Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : L1a-L1b-L'1-L2-LA

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Epreuve du 1er groupe

Durée : 3 heures

Coefficient : 2


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



5 points

exercice 1

Dans un pays, lors de la 1re vague de la pandémie de Covid-19, 400 cas positifs ont été décomptés durant le 1er mois. Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
On note Un le nombre de cas positifs décomptés durant le n-ième mois de la pandémie.

1. Déterminer U1 , U2 , U3 .

2. Montrer que {\white i} (U_n)_{n\in \textbf {N}^*}{\white i} est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.

3. a. Exprimer Un en fonction de n.
\white w b. Estimer le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois.
\white w c. Estimer le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois de la pandémie.

6 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le résultat d'une enquête portant sur la consommation moyenne bimestrielle en eau (en m³) de 6 familles notée y, en fonction de la taille x des familles (nombre de personnes constituant une famille).

\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline x_i &2& |& 3 & |& 5 & |& 6& |& 8& | & 9& \\ \hline y_i&11,5 &| & 19,5 & | & 30 & | & 39& | & 44 & | & 51 & \\ \hline \end{array}

\white w a. Représenter le nuage de points de la série (x , y ) dans un repère orthogonal {\white i} (O\,; \, \vec i \,, \vec j \,)\,\cdot

\white w b. Calculer les moyennes {\white i} \overline x \text { et } \overline y \white i puis placer le point moyen G du nuage de points.

\white w c. Déterminer une équation de la droite (D ) de régression de y en x .

\white w d. Représenter (D ) dans le repère {\white i} (O\,; \, \vec i \,, \vec j \,)\,\cdot

\white w e. Estimer la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres.

9 points

probleme

Soit f   la fonction numérique définie par : {\white i}f(x)=\ln (-x+\text e)\cdot
On appelle (C f ) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.

1. a. Montrer que l'ensemble de définition D f   de f est D f = ]-infini ; e[.
\white w b. Etudier les limites de f aux bornes de D f . En déduire une asymptote à la courbe (C f ) .
\white w c. On admet que {\white i} \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0 \cdot
\white ww Quelle est la nature de la branche infinie à la courbe (C f ) en - infini ?

2. Déterminer la dérivée f ' de f et établir le tableau de variations de f .

3. Résoudre l'équation f ( x ) = 0, puis interpréter graphiquement le résultat.

4. Donner une équation de la tangente (T ) à (C f ) au point d'abscisse e-1.

5. Construire la tangente (T ) à la courbe (C f ).





Bac Sénégal 2022 série L

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5 points

exercice 1

Dans un pays, lors de la 1ère vague de la pandémie de Covid-19, 400 cas positifs ont été décomptés durant le 1er mois. Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
On note  \overset{{\white{.}}}{U_n}  le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.

1.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{U_1\,,\, U_2\, ,\, U_3.}

\overset{{\white{.}}}{\bullet\phantom{w}U_1}  représente le nombre de cas positifs décomptés durant le premier mois de la pandémie, soit 400.
D'où  \overset{{\white{.}}}{\boxed{U_1=400}\,.} 

\overset{{\white{.}}}{\bullet\phantom{w}} Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
Une augmentation de 5% correspond à un coefficient multiplicateur égal à  \overset{{\white{.}}}{1+\dfrac{5}{100}=1,05.}
D'où  \overset{{\white{.}}}{U_2=1,05\times U_1=1,05\times400=420\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_2=420}\,.}

\overset{{\white{.}}}{\bullet\phantom{w}U_3=1,05\times U_2=1,05\times 420=441\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_3=441}\,.}

2.  Nous devons montrer que  \overset{{\white{.}}}{{\white i} (U_n)_{n\in \textbf {N}^*}{\white i}}  est une suite géométrique.

\overset{{\white{.}}}{U_n}  représente le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.
Chaque mois, le nombre de cas augmente de 5%.
Une augmentation de 5% correspond à un coefficient multiplicateur égal à  \overset{{\white{.}}}{1+\dfrac{5}{100}=1,05.}
\overset{{\white{.}}}{U_{n+1}}  représente le nombre de cas positifs décomptés durant le (n+1)ième mois de la pandémie.

Dès lors,  \boxed{U_{n+1}=1,05\times U_n}\,.

Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{{\white i} (U_n)_{n\in \textbf {N}^*}{\white i}}  est une suite géométrique de raison 1,05 et dont le premier terme est  \overset{{\white{.}}}{U_1=400.}

3. a)  Nous devons exprimer  \overset{{\white{.}}}{U_n}  en fonction de n .

