Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : S1-S1A-S3

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Epreuve du 2e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 8


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



7 points

exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé  (O\,; \vec i\,,\vec j\,,\vec k) , on considère les points   A(2;4;1), B(0;4;-3),C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1)   et le vecteur  \vec n (12 ;12 ; -6)\cdot
Pour chacune des sept affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou si elle est fausse.

1.  Une équation du plan (ABC )   est :  2x+2y-z-11=0\cdot

2.   Le point E est le projeté orthogonal de D   sur le plan (ABC ).

3.   Les droites (AB ) et (CD ) sont orthogonales.

4.   La droite (CD ) est donnée par la représentation suivante : \left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \textbf R}\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right.

5.  Le point A est sur la droite (CD ).

6.  \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow n \cdot

7.  Le vecteur  \vec n  est normal au plan (ABC ).

6 points

exercice 2

Dans le plan orienté  \mathcal{ P } , on considère un rectangle ABCD   tel que :   (\overrightarrow{AB}\,,\overrrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \text{ et } AB=2\,AD\,\cdot
Soit I  le milieu de [AB ], J  le milieu de [BD ] et  \mathcal{ C }   le cercle circonscrit au rectangle ABCD .
Soit   f   la similitude directe qui transforme B  en I  et I  en D.

1.   déterminer le rapport  k  et l'angle  theta  de  f .

2.   Soit  (E1)  l'ensemble des points  M  du plan tels que :   (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})=-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot
\white w a.   Justifier que C  appartient à (E1).
\white w b.   Déterminer et construire (E1) .

3.   Soit (E2) l'ensemble des points M   du plan tels que :   (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot
\white {ww} Déterminer et construire (E2).

4.  Déduire des questions précédentes le centre de f .

5.   Soit   A'=f(A)\,\cdot
\white {ww} Montrer que D   est le milieu de [A' I ] puis construire le point A '.

7 points

exercice 3

Soit p appartient N. On considère la suite   (S(p, n))_{n\in \textbf N ^*  définie par :

S(p,n)=\dfrac{1}{(n+1)^p}+\dfrac{1}{(n+2)^p}+\dots+\dfrac{1}{(2n)^p}\,\cdot


1.   Calculer   S(1,2) \text{ et } S(2,1)\,\cdot

2.   Montrer que si   p \ge 2 \;, \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} S(p , n)=0\,\cdot

3.   Montrer que  (S(1, n))_{n\in \textbf N ^*  est croissante et majorée.

4.   Soit f   la fonction définie sur [0 , 1] par   f(x)=\dfrac{1}{1+x}\,\cdot

\white w a.   Montrer que pour tout   n\le 2 \text{ et } k \in [0 \,; \,n-1], \text{ on a : }   \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;$d$x \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot
\white w b.   En déduire que :  S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;$d$x \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot

\white w c.   Déterminer alors la limite de la suite   (S(1,n))\,\cdot
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