Le plan est orienté . Dans la figure de l'annexe jointe .
Le triangle est rectangle en et tel que .
Le triangle est rectangle en et tel que .
Le point est le milieu du segment .
1. On pose .
a) Justifier que est la rotation de centre et d'angle .
b) Montrer que .
2. Soit l'homothétie de centre et de rapport . On pose .
a) Montrer que .
b) Montrer que est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques .
3. La médiatrice du segment coupe la droite en un point .
a) Montrer que .
b) Vérifier que . Montrer alors que le quadrilatère est un losange .
4. Soit la similitude indirecte telle que . On désigne par le centre de et on pose .
a) Montrer que le rapport de est égal à .
b) Justifier que .
c) En déduire que puis que .
d) Montrer que le point appartient à la droite privée du segment .
e) En déduire l'axe de .
f) Construire le point .
5.a) Montrer que .
b) Montrer que les points sont alignés .
3,5 points
exercice 2
On dispose d'une urne contenant cinq boules portant les numéros .
Toutes les boules sont indiscernables au toucher .
Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux boules de l'urne .
1. On considère les évènements :
a) Calculer la probabilité de l'évènement .
b) Montrer que la probabilité de l'évènement est égale à .
2. On désigne par la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées .
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance et la variance de .
3. Une expérience consiste à répéter l'épreuve précédente fois de suite () en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne . On désigne par la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée .
a) Déterminer .
b) Déterminer la plus petite valeur de pour que le nombre moyen de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée soit supérieur ou égal à .
4 points
exercice 3
Partie A
Soit un nombre premier te lque et .
On considère dans l'équation .
1. Montrer que si alors est une solution de .
2. Soit une solution de .
a) Montrer que .
b) En déduire que .
3. Résoudre dans l'équation .
Partie B
Soit dans l'équation .
1. Montrer que si et seulement si .
(On pourra remarquer que )
2.a) Vérifier que et que .
b) Montrer que si et seulement si .
c) En déduire que : .
3.a) Vérifier que est un inverse de modulo .
b) Résoudre dans l'équation .
7 points
exercice 4
Soit la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
Partie A
1. Montrer que est paire .
2. Montrer que . Interpréter .
3.a)Montrer que .
b) Dresser le tableau de variation de .
4. Tracer .
Partie B
Soit la fonction définie sur par .
1. Montrer que est dérivable sur et calculer pour tout .
2.a) Montrer que la fonction définie par est une bijection de sur .
On note la fonction réciproque de .
b) Déterminer .
c) Montrer que est dérivable sur et que .
3. Montrer que .
4. Soit . On désigne par l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives .
a) Montrer que .
b) Déterminer .
Partie C
Pour tout , on pose .
1.a) Montrer que pour tout réel .
b) En déduire .
2.a) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que .
Alors le composée des deux symétries orthogonales respectivement d'axe noté , est la rotation de centre (le point d'intersection de ces deux droites) et d'angle .
b) Puisque le triangle est rectangle en , alors :
Or , est le milieu de , alors
D'autre part , est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle , alors d'après le théorème du cercle circonscrit : .
Le triangle est donc isocèle en , ayant pour mesure angle en
Donc est un triangle équilatéral , d'où
De :
D'où :
2-a) est l'homothétie de centre et de rapport
Puisque est le mileu de , alors , d'où
On a donc :
b) Puisque est la composée de l'homothétie avec et de la rotation , alors :
3-a) Le triangle est équilatéral , alors la médiatrice du segment est aussi la bissectrice de l'angle .
Donc :
D'où : .
est un triangle rectangle en , alors :
De :
On en déduit que :
b) est un triangle rectangle en , alors :
De plus , 3-a) )
Donc : .
On en tire que le triangle est isocèle en , et par suite :
Montrons alors que le quadrilatère est un losange :
Puisque
Alors , d'autre part , on sait que
On en tire que
D'autre part, le triangle est équilatéral , alors .
De plus , est le milieu de , alors . Donc :
Puis , on a montré que , il s'ensuit alors que
Enfin , on a d'après 1-b) . Alors
De :
4-a) Puisque , alors le rapport de la similitude indirecte est .
De plus , on a et est un losange , donc , on en tire que
Et donc , le rapport de devient .
Enfin , en sachant que est un triange rectangle en , alors :
On conclut alors que :
b) est un losange , donc .
Le triangle est donc isocèle en , ce qui implique que :
c) Appliquons la relation de Chasles :
On sait qu'une similitude indirecte change le sens des angles orientés , et en est une .
Ainsi , puisque , alors on a
Et d'après la question précédente
Donc :
On en déduit directement que , d'où :
d) On a , alors .
Or , le composée de deux similitudes indirectes de même centre est de centre et de rapport .
D'où : .
D'autre part ,
Alors .
On en déduit que .
