Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Sénégal

Séries : S1-S1A-S3

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Epreuve du 2e groupe

Durée : 2 heures

Coefficient : 8


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.



7 points

exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé  (O\,; \vec i\,,\vec j\,,\vec k) , on considère les points   A(2;4;1), B(0;4;-3),C(3;1;-3), D(1;0;-2), E(3;2;-1)   et le vecteur  \vec n (12 ;12 ; -6)\cdot
Pour chacune des sept affirmations suivantes, dire en justifiant si elle est vraie ou si elle est fausse.

1.  Une équation du plan (ABC )   est :  2x+2y-z-11=0\cdot

2.   Le point E est le projeté orthogonal de D   sur le plan (ABC ).

3.   Les droites (AB ) et (CD ) sont orthogonales.

4.   La droite (CD ) est donnée par la représentation suivante : \left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \textbf R}\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right.

5.  Le point A est sur la droite (CD ).

6.  \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow n \cdot

7.  Le vecteur  \vec n  est normal au plan (ABC ).

6 points

exercice 2

Dans le plan orienté  \mathcal{ P } , on considère un rectangle ABCD   tel que :   (\overrightarrow{AB}\,,\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \text{ et } AB=2\,AD\,\cdot
Soit I  le milieu de [AB ], J  le milieu de [BD ] et  \mathcal{ C }   le cercle circonscrit au rectangle ABCD .
Soit   f   la similitude directe qui transforme B  en I  et I  en D.

1.   déterminer le rapport  k  et l'angle  theta  de  f .

2.   Soit  (E1)  l'ensemble des points  M  du plan tels que :   (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})=-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot
\white w a.   Justifier que C  appartient à (E1).
\white w b.   Déterminer et construire (E1) .

3.   Soit (E2) l'ensemble des points M   du plan tels que :   (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot
\white {ww} Déterminer et construire (E2).

4.  Déduire des questions précédentes le centre de f .

5.   Soit   A'=f(A)\,\cdot
\white {ww} Montrer que D   est le milieu de [A' I ] puis construire le point A '.

7 points

exercice 3

Soit p appartient N. On considère la suite   (S(p, n))_{n\in \textbf N ^*  définie par :

S(p,n)=\dfrac{1}{(n+1)^p}+\dfrac{1}{(n+2)^p}+\dots+\dfrac{1}{(2n)^p}\,\cdot


1.   Calculer   S(1,2) \text{ et } S(2,1)\,\cdot

2.   Montrer que si   p \ge 2 \;, \text{ alors } \lim\limits_{n\to +\infty} S(p , n)=0\,\cdot

3.   Montrer que  (S(1, n))_{n\in \textbf N ^*  est croissante et majorée.

4.   Soit f   la fonction définie sur [0 , 1] par   f(x)=\dfrac{1}{1+x}\,\cdot

\white w a.   Montrer que pour tout   n\le 2 \text{ et } k \in [0 \,; \,n-1], \text{ on a : }   \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot
\white w b.   En déduire que :  S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot

\white w c.   Déterminer alors la limite de la suite   (S(1,n))\,\cdot









exercice 1

1) Affirmation vraie .

Calculons les coordonnées du vecteur  \left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right) qui est un vecteur normal au plan (ABC) .

On calcule les coordonnées de : \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-2\\4-4\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}\enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2\\1-4\\-3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}

On en tire les coordonnées du produit vectoriel : \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}

Donc une équation de ce plan s'écrit : (ABC)\text{ : }-12\times x -12\times y +6\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R

Ce qui donne (ABC)\text{ : }-12x -12y+6z +d=0\text{ , avec }d\in\R .

Enfin , puisque A(2;4;1)\in (ABC) \text{ , alors : }

\enskip -12x_A-12y_A+6z_A+d=0 \iff -24-48+6+d=0\iff d=66


Ce qui donne , en simplifiant : (ABC)\text{ : }-12x -12y+6z +66=0\enskip\iff\enskip \boxed{(ABC)\text{ : }2x +2y-z -11=0} .

