Fiche de mathématiques
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Bac Maroc

Sciences économiques 2022

Rattrapage

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Durée : 2 heures
Coefficient : 4
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

4,5 points

exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par : u_0=\dfrac{1}{2} \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{2u_n+1} \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1. Calculer u_1 \text{ et }u_2 .

2.a Montrer par récurrence que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n>0
2.b. Montrer par récurrence que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n<1

3.a. Vérifier que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1} .
3.b. En déduire que (u_n)_{n\in\N} est une suite croissante .
3.c.Déduire de ce qui précède que la suite (u_n)_{n\in\N} est convergente .

4. On pose pour tout n\text{ de }\N\text{ : }v_n=\dfrac{1}{u_n}-1
4.a. Calculer v_0.
4.b. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison \dfrac{1}{3} .
4.c. Donner v_n en fonction de n .

5.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{v_n+1} .
5.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^n+1} .
5.c. Calculer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n .

11 points

exercice 2

Partie I

On considère la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }g(x)=x^2+2-2\ln x

1. Montrer que g'(x)=2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) .

2. En déduire que g est strictement décroissante sur ]0;1] et que g est strictement croissante sur [1;+\infty[ .

3.a. Calculer g(1) .
3.b. Dresser le tableau de variations de g (Le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé) .
3.c. En déduire que : g(x)\geq 3 pour tout x de ]0;+\infty[ .

Partie II

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=x+1+\dfrac{2\ln x}{x}
et soit (\mathcal C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) .

1. Calculer \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\x>0\end{smallmatrix}}f(x) et donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) .
2.b. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(f(x)-(x+1)\right)
2.c. Donner une interprétation géométrique du résultat .

3.a. Montrer que f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2} \text{pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ .
3.b. Déduire que f est strictement croissante sur ]0;+\infty[ .
3.c. Dresser le tableau de variations de f .

4.a. Montrer que f''(x)=\dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)\text{ pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ .
4.b. En déduire que la courbe (\mathcal C_f) admet un point d'inflexion d'abscisse e\sqrt{e} .

5. Dans la figure ci-dessous (\mathcal C_f ) est la courbe représentative de f et (\Delta) la droite d'équation y=x+1 dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .
5.a. Montrer que \displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x =\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 .

5.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .
Bac Maroc 2022 ECO rattrapage : image 1


4,5 points

exercice 3

(On donnera les résultats sous forme de fraction)

Une urne contient six jetons rouges portant les numéros 1,2,2,2,3,3 et quatre jetons verts portant les numéros 2,2,2,3.
(Tous les jetons sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément au hasard trois jetons de l'urne .
On considère les événements suivants :

A: "Les jetons tirés portent le même numéro"
B: "Les jetons sont de même couleur"

1. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à 120 .

2.a. Montrer que p(A)=\dfrac{7}{40} .
2.b. Calculer p(B) .
2.c. Calculer la probabilité de tirer trois jetons du même couleur sachant qu'ils portent le même numéro .
2.d. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse .

3. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de couleurs obtenues à chaque tirage .
Calculer p(X=1)\text{ et }p(X=2) .







exercice 1

1) On a :

u_1= \dfrac{3u_0}{2u_0+1}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2}{2}+1}=\dfrac{3}{2+ 2}=\dfrac{3}{4}
u_2=\dfrac{3u_1}{2u_1+1}=\dfrac{3\times\dfrac{3}{4}}{2\times\dfrac{3}{4}+1}=\dfrac{9}{6+4}=\dfrac{9}{10}

\boxed{u_1=\dfrac{3}{4}\enskip\text{ et }\enskip u_2=\dfrac{9}{10}}


2-a) Montrons par récurrence que pour tout n\in\N\text{ : }u_n>0

Initialisation : Pour n=0\text{ , on a }u_0=\dfrac{1}{2}>0
La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N \text{ , } u_n>0\text{ , } montrons alors que dans ce cas , on a aussi u_{n+1}>0

On a \begin{matrix}u_n>0&\Rightarrow& \begin{cases}3u_n>0\\	2u_n+1>1>0& \end{cases} &\Rightarrow& \dfrac{3u_n}{2u_n+1}>0\enskip\text{ comme quotient de deux réels strictement positifs }\end{matrix}

