Fiche de mathématiques
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Bac probatoire Cameroun 2022

Mathématiques série A-ABI

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Durée : 2 heures

Coefficient : 2


Partie A : Évaluation des ressources (13,25 points)

4 points

exercice 1

Le résultat d'une enquête menée sur le temps mis en minutes par chaque élève d'une classe pour partir de son domicile à sa classe est consigné dans le tableau ci-dessous :
Bac probatoire Cameroun 2022 série A-ABI : image 1


1. Calculer la moyenne des temps mis par les élèves de cette classe pour partir de leurs domiciles à leurs classes.
2. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série statistique : prendre 1 cm pour 5 minutes et 1 cm pour 5 élèves.
3. On choisit au hasard et simultanément deux élèves parmi ceux qui mettent moins de 10 minutes pour regagner leur classe. Deux parmi ces 6 élèves sont des filles.
\white{ww} a. Combien y a-t-il de choix possibles ?
\white{ww} b. Combien y a-t-il de choix possibles ne contenant que des garçons ?

5,5 points

exercice 2

On considère la fonction g définie sur [-3 ; 7] par g(x)=\dfrac{x+a}{x+b}a et b sont des nombres réels.
1. Déterminer a et b pour que la courbe de g passe par les points A (-3 ; 0) et B (7 ; 2).

2. On considère la fonction f définie sur [-3 ; 7] par f(x)=1+\dfrac{5}{x-2} \,\cdot
\white{ww} a. Déterminer l'ensemble de définition E de la fonction f.
\white{ww} b. Calculer \lim\limits_{x\to 2^-} {f(x)} \text{ et } \lim\limits_{x\to 2^+} {f(x)} puis en déduire que la droite (D) d'équation x = 2 est une asymptote à la courbe de f .
\white{ww} c. Justifier que sur E, la dérivée f ' de f est définie par : f'(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}\;, pour tout réel x different 2.
\white{ww} d. En déduire le sens de variations de f .
\white{ww} e. Dresser le tableau de variations de f .
\white{ww} f. Construire la courbe (C) de f et la droite (D) dans un repère orthonormé.

: 3,75 points

exercice 3

1. Résoudre dans R l'équation (E) : x^2-41x+408=0 et l'inéquation (I) : x^2-41x+408 \le 408 d'inconnue x.

2. Bouba a un terrain de forme reectangulaire d'aire 408 m² et de périmètre 82 m.
\white{ww} a. Justifier que les dimensions de ce terrain sont les solutions de l'équation (E).
\white{ww} b. En déduire la longueur L et la largeur l de ce terrain.

Partie b : Évaluation des compétences (6,75 points)

Situation :
Dans un magasin, deux baisses de même taux ont lieu en décembre sur le prix de chaque article. Un sac qui coûtait 11 000 F est vendu 10 120 F après la première baisse. A l'occasion de son mariage et après la 2ème baisse Fred ne dispose que de 8 500 F, pour acheter une bague qui coûtait 10 000 F avant la 1re baisse.
Pour son cadeau de mariage, le groupe GES, voudrait lui acheter un lit à 154 000 F, et les membres de ce groupe se répartissent équitablement les dépenses. Deux d'entre eux déclarent leur incapacité à payer, et chacun des autres membres voit sa contribution augmenter de 8 800 F. Le jour du mariage, une table et six chaises sont réservées à tous les membres de ce groupe.
Pour un album souvenir, les six frères de Fred voudraient former le maximum d'équipes de 3 frères pour se filmer avec les mariés du jour. Pour cela, ils réservent 8 000 F pour ces photos. Chaque équipe n'a droit qu'à une et une seule photo qui coûte 425 F. A la fin de la cérémonie, toutes les photos prévues ont été prises.

Tâches :
1. La somme d'argent dont dispose Fred lui permettra-t-elle d'acheter sa bague ?
2. Le nombre de places réservées aux membres du groupe GES le jour du mariage suffira-t-il ?
3. La somme réservée par les six frères de Fred suffira-t-elle pour payer toutes les photos prévues ?







PARTIE A

exercice 1

1) L'effectif total noté N est la somme de tous les effectifs , alors :

N=\displaystyle\sum_{i}n_i=6+3+4+5+2=20
On calcule alors la moyenne de cette série statistique :

\begin{matrix}\bar{x}&=&\dfrac{1}{N} \displaystyle \sum_i n_i c_i \\&=& \dfrac{1}{20}\left(6\times \dfrac{0+10}{2}+3\times\dfrac{10+20}{2}+4\times\dfrac{20+30}{2}+5\times\dfrac{30+40}{2}+2\times\dfrac{40+50}{2}\right) \\&=& \dfrac{1}{20}\times\left(6\times 5+3\times 15+4\times 25+5\times35+2\times 45\right)\\&=&\dfrac{1}{20}\left(30+45+100+175+90)\\&=&\dfrac{440}{20}\\&=&22\end{matrix}

Donc :
\boxed{\bar{x}=22}


2) Le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série statistique :

Bac probatoire Cameroun 2022 série A-ABI : image 5


3-a) On choisit au hasard et simultanément deux élèves parmi ceux qui mettent moins de 10 minutes pour regagner leur classe et qui sont six au total , donc le nombre de choix possibles est :

\boxed{\text{Card }\Omega_1={6\choose 2}=15}


b) Puisque deux parmi les six élèves concernés sont des filles , alors quatre sont des garçons , donc le nombre de choix possibles est :

\boxed{\text{Card }\Omega_2={4\choose 2}=6}


exercice 2

1) La fonction g est définie sur [-3 ; 7]\text{ par }g(x)=\dfrac{x+a}{x+b}\text{ , où }a,b \in\R .