2) Affirmation fausse

Pour que le point E soit le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) , il faut que le vecteur \overrightarrow{DE} soit normal au plan (ABC) , vérifions cela :

On calcule les coordonnées de : \overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} x_E-x_D\\y_E-y_D\\z_E-z_D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-1\\2-0\\-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}

Calculons le produit scalaire \overrightarrow{DE}\text{ . }\overrightarrow{AB} \text{ : }

\overrightarrow{DE}\text{ . }\overrightarrow{AB} =2\times (-2)+2\times 0+1\times (-4)=-4-4=-8\red \neq \black 0

Il s'ensuit que \overrightarrow{DE} n'est pas normal au plan (ABC) .

Donc :
\boxed{E\text{ n'est pas le projeté orthogonal de }D\text{ sur }(ABC)}


3) Affirmation vraie

On calcule les coordonnées de : \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D-x_C\\y_D-y_C\\z_D-z_C\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\\0-1\\-2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}

Et on a : \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}

Donc \overrightarrow{CD}\text{ . }\overrightarrow{AB} =(-2)\times (-2)+(-1)\times 0+1\times (-4)=+4-4= 0

D'où :
\boxed{\text{ Les droites }(AB ) \text{ et }(CD ) \text{ sont orthogonales}}


4) Affirmation fausse

En effet , notons (\rho) la droite dont la représentation paramétrique est (\rho)\text{ : }\left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right

Il faut vérifier que les points C et D appartiennent à cette droite :

C\in (\rho)\iff \left\lbrace\begin{matrix} x_C& = & -1+2t& \\ y_C&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z_C& =& 1-t & \end{matrix}\right \iff \left\lbrace\begin{matrix} 3& = & -1+2t& \\ 1&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ -3& =& 1-t & \end{matrix}\right

On obtient donc 1-t=-3 \text{ et } -1+t=1 \enskip\text{ , d'où }\enskip t=-4 \text{ et } t=2 \enskip\text{ , ce qui est absurde . }

Donc C\notin (\rho)

Et donc :
\boxed{\text{ La droite }(CD ) \text{ n'est donnée par la représentation suivante : }\left\lbrace\begin{matrix} x& = & -1+2t& \\ y&= & -1+t& , \; t \in \R\;\cdot\\ z& =& 1-t & \end{matrix}\right}


5) Affirmation fausse

On a \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix} et calculons les coordonnées de \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D-x_A\\y_D-y_A\\z_D-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2\\0-4\\-2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\-3\end{pmatrix}

Ces deux vecteurs ne sont bien évidemment pas colinéaires .

D'où :
\boxed{\text{ Le point }A \text{ n'est pas sur la droite }(CD )}


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6) Affirmation fausse

On a vu en 1) que \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-12\\-12\\6\end{pmatrix}\enskip\text{ , et on a }\vec{n}\begin{pmatrix}12\\12\\-6\end{pmatrix}

Il s'ensuit que : \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-\vec{n}

Et donc :
\boxed{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\neq\overrightarrow n \cdot}


7) Affirmation vraie

D'après la question précédente , \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=-\vec{n}

Donc les vecteurs \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\text{ et }\vec{n} sont colinaires .

Or , on sait que le vecteur \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC} est normal au plan (ABC) .

Donc :
\boxed{\text{ Le vecteur  }\vec n  \text{ est lui aussi normal au plan }(ABC)}


exercice 2

1) Puisque la similitude directe f transforme le point B en I et le point I en D ,

alors son rapport est k=\dfrac{DI}{IB} et son angle \theta\equiv \left(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]

Rapport k\text{ : }

En appliquant le théoème de pythagore au triangle ADI qui est rectangle en A , on obtient :

AD^2+AI^2=DI^2 \iff DI=\sqrt{AI^2+AD^2}


De plus , I est le milieu de [AB] , et AB=2AD donc : IB=AI=AD \enskip\enskip\enskip\left(=\dfrac{AB}{2}\right) .