Par conséquent\text{ : }u_{n+1}>0

Conclusion : On conclut par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>0}


b) Montrons par récurrence que pour tout n\in\N\text{ : }u_n<1

Initialisation : Pour n=0\text{ , on a }u_0=\dfrac{1}{2}<1
La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N \text{ , } u_n<1\text{ , } montrons alors que dans ce cas , on a aussi u_{n+1}<1

On a \begin{matrix}u_n<1&\Rightarrow& 2u_n+u_n<2u_n+1&\Rightarrow& 3u_n<2u_n+1&\Rightarrow &\dfrac{3u_n}{2u_n+1}<1\end{matrix}

Par conséquent\text{ : }u_{n+1}<1

Conclusion : On conclut par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n<1}


3-a) Pour tout n\in\N\text{ : }

\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{3u_n}{2u_n+1}-u_n&=&\dfrac{3u_n}{2u_n+1}-\dfrac{u_n(2u_n+1)}{2u_n+1} \\\\&=& \dfrac{3u_n-u_n(2u_n+1)}{2u_n+1}&=&\dfrac{u_n(3-2u_n-1)}{2u_n+1}\\\\&=& \dfrac{u_n(2-2u_n)}{2u_n+1}&=& \dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n= \dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}}


b) Puisque pour tout entier naturel n\text{ , }0<u_n , alors 0<2u_n+1 et donc , le signe de u_{n+1}-u_n est celui de (1-u_n) .

Et , d'après ce qui précède , on a pour tout n\in\N\text{ : }u_n<1 \text{ , et donc }0<1-u_n\text{ . }

D'où :
\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }0<u_{n+1}-u_n


Ce qui veut dire que :

\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) croissante }}


c) D'après ce qui précède :

(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) croissante }
(u_n)_{n\in\N} \text{ est majorée par } 1

D'où :

\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente }}


4-a) Directement : v_0=\dfrac{1}{u_0}-1=2-1=1

\boxed{v_0=1}


b) Pour tout n de \N\text{ : }

\begin{matrix}v_{n+1}&=&\dfrac{1}{u_{n+1}}-1&=&\dfrac{2u_n+1}{3u_n}-1 \\\\&=&\dfrac{2u_n+1-3u_n}{3u_n}&=& \dfrac{1-u_n}{3u_n}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1-u_n}{u_n}\right)&=&\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{u_n}-1\right)\\\\&=&\boxed{\dfrac{1}{3}v_n}\end{matrix}

Conclusion :

\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{1}{3}\text{ et de premier terme }v_0=1 }


c) Puisque (v_n) est géométrique de raison \dfrac{1}{3} et de premier terme v_0=1

Alors : \forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{1}{3}\right)^n =\left(\dfrac{1}{3}\right)^n

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}


5-a) On a pour tout n\text{ de }\N\text{ : }v_n=\dfrac{1}{u_n}-1

Alors \dfrac{1}{u_n}=v_n+1 , d'où : u_n=\dfrac{1}{v_n+1}

On a obtenu:
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{v_n+1}}


b) Puisque pour tout n de \N\text{ on a : }v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\text{ et }\enskip u_n=\dfrac{1}{v_n+1}\text{ , alors : }

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1}}


c) comme -1<\dfrac{1}{3}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0

On obtient :
\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=1}


exercice 2

Partie I

1) g est définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }g(x)=x^2+2-2\ln x , elle est donc dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables sur ]0;+\infty[\text{ : }

\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g'(x)&=&\left(x^2+2-2\ln x\right)'&=& 2x-2\times\dfrac{1}{x}&=&\dfrac{2x^2-2}{x}&=&2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) \end{matrix}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g'(x)=2\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right) }


2) Puisque x\in]0;+\infty[\text{ , alors le signe de }g'(x)\text{ est celui de }x^2-1

Or , x^2-1=(x-1)(x+1) \enskip\text{ et }\enskip x+1>1>0 , donc le signe de g'(x) est finalement celui de x-1 .