Si  \overset{{\white{.}}}{(U_n)}  est une suite géométrique de raison q  dont le premier terme est  \overset{{\white{.}}}{U_1} , alors  \boxed{U_n=U_1\times q^{n-1}}
Or  \overset{{\white{.}}}{{\white i} (U_n)_{n\in \textbf {N}^*}{\white i}}  est une suite géométrique de raison 1,05 et dont le premier terme est  \overset{{\white{.}}}{U_1=400.}

Donc  \boxed{U_{n}=400\times 1,05^{n-1}}\,.

3. b)  Nous devons estimer le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois.

U_{7}=400\times 1,05^{6}\approx536,04\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_{7}\approx536}\,.
D'où, le nombre de cas positifs décomptés durant le 7e mois est estimé à 536 cas.

3. c)  Nous devons estimer le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois de la pandémie.

Nous rappelons que la somme S  des termes d'une suite géométrique se calcule par :

S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=400\times\dfrac{1-1,05^{7}}{1-1,05 }} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=400\times\dfrac{1-1,05^{7}}{-0,05 }} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=-8\,000\times(1-1,05^{7})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}\approx3257}

Par conséquent, le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les 7 premiers mois de la pandémie est estimé à environ 3257 cas.

6 points

exercice 2

Le tableau ci-dessous donne le résultat d'une enquête portant sur la consommation moyenne bimestrielle en eau (en m3) de 6 familles notée y , en fonction de la taille x  des familles (nombre de personnes constituant une famille).

\begin{array} {|c|cccccccccccc|} \hline x_i &2& |& 3 & |& 5 & |& 6& |& 8& | & 9& \\ \hline y_i&11,5 &| & 19,5 & | & 30 & | & 39& | & 44 & | & 51 & \\ \hline \end{array}


a)  Représentons le nuage de points de la série (x  , y ) dans un repère orthogonal \overset{{\white{.}}}{{\white i} (O\,; \, \vec i \,, \vec j \,)\,.}

Bac Sénégal 2022 série L  : image 3


b)  Calculons les moyennes {\white i} \overset{{\white{.}}}{\overline x} \text { et } \overline y \white i  puis plaçons le point moyen G  du nuage de points.

\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{2+3+5+6+8+9}{6}=\dfrac{33}{6}=\dfrac{11}{2}\\\\\overline{y}=\dfrac{11,5+19,5+30+39+44+51}{6}=\dfrac{195}{6}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=5,5\\\\\overline{y}=32,5\end{matrix}\right.

Les coordonnées du point moyen G  sont donc :  \overset{{\white{.}}}{\boxed{G\,(5,5\,;\,32,5)}} 
Plaçons le point moyen G  du nuage de points (voir graphique : question a))

c)  Nous devons déterminer une équation de la droite (D ) de régression de y  en x .

La droite de régression de y  en x  est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  où  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}

Notations utilisées :

\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i\\\\\overline{y}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^ny_i\end{matrix}\right. \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i-\overline{x}\,\overline{y} \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\\\\\phantom{WWWWnWWWWW}=\dfrac{1}{n}\,\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-(\overline{x})^2

Tableau statistique complété :

\begin{array}{|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\text{Totaux}&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i&&&2&&&3&&&5&&&6&&&8&&&9&&&&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\&y_i&&&11,5&&&19,5&&&30&&&39&&&44&&&51&&&&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_iy_i&&&23&&&58,5&&&150&&&234&&&352&&&459&&&\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i=1276,5&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &x_i^2&&&4&&&9&&&25&&&36&&&64&&&81&&&\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=219&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}

Nous obtenons :

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}\text{Moyennes : }\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=5,5\\\\\overline{y}=32,5\end{matrix}\right. \\\\ {\white{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{6}\times1276,5-5,5\times32,5=34 \\\\ {\phantom{ww}}\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{6}\times219-5,5^2=6,25

Dès lors,

a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}=\dfrac{34}{6,25}=5,44\\\\ b=\overline{y}-a\overline{x}=32,5-5,44\times5,5=2,58

Par conséquent, l'équation de la droite de régression de y  en x  est :  \boxed{(D):y=5,44x+2,58}\,.

d)  Représentons (D ) dans le repère {\white i} (O\,; \, \vec i \,, \vec j \,)\,.

Bac Sénégal 2022 série L  : image 2


e)  Nous devons estimer la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres.
Dans l'équation (D ), remplaçons x  par 15 et calculons la valeur de y .

