Fiche de mathématiques

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Bac 2022 Sénégal

Séries : S1-S1A-S3

Epreuve du 2e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 8

Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

7 points

exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O\,; \vec i\,,\vec j\,,\vec k)$ , on considère les points $A(2;4;1), B(0;4;-3),C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1)$ et le vecteur $\vec n (12 ;12 ; -6)\cdot$
Pour chacune des sept affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou si elle est fausse.

1. Une équation du plan (ABC ) est : $2x+2y-z-11=0\cdot$

2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC ).

3. Les droites (AB ) et (CD ) sont orthogonales.

4. La droite (CD ) est donnée par la représentation suivante : $\left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \textbf R}\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right.$

5. Le point A est sur la droite (CD ).

6. $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow n \cdot$

7. Le vecteur $\vec n$ est normal au plan (ABC ).

6 points

exercice 2

Dans le plan orienté $\mathcal{ P }$ , on considère un rectangle ABCD tel que : $(\overrightarrow{AB}\,,\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \text{ et } AB=2\,AD\,\cdot$
Soit I le milieu de [AB ], J le milieu de [BD ] et $\mathcal{ C }$ le cercle circonscrit au rectangle ABCD .
Soit f la similitude directe qui transforme B en I et I en D.

1. déterminer le rapport k et l'angle theta

de f .

2. Soit (E₁) l'ensemble des points M du plan tels que : $(\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})=-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot$
$\white w$ a. Justifier que C appartient à (E₁).
$\white w$ b. Déterminer et construire (E₁) .

3. Soit (E₂) l'ensemble des points M du plan tels que : $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot$
$\white {ww}$ Déterminer et construire (E₂).

4. Déduire des questions précédentes le centre de f .

5. Soit $A'=f(A)\,\cdot$
$\white {ww}$ Montrer que D est le milieu de [A' I ] puis construire le point A '.

7 points

exercice 3

Soit p

N. On considère la suite $(S(p, n))_{n\in \textbf N ^*$ définie par :

$S(p,n)=\dfrac{1}{(n+1)^p}+\dfrac{1}{(n+2)^p}+\dots+\dfrac{1}{(2n)^p}\,\cdot$

1. Calculer $S(1,2) \text{ et } S(2,1)\,\cdot$

2. Montrer que si $p \ge 2 \;, \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} S(p , n)=0\,\cdot$

3. Montrer que $(S(1, n))_{n\in \textbf N ^*$ est croissante et majorée.

4. Soit f la fonction définie sur [0 , 1] par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}\,\cdot$

$\white w$ a. Montrer que pour tout $n\le 2 \text{ et } k \in [0 \,; \,n-1], \text{ on a : } \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot$
$\white w$ b. En déduire que : $S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot$

$\white w$ c. Déterminer alors la limite de la suite $(S(1,n))\,\cdot$

Correction

exercice 1

1) Affirmation vraie .

Calculons les coordonnées du vecteur $\left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)$ qui est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

On calcule les coordonnées de : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-2\\4-4\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}\enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2\\1-4\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}$

On en tire les coordonnées du produit vectoriel : $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}$

Donc une équation de ce plan s'écrit : $(ABC)\text{ : }-12\times x -12\times y +6\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R$

Ce qui donne $(ABC)\text{ : }-12x -12y+6z +d=0\text{ , avec }d\in\R$ .

Enfin , puisque $A(2;4;1)\in (ABC) \text{ , alors : }$

$\enskip -12x_A-12y_A+6z_A+d=0 \iff -24-48+6+d=0\iff d=66$

Ce qui donne , en simplifiant : $(ABC)\text{ : }-12x -12y+6z +66=0\enskip\iff\enskip \boxed{(ABC)\text{ : }2x +2y-z -11=0}$ .

2) Affirmation fausse

Pour que le point $E$ soit le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ , il faut que le vecteur $\overrightarrow{DE}$ soit normal au plan $(ABC)$ , vérifions cela :

On calcule les coordonnées de : $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} x_E-x_D\\y_E-y_D\\z_E-z_D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-1\\2-0\\-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{DE}\text{ . }\overrightarrow{AB} \text{ : }$

$\overrightarrow{DE}\text{ . }\overrightarrow{AB} =2\times (-2)+2\times 0+1\times (-4)=-4-4=-8\red \neq \black 0$

Il s'ensuit que $\overrightarrow{DE}$ n'est pas normal au plan $(ABC)$ .