Le rapport k est donc :

\begin{matrix}k&=&\dfrac{DI}{IB}&=&\dfrac{\sqrt{AI^2+AD^2}}{IB}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{IB^2+IB^2}}{IB}&=&\dfrac{\sqrt{2IB^2}}{IB}\\\\&=&\dfrac{IB\sqrt{2}}{IB}&=&\sqrt{2}\end{matrix}

Angle \theta\text{ : }

On a \overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IA} , alors : \theta\equiv \left(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv \enskip \left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{ID}\right)\enskip[2\pi]

Et puisque le triangle ADI est isocèle et rectangle en A , alors : \left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{ID}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]

On obtient : \theta\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]

Conclusion :

\boxed{k=\sqrt{2}\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \theta\equiv -\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]}


2-a) On a AB=2AD et AD=CB , alors AB=2CB .

De plus , I est le milieu de [AB] , donc CB=BI .

Donc le triangle IBC est isocèle et rectangle en B , on en tire , en respectant le sens direct des angles , que :

 \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CI}\right)\enskip\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi]


Donc C est un point de l'ensemble des points M du plan qui vérifient (\overrightarrow{MB} , \overrightarrow{MI})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot

Ou encore :
\boxed{C\in(E_1)}


b)

L'ensemble (E_1) est l'arc capable relatif au segment [BI] à l'angle de mesure -\dfrac{\pi}{4} .

Donc :
\boxed{(E_1) \text{ est l'arc de cercle , contenant }C\text{ , du cercle circonscrit au triangle }IBC\text{ , avec }B\text{ et }I\text{ exclus}}


Voir la figure ci-dessous .

3) Puisque (E_2) est l'ensemble des points M qui vérifient  (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MD})\equiv-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot.

Alors (E_2) est un demi-cercle de diamètre [BD] . De plus , en respectant le sens direct des angles , on a  (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})\equiv-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\,\cdot

Donc C\in(E_2) , on conclut alors que :

\boxed{(E_2) \text{ est le demi-cercle de diamètre } [BD]\text{ contenant le point }C}


Pour la construction , voir la figure ci-dessous .

4) Notons \Omega le centre de la similitude f \text{ , donc : }

\begin{matrix}\begin{cases}f(B)=I\\f(I)=D\end{cases}&\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\  (\overrightarrow{\Omega I} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases}  \\\\ &\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\  (\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})+(\overrightarrow{\Omega I} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases}    \\\\ &\iff& \begin{cases}(\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\,\cdot \\\\ (\overrightarrow{\Omega B} , \overrightarrow{\Omega D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\,\cdot \end{cases} \\\\&\iff& \begin{cases}\Omega\in(E_1)\\ \Omega \in(E_2) \end{cases} \\\\&\iff& \Omega \in (E_1)\cap (E_2) \end{matrix}

On en déduit que \Omega est le point d'intersection de (E_1) et (E_2) , qui n'est autre que le point C , donc \Omega=C .

Conclusion :

\boxed{\text{Le point }C \text{ est le centre de la similitude }f}


5) On a f(B)=I\enskip\text{ , }\enskip f(I)=D\enskip\text{ et }\enskip f(A)=A' .

Donc : \begin{cases}A'I=kAB \\A'D=k AI \end{cases}\iff \begin{cases}A'I=\sqrt{2}AB \\A'D=\sqrt{2} AI \end{cases} . Et comme I est le milieu de [AB] \text{ , donc } 2AI=AB .

D'où A'I=\sqrt{2} AB = \sqrt{2}\times 2AI= 2\times \left(\sqrt{2} AI \right) \iff \boxed{A'I=2 A'D} \enskip \red (i)

D'autre part : \begin{cases}(\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A'D})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \\\\  (\overrightarrow{A B} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \end{cases} .