5,44\times15+2,58=84,18.

Par conséquent, selon ce modèle, la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de 15 membres est estimée à 84,18 m3.

9 points

probleme

Soit f  la fonction numérique définie par : \overset{{\white{.}}}{{\white i}f(x)=\ln (-x+\text e).}
On appelle ccc la représentation graphique de la fonction f  dans un repère orthonormé.

1. a)  Déterminons l'ensemble de définition Df  de f .
La fonction f  est définie si et seulement si  \overset{{\white{.}}}{-x+\text e>0} , soit si et seulement si  \overset{{\white{.}}}{x<\text e.}
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{D_f=\,]-\infty\,;\,\text e \,[}}

1. b)  Nous devons étudier les limites de f  aux bornes de Df .

\bullet{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x+\text{e})=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty{\white{ww}}\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-x+\text{e})}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\ln(-x+\text{e})=+\infty \\\\\\ {\white{ww}}\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}

\bullet{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to \text{e}^-}(-x+\text{e})=0\\\\\lim\limits_{X\to0}\ln X=-\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-x+\text{e})}{\Longrightarrow}\quad \lim\limits_{x\to\text{e}^-}\ln(-x+\text{e})=-\infty \\\\\\ {\white{ww}}\Longrightarrow\quad\boxed{ \lim\limits_{x\to\text{e}^-}f(x)=-\infty}

Nous en déduisons que la courbe  \overset{{\white{.}}}{(C_f)}  admet une asymptote verticale d'équation  \overset{{\white{.}}}{x=\text{e}}.

1. c)  On admet que {\white i} \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0.
De plus, nous avons montré que  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.}
Donc la courbe (Cf ) présente une branche parabolique de direction asymptotique  \overset{{\white{.}}}{(Ox)}  en -infini.

2.  Nous devons calculer f' (x ).

f'(x)=[\,\ln(-x+\text{e})\,]' \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-x+\text{e})'}{-x+\text{e}}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-1}{-x+\text{e}}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{x-\text{e}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{x-\text{e}}}

\text{Or }\,x\in\,]-\infty\,;\,\text e \,[\quad\Longrightarrow\quad x<\text{e} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or}\,x\in\,]-\infty\,;\,\text e \,[}\quad\Longrightarrow\quad x-\text{e}<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or}\,x\in\,]-\infty\,;\,\text e \,[}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x-\text{e}}<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or}\,x\in\,]-\infty\,;\,\text e \,[}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)<0}}

D'où la fonction f  est strictement décroissante sur  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,\text e \,[.}

Tableau de variations de f  sur \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,\text e \,[.}

 {\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|cccc|} \hline &&&&& x &-\infty&&&\text e\\ &&&&\\ \hline&+\infty&&&\\ f(x)&&\searrow&&\\&&&&-\infty \\ \hline \end{array}

3.  Nous devons résoudre l'équation f (x ) = 0.

 f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(-x+\text{e})=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad-x+\text{e}=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text{e}-1}

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 0 est  \boxed{S=\lbrace\,\text{e}-1\,\rbrace}.
La courbe (Cf ) coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (e-1 ; 0).


4.  Nous devons déterminer une équation de la tangente (T ) à (Cf ) au point d'abscisse e-1.

Une équation de la tangente (T ) au point d'abscisse e-1 est de la forme :  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(\text{e}-1)(x-\text{e}+1)+f(\text{e}-1)}\,.}

\text{Or }\,\bullet\;f'(x)=\dfrac{1}{x-\text{e}}\quad\Longrightarrow\quad f'(\text{e}-1)=\dfrac{1}{\text{e}-1-\text{e}}\\\phantom{\text{Or }\,\bullet\;f'(x)=\dfrac{1}{x-\text{e}}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(\text{e}-1)=-1}  \\\\\phantom{\text{Or }\,}\bullet\; \boxed{f(\text{e}-1)=0}\quad(\text{voir question 3.})

D'où une équation de la tangente (T ) au point d'abscisse e-1 est  \overset{{\white{.}}}{y=-(x-\text{e}+1)+0} , soit  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=-x+\text{e}-1}\,.}

5.  Construisons la tangente (T ) à la courbe (Cf ).

La droite (T ) passe par les points de coordonnées (0 ; e-1) et (e-1 ; 0).
Pour rappel, e-1 environegal 1,72.

Bac Sénégal 2022 série L  : image 1
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