Et en sachant que : \begin{cases} x-1\geq 0 \text{ pour tout }x\in[1;+\infty[ \\x-1\leq 0 \text{ pour tout }x\in]0;1]\end{cases}

Alors : \begin{cases} g'(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in[1;+\infty[ \\g'(x)\leq 0 \text{ pour tout }x\in]0;1]\end{cases}

On en déduit que :

\boxed{\begin{matrix} g\text{ est strictement décroissante sur }]0;1]\\ g\text{ est strictement croissante sur }[1;+\infty[\end{matrix}}


3-a) On a directement :

\begin{matrix}g(1)&=&1+2-\ln 1 &=& 3\end{matrix}

\boxed{g(1)=3}


b) On dresse le tableau de variations de g :
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &     &        & 1  &    &      +\infty    \\ \hline g'(x)     &\dbarre& &- & \barre{0} &  +    &                                 \\ \hline               & \dbarre& &  &      &  &       \\      g      &\dbarre &      &   \searrow     && \nearrow&  \\                    & \dbarre&&        &3& &  \\                    & \dbarre&&        && &     \\   \hline \end{array}


c) On déduit du tableau de variations que le minimum de la fonction g sur ]0;+\infty[ est 3.

D'où :
\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq 0}



Partie II

1) Puisque \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln x =-\infty \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x} =+\infty\enskip\text{ , alors }\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\ln x}{x} =(+\infty) \times(-\infty )=-\infty

Il s'ensuit que : \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}=0+1-\infty=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =-\infty}


Interprétation graphique :

\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ de }f}


2-a) Puisque \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} =0

Alors :\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}=+\infty+1+0=+\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) =+\infty}


b) On a :

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-(x+1) =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x+1+\dfrac{2\ln x}{x}-(x+1)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)-(x+1) =0}


c) Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La droite d'équation }y=x+1 \text{ est une asymptote oblique à la courbe }(\mathcal{C}_f)\text{ au voisinage de }+\infty}


3-a) f est une fonction dérivable sur ]0;+\infty[ comme quotient et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(x+1+\dfrac{2\ln x}{x}\right)'&=& 1+2\left(\dfrac{(\ln x)'x-(\ln x)}{x^2}\right)\\\\&=&  1+2\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}\right)&=& 1+2\left(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\right)\\\\&=& \dfrac{x^2+2-2\ln x}{x^2}\end{matrix}

Donc :
\boxed{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2} \text{ , pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[ }


b) On a vu en 3-c) de la partie I que : \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq 3>0

Et puisque x^2>0 pour tout x\in]0;+\infty[ , alors :

\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)>0


On obtient donc :

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty[}


c) Avec les résultats qu'on a trouvé , on dresse le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|cccc|} \hline x       & 0  &       &   &   +\infty    \\ \hline f'(x)     &\dbarre& &+ &                                  \\ \hline               & \dbarre& &  &   +\infty        \\      f      &\dbarre &    & \nearrow&  \\                    & \dbarre&&       &  \\                    & \dbarre&-\infty&        &     \\   \hline \end{array}


4-a) La fonction f' est dérivable sur ]0;+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle , alors :

\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f''(x)&=&\left(\dfrac{g(x)}{x^2}\right)'&=& \dfrac{x^2 g'(x)-2xg(x)}{x^4} \\\\&=& \dfrac{1}{x^3}\left(xg'(x)-2g(x)\right) &=& \dfrac{1}{x^3}\left(2x\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)-2(x^2+2-2\ln x)\right) \\\\&=& \dfrac{2}{x^3}(x^2-1-x^2-2+2\ln x) &=& \dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x) \end{matrix}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f''(x)=\dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)}


b) L'abscisse d'un éventuel point d'inflexion doit vérifier l'équation f''(x)=0

On a :
\begin{matrix}f''(x)=0&\iff& \dfrac{2}{x^3}(-3+2\ln x)=0&\iff& -3+2\ln x =0 \\\\&\iff& \ln x =\dfrac{3}{2} &\iff& x=e^{3/2} \\\\&\iff& x=\sqrt{e^3} &\iff& x=\sqrt{e^2 \times e } \\\\&\iff& x=e\sqrt{e} \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{(\mathcal C_f) \text{ admet un point d'inflexion d'abscisse }e\sqrt{e}}


5-a) On a :

\begin{matrix}\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x}\times \ln x\text{ d}x&=&\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\ln x\right)'\ln x \text{ d}x \\\\&=& \left[\dfrac{\ln ^2 x}{2}\right]_{1}^{2} &=& \dfrac{\ln ^2 (2)}{2}-\dfrac{\ln ^2 1}{2} \\\\&=& \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 \end{matrix}

On obtient :
\boxed{ \displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x =\dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 }


b) L'aire de la partie hachurée qui est délimité par la courbe (\mathcal{C}_f) et la droite (\Delta) et les droites d'équations x=1\text{ et } x=2 est en unités d'aire (UA) :

\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-y|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-(x+1)|\text{ d}x


Et puisque la courbe (\mathcal{C}_f) est au-dessus de la droite (\Delta) sur l'intervalle [1;2] , alors f(x)-(x+1)\geq 0 \text{ , pour tout }x\in\left[1; 2 \right]

L'aire de la partie hachurée est en unité d'aire (UA) est donc :

\begin{matrix}\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-(x+1)|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)-(x+1)\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} 2\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x\\\\&=&\displaystyle 2\int_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x &=&2\times \dfrac{1}{2}(\ln 2)^2 \\\\&=&(\ln 2)^2\end{matrix}

\boxed{\text{  L'aire de la partie hachurée vaut en unité d'aire }(\ln 2)^2\enskip(UA)}


exercice 3

1) Une urne contient 6 jetons rouges portant les numéros 1,2,2,2,3,3 et 4 jetons verts portant les numéros 2,2,2,3 , donc 10 au total . Et on tire simultanément au hasard 3 jetons de l'urne .

Donc :
\boxed{\text{Card }\Omega={10\choose 3}=120}


2-a) On a A " Les jetons tirés portent le même numéro" . Donc A=\lbrace 2\text{ , }2\text{ , }2\rbrace \text{ ou }\lbrace 3\text{ , }3\text{ , }3\rbrace

p(A)=\dfrac{ {6\choose 3}+ {3\choose 3 }}{120}=\dfrac{20+1}{120}=\dfrac{7}{40}

\boxed{p(A)=\dfrac{7}{40}}


b) On a B: "Les jetons sont de même couleur" . Donc B=\lbrace R\text{ , }R\text{ , }R\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\text{ , }V\rbrace

p(B)=\dfrac{ {6\choose 3 } +{4\choose 3 }}{120}=\dfrac{20+4}{120}=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}

\boxed{p(B)=\dfrac{1}{5}}


c) On a : A\cap B = \lbrace R_2 \text{ ; }R_{2}\text{ ; }R_{2}\rbrace \text{ ou } \lbrace V_2 \text{ ; }V_{2}\text{ ; }V_{2}\rbrace

Donc p(A\cap B)= \dfrac{ {3\choose 3 }+ {3\choose 3 } }{120}=\dfrac{2 }{120}=\dfrac{1}{60}



\boxed{p(A\cap B)=\dfrac{1}{60}}


d) On a p(A)\text{ . }p(B)=\dfrac{7}{40}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{200} \neq \dfrac{1}{60}

Donc p(A)\text{ . }p(B)\neq p(A\cap B) , d'où :

\boxed{\text{ Les événements }A\text{ et }B\text{ ne sont pas indépendants }}


3) X étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de couleurs obtenues à chaque tirage.

Et puisqu'on n'a que 2 couleurs , alors X peut prendre deux valeurs 1 ou 2 .

Dans le cas (X=1) , les jetons tirés sont tous de même couleur , d'où :

\boxed{p(X=1)=p(B)=\dfrac{1}{5}}


Dans le cas (X=2) , on a les possibilités suivantes : \lbrace R\text{ , }R\text{ , }V\rbrace\text{ ou }\lbrace V\text{ , }V\text{ , }R\rbrace

Donc : p(X=2)=\dfrac{ {6\choose 2}{4\choose 1}+ {6\choose 1 }{4\choose 2 }}{120}=\dfrac{15\times 4 + 6\times 6 }{120}=\dfrac{96}{120}= \dfrac{4}{5}

\boxed{p(X=2)=\dfrac{4}{5} }


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