Donc : $\boxed{E\text{ n'est pas le projeté orthogonal de }D\text{ sur }(ABC)}$

3) Affirmation vraie

On calcule les coordonnées de : $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D-x_C\\y_D-y_C\\z_D-z_C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\\0-1\\-2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}$

Et on a : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}$

Donc $\overrightarrow{CD}\text{ . }\overrightarrow{AB} =(-2)\times (-2)+(-1)\times 0+1\times (-4)=+4-4= 0$

D'où :
$\boxed{\text{ Les droites }(AB ) \text{ et }(CD ) \text{ sont orthogonales}}$

4) Affirmation fausse

En effet , notons $(\rho)$ la droite dont la représentation paramétrique est $(\rho)\text{ : }\left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right$

Il faut vérifier que les points $C$ et $D$ appartiennent à cette droite :

$C\in (\rho)\iff \left\lbrace\begin{matrix} x_C& = & -1+2t& \\ y_C&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z_C& =& 1-t & \end{matrix}\right \iff \left\lbrace\begin{matrix} 3& = & -1+2t& \\ 1&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ -3& =& 1-t & \end{matrix}\right$

On obtient donc $1-t=-3 \text{ et } -1+t=1 \enskip\text{ , d'où }\enskip t=-4 \text{ et } t=2 \enskip\text{ , ce qui est absurde . }$

Donc $C\notin (\rho)$

Et donc : $\boxed{\text{ La droite }(CD ) \text{ n'est donnée par la représentation suivante : }\left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right}$

5) Affirmation fausse

On a $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}$ et calculons les coordonnées de $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D-x_A\\y_D-y_A\\z_D-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2\\0-4\\-2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\-3\end{pmatrix}$

Ces deux vecteurs ne sont bien évidemment pas colinéaires .

D'où : $\boxed{\text{ Le point }A \text{ n'est pas sur la droite }(CD )}$

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6) Affirmation fausse

On a vu en 1) que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}\enskip\text{ , et on a }\vec{n}\begin{pmatrix}12\\12\\-6\end{pmatrix}$

Il s'ensuit que : $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-\vec{n}$

Et donc : $\boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\neq\overrightarrow n \cdot}$

7) Affirmation vraie

D'après la question précédente , $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-\vec{n}$

Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\text{ et }\vec{n}$ sont colinaires .

Or , on sait que le vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ est normal au plan $(ABC)$ .

Donc : $\boxed{\text{ Le vecteur }\vec n \text{ est lui aussi normal au plan }(ABC)}$

exercice 2

1) Puisque la similitude directe $f$ transforme le point $B$ en $I$ et le point $I$ en $D$ ,

alors son rapport est $k=\dfrac{DI}{IB}$ et son angle $\theta\equiv \left(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]$

Rapport $k\text{ : }$

En appliquant le théoème de pythagore au triangle $ADI$ qui est rectangle en $A$ , on obtient :

$AD^2+AI^2=DI^2 \iff DI=\sqrt{AI^2+AD^2}$

De plus , $I$ est le milieu de $[AB]$ , et $AB=2AD$ donc : $IB=AI=AD \enskip\enskip\enskip\left(=\dfrac{AB}{2}\right)$ .

Le rapport $k$ est donc :

$\begin{matrix}k&=&\dfrac{DI}{IB}&=&\dfrac{\sqrt{AI^2+AD^2}}{IB}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{IB^2+IB^2}}{IB}&=&\dfrac{\sqrt{2IB^2}}{IB}\\\\&=&\dfrac{IB\sqrt{2}}{IB}&=&\sqrt{2}\end{matrix}$

Angle $\theta\text{ : }$

On a $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IA}$ , alors : $\theta\equiv \left(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv \enskip \left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]$

Et puisque le triangle $ADI$ est isocèle et rectangle en $A$ , alors : $\left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{ID}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]$

On obtient : $\theta\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]$

Conclusion :

$\boxed{k=\sqrt{2}\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \theta\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]}$

2-a) On a $AB=2AD$ et $AD=CB$ , alors $AB=2CB$ .

De plus , $I$ est le milieu de $[AB]$ , donc $CB=BI$ .

Donc le triangle $IBC$ est isocèle et rectangle en $B$ , on en tire , en respectant le sens direct des angles , que :

$\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CI}\right)\enskip\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]$

Donc $C$ est un point de l'ensemble des points $M$ du plan qui vérifient $(\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot$

Ou encore : $\boxed{C\in(E_1)}$

b)

L'ensemble $(E_1)$ est l'arc capable relatif au segment $[BI]$ à l'angle de mesure $-\dfrac{\pi}{4}$ .

Donc : $\boxed{(E_1) \text{ est l'arc de cercle , contenant }C\text{ , du cercle circonscrit au triangle }IBC\text{ , avec }B\text{ et }I\text{ exclus}}$

Voir la figure ci-dessous .

3) Puisque $(E_2)$ est l'ensemble des points $M$ qui vérifient $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})\equiv-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot$ .

Alors $(E_2)$ est un demi-cercle de diamètre $[BD]$ . De plus , en respectant le sens direct des angles , on a $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\equiv-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot$

Donc $C\in(E_2)$ , on conclut alors que :

$\boxed{(E_2) \text{ est le demi-cercle de diamètre } [BD]\text{ contenant le point }C}$

Pour la construction , voir la figure ci-dessous .