La courbe de g passe par les points A(-3;0)\text{ et }B(7;2)\text{ , donc : }

\begin{matrix}\begin{cases}g(-3)=0 \\g(7)=2 \end{cases}&\iff& \begin{cases}\dfrac{-3+a}{-3+b}=0 \\\dfrac{7+a}{7+b}=2\end{cases} &\iff&  \begin{cases}-3+a=0 \\ 7+a=2(7+b)\end{cases}\\\\&\iff& \begin{cases}a=3 \\10=2(7+b)\end{cases} &\iff& \begin{cases}a=3 \\ 5=7+b\end{cases} \\\\&\iff& \boxed{ \begin{cases}a=3 \\ b=-2\end{cases}} \end{matrix}

Et la fonction g est définie sur [-3;7] par :
\boxed{g(x)=\dfrac{x+3}{x-2}}


2-a) La fonction f définie sur [-3 ; 7] par f(x)=1+\dfrac{5}{x-2} .

On a : \begin{matrix}x\in E &\iff& x-2\neq 0 &\iff& x\neq 2 \end{matrix}

Donc , l'ensemble de définition de la fonction f est :

\boxed{E=[-3;2[\cup]2;7]}


b) Calcul des limites :

\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)

Etudions le signe de x-2 :

On a x-2=0\iff x=0

Le coefficient directeur étant 1 qui est positif, le signe de x-2 est donc positif à droite de 2 , et négatif à gauche de 2 .

Tableau de signe :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &&2&&&+\infty\\\hline x-2&&-&&\barre{0}&&+&\\\hline\end{tabvar}

On en tire que \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} x-2=0^{-} \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}  x-2=0^{+}

Donc : \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \dfrac{5}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \dfrac{5}{x-2}=+\infty

Il s'ensuit que : \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} 1+\dfrac{5}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} 1+\dfrac{5}{x-2}=+\infty

Ou encore :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty}


Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La droite }(D)\text{ : }x=2 \text{ est un asymptote verticale à la courbe }(C)\text{ à gauche et à droite } }


c) La fonction f est dérivable sur E comme somme d'une fonction homographique et d'une constante dérivables sur E .
Pour tout x de E , on a :

\begin{matrix} f'(x)&=&\left(1+\dfrac{5}{x-2}\right)'&=&\left(\dfrac{5}{x-2}\right)'\\\\&=& -\dfrac{5(x-2)'}{(x-2)^2} &=& \boxed{\dfrac{-5}{(x-2)^2}}\end{matrix}

d) Pour tout x de E , on a f'(x)<0 , donc :

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }E}


e)Le tableau de variation de la fonction f :

Attention : Il faut mettre double barre en 2 pour indiquer que la fonction f (et sa dérivée) n'est pas définie en 2 .

\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x     & -3  &        &          & 2      &            &        &   7                                          \\ \hline f'(x) &          & -      &          &\dbarre &            &-       &                                         \\ \hline       &  0       &        &          &\dbarre &+\infty     &        &                                         \\  f           &          &\searrow&          &\dbarre &            &\searrow&                                         \\	             &          &        &  -\infty &\dbarre &            &        & 2                                      \\  \hline \end{array}


En effet : f(-3)=1+\dfrac{5}{-3-2}=1-1=0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip f(7)=1+\dfrac{5}{7-2}=1+1=2

f) Le tracé :

Bac probatoire Cameroun 2022 série A-ABI : image 4


exercice 3

1) Résolvons dans \R l'équation (E) \text{ : }x^2-41x+408=0

On calcule le discriminent \Delta= (-41)^2-4\times 408 =1681-1632=49=(7)^2>0

L'équation (E) admet deux solutions réels :

\begin{matrix} \begin{matrix}x_1&=&\dfrac{-(-41)-\sqrt{7^2}}{2} \\&=& \dfrac{41-7}{2} \\&=&17\end{matrix} & &&&&&&&\begin{matrix}x_2&=&\dfrac{-(-41)+\sqrt{7^2}}{2} \\&=& \dfrac{41+7}{2} \\&=&24\end{matrix} \end{matrix}

L'ensemble des solutions de l'équation (E) est :