D'où , appartient à la droite privée de , en particulier privée du segment .
e) Puisque et est le centre de , alors l'axe de est la droite qui porte la bissectrice de l'angle qui est nul puisque appartient à privée de .
Cette bissectrice est donc , et on conclut que :
f) D'après ce qui précède , on a , alors est le milieu du segment .
Voir la figure à la fin .
5-a) est un losange , alors la droite est la médiatrce de , donc est le symétrique de par rapport à .
D'autre part , le rapport de la similitude est et son axe est la droite , alors .
, donc .
On en déduit que :
b) Les points sont alignés et la réciproque d'une similitude indirecte est elle aussi une similitude indirecte .
Alors est une similitude indirecte et donc les points sont aussi alignés par conservation de l'alignement par la similitude .
Ou :
Figure : Il n'est demandé de construire que le point , les autres points de l'exercice ne sont construits qu'à titre illustratif .
exercice 2
L'urne en question contient cinq boules portant les numéros
1-a) La seule possibilité est de tirer les deux boules portant le numéro "0" , d'où :
b) Puisque est l'évènement : " N'avoir aucune boule numérotée 0 " , alors
On en tire que
2-a) étant la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées , alors l'ensemble des valeurs que peut prendre est
Il y a qu'une possibilité d'avoir , ou , ou , en effet :
Donc .
Ensuite , pour avoir comme produit , il faut qu'au moins une boule tirée soit numérotée "0" , alors
Récapitulatif :
b) L'espérance de :
La variance de :
3-a) La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres , alors :
b) On a
Alors
D'où :
exercice 3
Partie A :
1) On a , alors , d'où
2-a) Puisque , alors le nombre premier ne divise pas .
Donc ne peut pas diviser .
Alors , d'après le théorème de Fermat :
b) On a , alors il existe .
Et on a , alors .
Ce qui signifie que
D'autre part , on a , alors .
Donc .
De
3) D'après ce qui précède , on conclut que :
.
Alors , l'ensemble des solutions dans de l'équation est :
Partie B :
1) Si , alors .
Or
alors
Cela signifie que :
2-a)
Montrons que
Montrons que
On a
Alors
b)
c) Soit , alors .
Et puisque , alors
D'où , et donc
On en tire que , de plus est un entier premier , alors .
On obtient .
On en déduit que :
3-a) Directement , alors .
D'où :
b)
On a , d'après ce qui précède :
Donc .
D'où .
Or , , alors .
Donc .
Enfin , , Ainsi
Donc
D'où .
Ou encore .
Donc
Or , , alors .
Enfin , , Ainsi
On conclut alors que :
Réciproquement :
Alors
Or :
D'où :
De
On en déduit l'ensemble des solutions dans de l'équation :
exercice 4
Partie A
Soit la fonction définie sur par .
1) Parité de :
On a , pour tout réel
Donc :
2) On a pour tout réel :
On sait que
Donc
Interprétation graphique :
3-a) La fonction est clairement dérivable comme quotient de fonction en exponentielle dérivables sur , donc :
b) Puisque
Alors le signe de est celui de
Résolvons l'équation :
Et puisque la fonction est strictement croissante sur , alors :
On calcule : .
Et enfin , puisque est paire , la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées , on en tire que :
Tableau de variations de :
4) La courbe :
Partie B :
Soit la fonction définie sur par .
1) Posons la fonction définie sur par .
On a alors , pour tout réel strictement positif , ou encore définie sur .
De plus , on a :
est une fonction continue sur .
Il s'ensuit que la fonction est dérivable sur .
Enfin , la fonction est dérivable sur .
Donc est dérivable sur , ou encore :
Pour tout de
2-a) La fonction est continue et strictement croissante sur .
Elle réalise donc une bijection de sur .
Et puisque :
Alors :
b) On a .
Et
c) La fonction est dérivable sur .
De plus , pour tout 1
Donc , est dérivable sur
Donc , pour tout
3) On a , pour tout réel strictement positif :
D'où
Déterminons la constante réelle :
Alors
On obtient :
4-a) L'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives est en unité d'aire (UA) :
Puisque , donc :
b) On a :
Donc
Partie C :
1-a) D'après ce qui précède , pour tout réel
Et puisque , , alors
Ou encore , , on en tire que
D'où
D'autre part , , et puisque
De :
b) On a , pour tout
Alors
D'où
Calculons :
Il s'ensuit que :
Ensuite ,
Alors , d'après le théorème des gendarmes :
2-a)
Pour tout .
Intégration par parties :
On pose
Donc :
Conclusion :
b) On a ,
D'où , , et donc
Or ,
Alors , ou encore
On obtient donc , , et en multipliant par l'entier , on trouve :
En sachant que :
Alors , d'après le théorème des gendarmes :
Enfin , d'après 3) de la partie B) ,
On conclut alors que :
Publié par malou/Panter
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Panter / Panter pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !