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7 points
exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé , on considère les points
et le vecteur
Pour chacune des sept affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou si elle est fausse.
1. Une équation du plan (ABC ) est :
2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC ).
3. Les droites (AB ) et (CD ) sont orthogonales.
4. La droite (CD ) est donnée par la représentation suivante :
5. Le point A est sur la droite (CD ).
6.
7. Le vecteur est normal au plan (ABC ).
6 points
exercice 2
Dans le plan orienté , on considère un rectangle ABCD tel que :
Soit I le milieu de [AB ], J le milieu de [BD ] et le cercle
circonscrit au rectangle ABCD .
Soit f la similitude directe qui transforme B en I et I en D.
1. déterminer le rapport k et l'angle de f .
2. Soit (E1) l'ensemble des points M du plan tels que :
a. Justifier que C appartient à (E1). b. Déterminer et construire (E1) .
3. Soit (E2) l'ensemble des points M du plan tels que :
Déterminer et construire (E2).
4. Déduire des questions précédentes le centre de f .
5. Soit Montrer que D est le milieu de [A' I ] puis construire le point A '.
7 points
exercice 3
Soit pN. On considère la suite définie par :
1. Calculer
2. Montrer que si
3. Montrer que est croissante et majorée.
4. Soit f la fonction définie sur [0 , 1] par
a. Montrer que pour tout b. En déduire que :
c. Déterminer alors la limite de la suite
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)
, on considère les points
, B(0;4;-3),C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1) )
et le vecteur \cdot)
est normal au plan (ABC ).
, on considère un rectangle ABCD tel que :
![(\overrightarrow{AB}\,,\overrrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \text{ et } AB=2\,AD\,\cdot](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\overrightarrow{AB}\,,\overrrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \text{ et } AB=2\,AD\,\cdot)
le cercle
circonscrit au rectangle ABCD .
de f .![(\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})=-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})=-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot)
a. Justifier que C appartient à (E1).![(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot)
Déterminer et construire (E2).\,\cdot)
N. On considère la suite )_{n\in \textbf N ^*)
définie par :
=\dfrac{1}{(n+1)^p}+\dfrac{1}{(n+2)^p}+\dots+\dfrac{1}{(2n)^p}\,\cdot)
 \text{ et } S(2,1)\,\cdot)
=0\,\cdot)
)_{n\in \textbf N ^*)
est croissante et majorée.=\dfrac{1}{1+x}\,\cdot)
![n\le 2 \text{ et } k \in [0 \,; \,n-1], \text{ on a : } \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;$d$x \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\le 2 \text{ et } k \in [0 \,; \,n-1], \text{ on a : } \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;$d$x \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot)
b. En déduire que : \le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;$d$x \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot)
)\,\cdot)
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