Et puisque (\overrightarrow{A B} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I})\;[2\pi]\,

Donc \begin{cases}(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A I}  )\equiv\enskip\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \\\\  (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I})\equiv\enskip-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\, \end{cases}

On en déduit que (\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A I} ) + (\overrightarrow{A I} , \overrightarrow{A' I}) \equiv\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\enskip[2\pi] \iff (\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A' I} ) \equiv 0 \enskip[2\pi]

D'où :
\boxed{\overrightarrow{A'D} \text{ et }\overrightarrow{A'I} \text{ sont colinéaires et de même sens }}\enskip\red (ii)


De \red (i) \black \text{ et }\red (ii)\black \text{ : }

\boxed{D\text{ est le milieu de }[A'I]}


Figure :
Bac Sénégal  2022 série S1-S1A-S3-2e groupe : image 1


exercice 3

\text{Soient }p\in\N\text{ et }(S(p, n))_{n\in \N^*}\text{ définie par : }S(p,n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+i)^p}


1)
S(1,2)=\dfrac{1}{(2+1)^1}+\dfrac{1}{(2+2)^1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\enskip\text{ , d'où }\enskip\boxed{S(1,2)=\dfrac{7}{12}}

S(2,1)=\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac{1}{2^2}\enskip\text{ , donc }\enskip\boxed{S(2,1)=\dfrac{1}{4}}

2) Soit p\in\N^*\backslash\lbrace 1\rbrace

Donc , pour tout entier naturel non nul i\enskip\text{ , }\enskip n+i\geq n+1

D'où , 0\leq\dfrac{1}{n+i}\leq \dfrac{1}{n+1} \text{ , il s'ensuit que } 0\leq \dfrac{1}{(n+i)^p}\leq \dfrac{1}{(n+1)^p}

Donc : 0\leq \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+i)^p}\leq \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(n+1)^p} \enskip\Longrightarrow\enskip 0\leq S(p,n)\leq \dfrac{1}{(n+1)^p}\sum_{i=1}^{n}1

On en déduit que :
\boxed{0\leq S(p,n)\leq \dfrac{n}{(n+1)^p}}


Ensuite , puisque : \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{(n+1)^p}=\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n}{n^p} =\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^{p-1}} = 0\enskip \enskip \text{(En effet }p\geq 2 \text{)}

D'après le théorème des gendarmes , on obtient :

\boxed{\text{ Si } p\geq 2  \text{ , } \displaystyle\lim_{n\to\infty}S(p,n)=0}


3)

\begin{matrix}\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n+1)-S(1,n)&=& \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{n+1+i}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}\\\\&=& \left(\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}\right)-\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1} \\\\&=&\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\\\\&=& \dfrac{2n+2-(2n+1)}{(2n+1)(2n+2)}\\\\&=& \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)} \end{matrix}

Et puisque pour tout entier naturel non nul n\text{ , } \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0

D'où :
\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n+1)-S(1,n)>0


Et donc :
\boxed{(S(1, n))_{n\in \N^*}\text{ est une suite (strictement) croissante }}


De plus ,

\begin{matrix}\forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n)&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}\\\\&=&\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots + \dfrac{1}{2n} \\\\&\leq &\underbrace{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+\cdots + \dfrac{1}{n+1} }_{n\text{ fois }}\\\\&=& \dfrac{n}{n+1}\end{matrix}

Donc \forall n\in\N^{*}\text{ : }S(1,n)\leq \dfrac{n}{n+1} \enskip\enskip\text{ , et puisque }\enskip\enskip\forall n\in\N^{*} \text{ : }\dfrac{n}{n+1}\leq 1

Donc :
\forall n\in\N^*\text{ : }S(1,n)\leq 1 \enskip\text{ , ce qui veut dire que : }\enskip\boxed{(S(1, n))_{n\in \N^*}\text{ est une suite majorée (par 1) }}


4-a) La fonction f sur [0;1] par f(x)=\dfrac{1}{1+x} est dérivable sur [0;1] comme fonction homographique .

Et on a , pour tout x\in[0;1]\text{ : }f'(x)=-\dfrac{(1+x)'}{(1+x)^2}=-\dfrac{1}{(1+x)^2} < 0

La fonction f est alors strictement décroissante sur [0;1]

D'autre part , pour tout n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n -1]\text{ , on a : }0\leq \dfrac{k}{n} \leq \dfrac{k+1}{n}\leq 1

D'où : \forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , }\left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]\subset[0;1]

\forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , } la fonction f est décroissante sur \left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right] , et on a donc :

\forall x\in  \left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]\enskip\text{ : }\enskip f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)\leq f(x)\leq f\left(\dfrac{k}{n}\right)


