u_n+1)}{2u_n+1} \\\\&=& \dfrac{3u_n-u_n(2u_n+1)}{2u_n+1}&=&\dfrac{u_n(3-2u_n-1)}{2u_n+1}\\\\&=& \dfrac{u_n(2-2u_n)}{2u_n+1}&=& \dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}\end{matrix}$

Conclusion :
$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n= \dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}}$

b) Puisque pour tout entier naturel $n\text{ , }0<u_n$ , alors $0<2u_n+1$ et donc , le signe de $u_{n+1}-u_n$ est celui de $(1-u_n)$ .

Et , d'après ce qui précède , on a pour tout $n\in\N\text{ : }u_n<1 \text{ , et donc }0<1-u_n\text{ . }$

D'où :
$\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }0<u_{n+1}-u_n$

Ce qui veut dire que :

$\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) croissante }}$

c) D'après ce qui précède :

$(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) croissante }$
$(u_n)_{n\in\N} \text{ est majorée par } 1$

D'où :

$\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente }}$

4-a) Directement : $v_0=\dfrac{1}{u_0}-1=2-1=1$

$\boxed{v_0=1}$

b) Pour tout $n$ de $\N\text{ : }$

$\begin{matrix}v_{n+1}&=&\dfrac{1}{u_{n+1}}-1&=&\dfrac{2u_n+1}{3u_n}-1 \\\\&=&\dfrac{2u_n+1-3u_n}{3u_n}&=& \dfrac{1-u_n}{3u_n}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1-u_n}{u_n}\right)&=&\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{u_n}-1\right)\\\\&=&\boxed{\dfrac{1}{3}v_n}\end{matrix}$

Conclusion :

$\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{3}\text{ et de premier terme }v_0=1 }$

c) Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=1$

Alors : $\forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{1}{3}\right)^n =\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}$

5-a) On a pour tout $n\text{ de }\N\text{ : }v_n=\dfrac{1}{u_n}-1$

Alors $\dfrac{1}{u_n}=v_n+1$ , d'où : $u_n=\dfrac{1}{v_n+1}$

On a obtenu: $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{v_n+1}}$

b) Puisque pour tout $n$ de $\N\text{ on a : }v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\text{ et }\enskip u_n=\dfrac{1}{v_n+1}\text{ , alors : }$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1}}$

c) comme $-1<\dfrac{1}{3}<1$ , alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$

On obtient :
$\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=1}$

exercice 2

Partie I

1) $g$ est définie sur $]0;+\infty[\text{ par : }g(x)=x^2+2-2\ln x$ , elle est donc dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[\text{ : }$

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g'(x)&=&\left(x^2+2-2\ln x\right)'&=& 2x-2\times\dfrac{1}{x}&=&\dfrac{2x^2-2}{x}&=&2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) \end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g'(x)=2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) }$

2) Puisque $x\in]0;+\infty[\text{ , alors le signe de }g'(x)\text{ est celui de }x^2-1$

Or , $x^2-1=(x-1)(x+1) \enskip\text{ et }\enskip x+1>1>0$ , donc le signe de $g'(x)$ est finalement celui de $x-1$ .

Et en sachant que : $\begin{cases} x-1\geq 0 \text{ pour tout }x\in[1;+\infty[ \\x-1\leq 0 \text{ pour tout }x\in]0;1]\end{cases}$

Alors : $\begin{cases} g'(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in[1;+\infty[ \\g'(x)\leq 0 \text{ pour tout }x\in]0;1]\end{cases}$

On en déduit que :

$\boxed{\begin{matrix} g\text{ est strictement décroissante sur }]0;1]\\ g\text{ est strictement croissante sur }[1;+\infty[\end{matrix}}$

3-a) On a directement :

$\begin{matrix}g(1)&=&1+2-\ln 1 &=& 3\end{matrix}$

$\boxed{g(1)=3}$

b) On dresse le tableau de variations de $g$ :
$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & 1 & & +\infty \\ \hline g'(x) &\dbarre& &- & \barre{0} & + & \\ \hline & \dbarre& & & & & \\ g &\dbarre & & \searrow && \nearrow& \\ & \dbarre&& &3& & \\ & \dbarre&& && & \\ \hline \end{array}$

c) On déduit du tableau de variations que le minimum de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$ est $3$ .

D'où :
$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq 0}$

Partie II

1) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x =-\infty \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x} =+\infty\enskip\text{ , alors }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x} =(+\infty) \times(-\infty )=-\infty$

Il s'ensuit que : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}=0+1-\infty=-\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =-\infty}$

Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ de }f}$

2-a) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0$

Alors : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}=+\infty+1+0=+\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =+\infty}$

b) On a :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-(x+1) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}-(x+1)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-(x+1) =0}$

c) Interprétation graphique :

$\boxed{\text{ La droite d'équation }y=x+1 \text{ est une asymptote oblique à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ au voisinage de }+\infty}$

3-a) $f$ est une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(x+1+\dfrac{2\ln x}{x}\right)'&=& 1+2\left(\dfrac{(\ln x)'x-(\ln x)}{x^2}\right)\\\\&=& 1+2\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\right)&=& 1+2\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right)\\\\&=& \dfrac{x^2+2-2\ln x}{x^2}\end{matrix}$

Donc : $\boxed{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2} \text{ , pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ }$

b) On a vu en 3-c) de la partie I que : $\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq 3>0$

Et puisque $x^2>0$ pour tout $x\in]0;+\infty[$ , alors :

$\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)>0$

On obtient donc :

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty[}$

c) Avec les résultats qu'on a trouvé , on dresse le tableau de variations de la fonction $f$ :