4) Notons $\Omega$ le centre de la similitude $f \text{ , donc : }$

$\begin{matrix}\begin{cases}f(B)=I\\f(I)=D\end{cases}&\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\ (\overrightarrow{\Omega I} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\ (\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})+(\overrightarrow{\Omega I} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases} \\\\ &\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\ (\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}\Omega\in(E_1)\\ \Omega \in(E_2) \end{cases} \\\\&\iff& \Omega \in (E_1)\cap (E_2) \end{matrix}$

On en déduit que $\Omega$ est le point d'intersection de $(E_1)$ et $(E_2)$ , qui n'est autre que le point $C$ , donc $\Omega=C$ .

Conclusion :

$\boxed{\text{Le point }C \text{ est le centre de la similitude }f}$

5) On a $f(B)=I\enskip\text{ , }\enskip f(I)=D\enskip\text{ et }\enskip f(A)=A'$ .

Donc : $\begin{cases}A'I=kAB \\A'D=k AI \end{cases}\iff \begin{cases}A'I=\sqrt{2}AB \\A'D=\sqrt{2} AI \end{cases}$ . Et comme $I$ est le milieu de $[AB] \text{ , donc } 2AI=AB$ .

D'où $A'I=\sqrt{2} AB = \sqrt{2}\times 2AI= 2\times \left(\sqrt{2} AI \right) \iff \boxed{A'I=2 A'D} \enskip \red (i)$

D'autre part : $\begin{cases}(\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A'D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \\\\ (\overrightarrow{A B} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \end{cases}$ .

Et puisque $(\overrightarrow{A B} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I})\;[2\pi]\,$

Donc $\begin{cases}(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A I} )\equiv\enskip\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \\\\ (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \end{cases}$

On en déduit que $(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A I} ) + (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I}) \equiv\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi] \iff (\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A' I} ) \equiv 0 \enskip[2\pi]$

D'où : $\boxed{\overrightarrow{A'D} \text{ et }\overrightarrow{A'I} \text{ sont colinéaires et de même sens }}\enskip\red (ii)$

De $\red (i) \black \text{ et }\red (ii)\black \text{ : }$

$\boxed{D\text{ est le milieu de }[A'I]}$

Figure :

Bac Sénégal 2022 série S1-S1A-S3-2e groupe : image 1

exercice 3

$\text{Soient }p\in\N\text{ et }(S(p, n))_{n\in \N^*}\text{ définie par : }S(p,n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+i)^p}$

1)
$S(1,2)=\dfrac{1}{(2+1)^1}+\dfrac{1}{(2+2)^1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\enskip\text{ , d'où }\enskip\boxed{S(1,2)=\dfrac{7}{12}}$

$S(2,1)=\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac{1}{2^2}\enskip\text{ , donc }\enskip\boxed{S(2,1)=\dfrac{1}{4}}$

2) Soit $p\in\N^*\backslash\lbrace 1\rbrace$

Donc , pour tout entier naturel non nul $i\enskip\text{ , }\enskip n+i\geq n+1$

D'où , $0\leq\dfrac{1}{n+i}\leq \dfrac{1}{n+1} \text{ , il s'ensuit que } 0\leq \dfrac{1}{(n+i)^p}\leq \dfrac{1}{(n+1)^p}$

Donc : $0\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+i)^p}\leq \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+1)^p} \enskip\Longrightarrow\enskip 0\leq S(p,n)\leq \dfrac{1}{(n+1)^p}\sum_{i=1}^{n}1$

On en déduit que :
$\boxed{0\leq S(p,n)\leq \dfrac{n}{(n+1)^p}}$

Ensuite , puisque : $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{(n+1)^p}=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n}{n^p} =\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^{p-1}} = 0\enskip \enskip \text{(En effet }p\geq 2 \text{)}$

D'après le théorème des gendarmes , on obtient :

$\boxed{\text{ Si } p\geq 2 \text{ , } \displaystyle\lim_{n\to\infty}S(p,n)=0}$

3)

$\begin{matrix}\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n+1)-S(1,n)&=& \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{n+1+i}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}\\\\&=& \left(\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}\right)-\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1} \\\\&=&\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\\\\&=& \dfrac{2n+2-(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}\\\\&=& \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)} \end{matrix}$

Et puisque pour tout entier naturel non nul $n\text{ , } \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0$

D'où : $\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n+1)-S(1,n)>0$

Et donc : $\boxed{(S(1, n))_{n\in \N^*}\text{ est une suite (strictement) croissante }}$

De plus ,

$\begin{matrix}\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}\\\\&=&\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots + \dfrac{1}{2n} \\\\&\leq &\underbrace{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+\cdots + \dfrac{1}{n+1} }_{n\text{ fois }}\\\\&=& \dfrac{n}{n+1}\end{matrix}$

Donc $\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n)\leq \dfrac{n}{n+1} \enskip\enskip\text{ , et puisque }\enskip\enskip\forall n\in\N^{*} \text{ : }\dfrac{n}{n+1}\leq 1$

Donc : $\forall n\in\N^*\text{ : }S(1,n)\leq 1 \enskip\text{ , ce qui veut dire que : }\enskip\boxed{(S(1, n))_{n\in \N^*}\text{ est une suite majorée (par 1) }}$

4-a) La fonction $f$ sur $[0;1]$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ est dérivable sur $[0;1]$ comme fonction homographique .