\boxed{S_{(E)}=\lbrace 17;24\rbrace }


Résolvons dans \R l'équation (I) \text{ : }x^2-41x+408\leq 408

On a : \begin{matrix} (I) \text{ : }x^2-41x+408\leq 408 &\iff& x^2-41x\leq 0 &\iff& x(x-41)\leq 0\end{matrix}

On dresse le tableau de signe :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &&0&&41&&&+\infty\\\hline x&&-&&\barre{0}&+&\barre{}&&+& \\\hline x-41&&-&&\barre{}&-&\barre{0}&&+& \\\hline x(x-41)&&+&&\barre{0}&-&\barre{0}&&+& \\\hline\end{tabvar}


On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation (I) est :

\boxed{S_{(I)}=[0;41] }


2-a) Soient L la longueur du terrain et \ell sa largeur , alors :

\begin{cases} \text{ Le périmètre est : } 82=2(L+\ell) \\\text{ La surface est : }408=L\times \ell\end{cases}\iff \begin{cases} L+\ell = \dfrac{82}{2} \\L\times \ell = 408 \end{cases}\iff \boxed{\begin{cases} L+\ell =41\\ L\times \ell = 408\end{cases}}

On rappelle que :

Rappel
Deux réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solutions de l'équation :

x^2-Sx+P=0


Il s'ensuit que L et \ell sont solutions de l'équation x^2-41x+408=0 qui n'est autre que l'équation (E)

Conclusion :

\boxed{\text{ Les dimensions }L\text{ et }\ell \text{ du terrain sont les solutions de l'équation } (E)}


b) Directement , d'après la question 1) , et pusique \ell \leq L , donc :

\boxed{\text{ Le terrain a pour longueur }L=24\text{ m , et pour largeur }\ell=17\text{ m }}





PARTIE B



1) Déterminons tout d'abord le taux de réduction en pourcentage qu'on note \tau :

Un sac qui coûtait 11 000\text{ F } est vendu 10120 \text{ F } après la première baisse , donc :

11000-\dfrac{11000\times \tau }{100}=10120 \iff 11000-110\tau=10120 \iff \tau=\dfrac{11000-10120}{110}\iff \boxed{\tau=8\%}

Le prix de la bague après la première baisse est donc : 1000-\dfrac{1000\times 8 }{100}=9200\text{ F .}

Et donc le prix de cette bague après la seconde baisse devient : 9200-\dfrac{9200\times 8 }{100}=8464\text{ F .}

Et puisque Fred dispose de 8500\text{ F , et que } 8464<8500\text{ , alors : }

\boxed{\text{ Fred peut acheter la bague }}


2) Soit x le nombre de membres du groupe GES .

Puisque le lit coûte 154 000 \text{ F, } et que les membres de ce groupe se répartissent équitablement les dépenses , alors la contribution de chaque membre au départ est : \dfrac{154000}{x}\enskip\enskip \text{(il est evident que }x\neq 0 \text{)}

Or , deux d'entre eux déclarent leur incapacité à payer , à cause de ça, chacun des autres membres voit sa contribution augmenter de 8 800 \text{ F , donc : }\dfrac{154000}{x-2}=\dfrac{154000}{x}+8800\enskip\enskip \text{(on a aussi }x\neq 2 \text{)}

Et on résoud cette équation d'inconnu x qui correspond au nombre de membres :

\begin{matrix}\dfrac{154000}{x-2}=\dfrac{154000}{x}+8800&\iff& \dfrac{154000x}{x(x-2)}=\dfrac{154000(x-2)+8800x(x-2)}{x(x-2)} \\\\&\iff& 154000x=154000(x-2)+8800x(x-2)\\\\&\iff& 0=308000+8800x^2-17600x\\\\&\iff& x^2-2x-35=0\enskip\enskip \text{(en factorisant par }8800\text{)} \end{matrix}

On calcule le discriminent \Delta= (-2)^2-4\times (-35) =4+140=144=(12)^2>0

L'équation admet deux solutions réels :

\begin{matrix} \begin{matrix}x_1&=&\dfrac{-(-2)-\sqrt{12^2}}{2} \\&=& \dfrac{4-12}{2} \\&=&-4\end{matrix} & &&&&&&&\begin{matrix}x_2&=&\dfrac{-(-2)+\sqrt{12^2}}{2} \\&=& \dfrac{2+12}{2} \\&=&7\end{matrix} \end{matrix}

On ne retient bien évidemment que la solution positive , donc le groupe GES a x=7 membres .

Enfin , six chaises sont réservées à tous les membres de ce groupe , et 6<7\text{ , donc : }

\boxed{\text{ Le nombre de places réservées aux membres du groupe GES est insuffisant }}


3) Le nombre de possibilités de former une équipe de trois frères est :

\displaystyle {6\choose 3}= 20


Le coût des photos sera donc :
20\times 425=8500\text{ F .}


Et pusiqu'ils n'ont réservé que 8 000 \text{ F }pour les photos et que 8000<8500\text{ , donc : }

\boxed{\text{La somme réservée par les six frères est insuffisante pour payer toutes les photos prévues}}
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