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & 0 & & & +\infty \\ \hline f'(x) &\dbarre& &+ & \\ \hline & \dbarre& & & +\infty \\ f &\dbarre & & \nearrow& \\ & \dbarre&& & \\ & \dbarre&-\infty& & \\ \hline \end{array}$

4-a) La fonction $f'$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f''(x)&=&\left(\dfrac{g(x)}{x^2}\right)'&=& \dfrac{x^2 g'(x)-2xg(x)}{x^4} \\\\&=& \dfrac{1}{x^3}\left(xg'(x)-2g(x)\right) &=& \dfrac{1}{x^3}\left(2x\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)-2(x^2+2-2\ln x)\right) \\\\&=& \dfrac{2}{x^3}(x^2-1-x^2-2+2\ln x) &=& \dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x) \end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f''(x)=\dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)}$

b) L'abscisse d'un éventuel point d'inflexion doit vérifier l'équation $f''(x)=0$

On a :
$\begin{matrix}f''(x)=0&\iff& \dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)=0&\iff& -3+2\ln x =0 \\\\&\iff& \ln x =\dfrac{3}{2} &\iff& x=e^{3/2} \\\\&\iff& x=\sqrt{e^3} &\iff& x=\sqrt{e^2 \times e } \\\\&\iff& x=e\sqrt{e} \end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{(\mathcal C_f) \text{ admet un point d'inflexion d'abscisse }e\sqrt{e}}$

5-a) On a :

$\begin{matrix}\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\ln x\right)'\ln x \text{ d}x \\\\&=& \left[\dfrac{\ln ^2 x}{2}\right]_{1}^{2} &=& \dfrac{\ln ^2 (2)}{2}-\dfrac{\ln ^2 1}{2} \\\\&=& \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 \end{matrix}$

On obtient :
$\boxed{ \displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x =\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 }$

b) L'aire de la partie hachurée qui est délimité par la courbe $(\mathcal{C}_f)$ et la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x=1\text{ et } x=2$ est en unités d'aire (UA) :

$\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-y|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-(x+1)|\text{ d}x$

Et puisque la courbe $(\mathcal{C}_f)$ est au-dessus de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $[1;2]$ , alors $f(x)-(x+1)\geq 0 \text{ , pour tout }x\in\left[1; 2 \right]$

L'aire de la partie hachurée est en unité d'aire $(UA)$ est donc :

$\begin{matrix}\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-(x+1)|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)-(x+1)\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} 2\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x\\\\&=&\displaystyle 2\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&2\times \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 \\\\&=&(\ln 2)^2\end{matrix}$

$\boxed{\text{ L'aire de la partie hachurée vaut en unité d'aire }(\ln 2)^2\enskip(UA)}$

exercice 3

1) Une urne contient 6 jetons rouges portant les numéros $1,2,2,2,3,3$ et 4 jetons verts portant les numéros $2,2,2,3$ , donc 10 au total . Et on tire simultanément au hasard 3 jetons de l'urne .

Donc : $\boxed{\text{Card }\Omega={10\choose 3}=120}$

2-a) On a A " Les jetons tirés portent le même numéro" . Donc $A=\lbrace 2\text{ , }2\text{ , }2\rbrace \text{ ou }\lbrace 3\text{ , }3\text{ , }3\rbrace$

$p(A)=\dfrac{ {6\choose 3}+ {3\choose 3 }}{120}=\dfrac{20+1}{120}=\dfrac{7}{40}$

$\boxed{p(A)=\dfrac{7}{40}}$

b) On a B: "Les jetons sont de même couleur" . Donc $B=\lbrace R\text{ , }R\text{ , }R\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\text{ , }V\rbrace$

$p(B)=\dfrac{ {6\choose 3 } +{4\choose 3 }}{120}=\dfrac{20+4}{120}=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}$

$\boxed{p(B)=\dfrac{1}{5}}$

c) On a : $A\cap B = \lbrace R_2 \text{ ; }R_{2}\text{ ; }R_{2}\rbrace \text{ ou } \lbrace V_2 \text{ ; }V_{2}\text{ ; }V_{2}\rbrace$

Donc $p(A\cap B)= \dfrac{ {3\choose 3 }+ {3\choose 3 } }{120}=\dfrac{2 }{120}=\dfrac{1}{60}$

$\boxed{p(A\cap B)=\dfrac{1}{60}}$

d) On a $p(A)\text{ . }p(B)=\dfrac{7}{40}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{200} \neq \dfrac{1}{60}$

Donc $p(A)\text{ . }p(B)\neq p(A\cap B)$ , d'où :

$\boxed{\text{ Les événements }A\text{ et }B\text{ ne sont pas indépendants }}$

3) $X$ étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de couleurs obtenues à chaque tirage.

Et puisqu'on n'a que 2 couleurs , alors $X$ peut prendre deux valeurs 1 ou 2 .

Dans le cas $(X=1)$ , les jetons tirés sont tous de même couleur , d'où :

$\boxed{p(X=1)=p(B)=\dfrac{1}{5}}$

Dans le cas $(X=2)$ , on a les possibilités suivantes : $\lbrace R\text{ , }R\text{ , }V\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\text{ , }R\rbrace$

Donc : $p(X=2)=\dfrac{ {6\choose 2}{4\choose 1}+ {6\choose 1 }{4\choose 2 }}{120}=\dfrac{15\times 4 + 6\times 6 }{120}=\dfrac{96}{120}= \dfrac{4}{5}$

$\boxed{p(X=2)=\dfrac{4}{5} }$

Remarque :

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Publié par malou/Panter le 12-12-2022

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