D'où : \forall n \geq 2 \text{ et }k \in [0; n - 1]\text{ , }\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}  f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\text{ d}x\leq \displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\text{ d}x \leq \displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}  f\left( \dfrac{k}{n}\right)\text{ d}x

Et puisque :

\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}  f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\text{ d}x= f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} \text{ d}x= f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\displaystyle \left[x\right]_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}=f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\left(\dfrac{k+1}{n}-\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{1}{n}f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)

De même :

\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}}  f\left( \dfrac{k}{n}\right)\text{ d}x= f\left( \dfrac{k}{n}\right)\displaystyle\int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} \text{ d}x=\dfrac{1}{n}f\left( \dfrac{k}{n}\right)

On en déduit que :
\boxed{\forall  n\leq 2 \text{ et } k \in [0;n-1] \enskip  \text{ , on a : }  \enskip \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot}


b) Comme :
\forall  n\leq 2 \text{ et } k \in [0;n-1] \enskip  \text{ , on a : }  \enskip \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot


Alors :
\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)\le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned} \le \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac 1 n f\left( \dfrac k n \right)\,\cdot

Or :

\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)&=&  \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left( \dfrac{k+1}{n}\right)&=&\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k+1}{n}} \\&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{n+k+1}}&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k+1}} \\&\underbrace{=}_{i=k+1}& \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n+i}}&=& S(1,n) \end{matrix}

Et :

\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n} f\left( \dfrac{k}{n}\right)&=&  \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}f\left( \dfrac{k}{n}\right)&=&\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{1+\dfrac{k}{n}} \\&=& \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{n+k}}&=& \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}} \\&=& \displaystyle \dfrac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{n+k}}&=& \displaystyle \dfrac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}}-\dfrac{1}{2n}\\&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}}+\dfrac{2-1}{2n}&=& S(1,n)+\dfrac{1}{2n} \end{matrix}

Enfin :

\begin{matrix}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\begin{aligned} \int_{\frac k n}^{\frac{k+1}{n}} f(x)\;\text dx \end{aligned}&=& \displaystyle \int_{0}^{\frac 1 n} f(x)\text{ d}x +\int_{\frac 1 n}^{\frac 2 n} f(x)\text{ d}x++\int_{\frac 2 n}^{\frac 3 n} f(x)\text{ d}x +\cdots +\int_{\frac{n-2}{n}}^{\frac{n-1}{n}} f(x)\text{ d}x+\int_{\frac{n-1}{n}}^{\frac{n}{n}=1} f(x)\text{ d}x\\&=& \displaystyle\int_0^1 f(x)\text{ d}x\enskip\enskip\enskip\enskip \text{(Chalses)} \end{matrix}

On obtient alors :
\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : } S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot}


c) On a : \forall n\in\N^*\text{ : } S(1,n)\le \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\cdot

Donc : \forall n\in\N^*\text{ : }

\boxed{S(1,n)\leq\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\text{ d}x }\enskip\blue (i) \black\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x)\;\text dx \end{aligned}\le S(1,n)+\dfrac{1}{2n}\,\Longrightarrow \boxed{ \begin{aligned}\int_{0}^{1} f(x)\;\text dx -\dfrac{1}{2n} \end{aligned}\le S(1,n)\,}\enskip \blue (ii)

\text{De }\blue (i)\black\text{ et }\blue (ii)\black\text{ : }
\forall n\in\N^*\text{ : } \begin{aligned}\int_{0}^{1} f(x)\;\text dx -\dfrac{1}{2n} \end{aligned}\leq S(1,n)\leq\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\text{ d}x


Or , puisque \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{2n}=0 \text{ , alors : }\displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x \leq \displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(1,n) \leq \displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x

D'où , d'après le théorème des gendarmes :

\begin{matrix}\displaystyle \lim_{n\to+\infty} S(1,n)&=&\displaystyle \int_0^1 f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x+1}\text{ d}x&=& \left[\ln |x+1|\right]_0^1 &=& \ln 2 - \ln 1 \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty} S(1,n)=\ln 2}
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