Et on a , pour tout $x\in[0;1]\text{ : }f'(x)=-\dfrac{(1+x)'}{(1+x)^2}=-\dfrac{1}{(1+x)^2} < 0$

La fonction $f$ est alors strictement décroissante sur $[0;1]$

D'autre part , pour tout $n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n -1]\text{ , on a : }0\leq \dfrac{k}{n} \leq \dfrac{k+1}{n}\leq 1$

D'où : $\forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , }\left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]\subset[0;1]$

$\forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , }$ la fonction $f$ est décroissante sur $\left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]$ , et on a donc :

$\forall x\in \left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]\enskip\text{ : }\enskip f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\leq f(x)\leq f\left(\dfrac{k}{n}\right)$

D'où : $\forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , }\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\text{ d}x\leq \displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\text{ d}x \leq \displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f\left( \dfrac{k}{n}\right)\text{ d}x$

Et puisque :

$\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\text{ d}x= f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} \text{ d}x= f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\displaystyle \left[x\right]_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}=f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\left(\dfrac{k+1}{n}-\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)$

De même :

$\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f\left( \dfrac{k}{n}\right)\text{ d}x= f\left( \dfrac{k}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} \text{ d}x=\dfrac{1}{n}f\left( \dfrac{k}{n}\right)$

On en déduit que : $\boxed{\forall n\leq 2 \text{ et } k \in [0;n-1] \enskip \text{ , on a : } \enskip \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot}$

b) Comme :
$\forall n\leq 2 \text{ et } k \in [0;n-1] \enskip \text{ , on a : } \enskip \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot$

Alors : $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot$
Or :

$\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)&=&\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k+1}{n}} \\&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{n+k+1}}&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k+1}} \\&\underbrace{=}_{i=k+1}& \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}}&=& S(1,n) \end{matrix}$

Et :

$\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k}{n}\right)&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left( \dfrac{k}{n}\right)&=&\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} \\&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{n+k}}&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}} \\&=& \displaystyle \dfrac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}}&=& \displaystyle \dfrac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}}-\dfrac{1}{2n}\\&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}}+\dfrac{2-1}{2n}&=& S(1,n)+\dfrac{1}{2n} \end{matrix}$

Enfin :

$\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned}&=& \displaystyle \int_{0}^{\frac 1 n} f(x)\text{ d}x +\int_{\frac 1 n}^{\frac 2 n} f(x)\text{ d}x++\int_{\frac 2 n}^{\frac 3 n} f(x)\text{ d}x +\cdots +\int_{\frac{n-2}{n}}^{\frac{n-1}{n}} f(x)\text{ d}x+\int_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n}{n}=1} f(x)\text{ d}x\\&=& \displaystyle\int_0^1 f(x)\text{ d}x\enskip\enskip\enskip\enskip \text{(Chalses)} \end{matrix}$

On obtient alors : $\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : } S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot}$

c) On a : $\forall n\in\N^*\text{ : } S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot$

Donc : $\forall n\in\N^*\text{ : }$

$\boxed{S(1,n)\leq\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\text{ d}x }\enskip\blue (i) \black\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\Longrightarrow \boxed{ \begin{aligned}\int_{0}^{1} f(x)\;\text dx -\dfrac{1}{2n} \end{aligned}\le S(1,n)\,}\enskip \blue (ii)$

$\text{De }\blue (i)\black\text{ et }\blue (ii)\black\text{ : }$ $\forall n\in\N^*\text{ : } \begin{aligned}\int_{0}^{1} f(x)\;\text dx -\dfrac{1}{2n} \end{aligned}\leq S(1,n)\leq\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\text{ d}x$

Or , puisque $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \text{ , alors : }\displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x \leq \displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(1,n) \leq \displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x$

D'où , d'après le théorème des gendarmes :

$\begin{matrix}\displaystyle \lim_{n\to+\infty} S(1,n)&=&\displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x+1}\text{ d}x&=& \left[\ln |x+1|\right]_0^1 &=& \ln 2 - \ln 1 \end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty} S(1,n)=\ln 2}$

Publié par malou le 09-01-2023

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