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5 points
exercice 1
Dans un pays, lors de la 1re vague de la pandémie de Covid-19, 400 cas positifs ont été décomptés durant le 1er mois. Chaque mois,
le nombre de cas augmente de 5%.
On note Un le nombre de cas positifs décomptés durant le n-ième mois de la pandémie.
1. Déterminer U1 , U2 , U3 .
2. Montrer que est une suite géométrique en précisant sa raison
et son premier terme.
3. a. Exprimer Un en fonction de n. b. Estimer le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois. c. Estimer le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois
de la pandémie.
6 points
exercice 2
Le tableau ci-dessous donne le résultat d'une enquête portant sur la consommation moyenne bimestrielle en eau (en m³) de
6 familles notée y, en fonction de la taille x des familles (nombre de personnes constituant une famille).
a. Représenter le nuage de points de la série (x , y ) dans un repère orthogonal
b. Calculer les moyennes puis placer le point
moyen G du nuage de points.
c. Déterminer une équation de la droite (D ) de régression de y en x .
d. Représenter (D ) dans le repère
e. Estimer la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres.
9 points
probleme
Soit f la fonction numérique définie par :
On appelle (C f ) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
1. a. Montrer que l'ensemble de définition D f de f est D f = ]- ; e[.
b. Etudier les limites de f aux bornes de D f . En déduire une asymptote
à la courbe (C f ) . c. On admet que
Quelle est la nature de la branche infinie à la courbe (C f ) en - ?
2. Déterminer la dérivée f ' de f et établir le tableau de variations de f .
3. Résoudre l'équation f ( x ) = 0, puis interpréter graphiquement le résultat.
4. Donner une équation de la tangente (T ) à (C f ) au point d'abscisse e-1.
5. Construire la tangente (T ) à la courbe (C f ).
Dans un pays, lors de la 1ère vague de la pandémie de Covid-19, 400 cas positifs ont été décomptés durant le 1er mois. Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
On note le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.
1. Nous devons déterminer
représente le nombre de cas positifs décomptés durant le premier mois de la pandémie, soit 400.
D'où
Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
Une augmentation de 5% correspond à un coefficient multiplicateur égal à
D'où
2. Nous devons montrer que est une suite géométrique.
représente le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.
Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
Une augmentation de 5% correspond à un coefficient multiplicateur égal à
représente le nombre de cas positifs décomptés durant le (n+1)ième mois de la pandémie.
Dès lors,
Par conséquent, est une suite géométrique de raison 1,05 et dont le premier terme est
3. a) Nous devons exprimer en fonction de n .
Si est une suite géométrique de raison q dont le premier terme est , alors
Or est une suite géométrique de raison 1,05 et dont le premier terme est
Donc
3. b) Nous devons estimer le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois.
D'où, le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois est estimé à 536 cas.
3. c) Nous devons estimer le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois de la pandémie.
Nous rappelons que la somme S des termes d'une suite géométrique se calcule par :
Par conséquent, le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois de la pandémie est estimé à environ 3257 cas.
6 points
exercice 2
Le tableau ci-dessous donne le résultat d'une enquête portant sur la consommation moyenne bimestrielle en eau (en m3) de 6 familles notée y , en fonction de la taille x des familles (nombre de personnes constituant une famille).
a) Représentons le nuage de points de la série (x , y ) dans un repère orthogonal
b) Calculons les moyennes puis plaçons le point moyen G du nuage de points.
Les coordonnées du point moyen G sont donc :
Plaçons le point moyen G du nuage de points (voir graphique : question a))
c) Nous devons déterminer une équation de la droite (D ) de régression de y en x .
La droite de régression de y en x est de la forme où et
Notations utilisées :
Tableau statistique complété :
Nous obtenons :
Dès lors,
Par conséquent, l'équation de la droite de régression de y en x est :
d) Représentons (D ) dans le repère
e) Nous devons estimer la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres.
Dans l'équation (D ), remplaçons x par 15 et calculons la valeur de y .
Par conséquent, selon ce modèle, la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres est estimée à 84,18 m3.
9 points
probleme
Soit f la fonction numérique définie par :
On appelle ccc la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
1. a) Déterminons l'ensemble de définition Df de f .
La fonction f est définie si et seulement si , soit si et seulement si
Par conséquent,
1. b) Nous devons étudier les limites de f aux bornes de Df .
Nous en déduisons que la courbe admet une asymptote verticale d'équation
1. c) On admet que
De plus, nous avons montré que
Donc la courbe (Cf ) présente une branche parabolique de direction asymptotique en -.
2. Nous devons calculer f' (x ).
D'où la fonction f est strictement décroissante sur
Tableau de variations de f sur
3. Nous devons résoudre l'équation f (x ) = 0.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 0 est
La courbe (Cf ) coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (e-1 ; 0).
4. Nous devons déterminer une équation de la tangente (T ) à (Cf ) au point d'abscisse e-1.
Une équation de la tangente (T ) au point d'abscisse e-1 est de la forme :
D'où une équation de la tangente (T ) au point d'abscisse e-1 est , soit
5. Construisons la tangente (T ) à la courbe (Cf ).
La droite (T ) passe par les points de coordonnées (0 ; e-1) et (e-1 ; 0).
Pour rappel, e-1 1,72.
Publié par malou
le
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