Fiche de mathématiques
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Bac Tunisie SM 2022 - Contrôle

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Durée : 4 heures
Coefficient : 4

5,5 points

exercice 1

Le plan est orienté . Dans la figure de l'annexe jointe .

Le triangle OEB est rectangle en B et tel que \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi] .

Le triangle OEF est rectangle en E et tel que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi] .

Le point I est le milieu du segment [OF] .

1. On pose R=S_{(OE)}\circ S_{(OB)} .

a) Justifier que R est la rotation de centre O et d'angle \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) .

b) Montrer que R(E)=I .

2. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport 2 . On pose f=h\circ R .

a) Montrer que f(E)=F .

b) Montrer que f est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques .

3. La médiatrice du segment [IE] coupe la droite (BE) en un point A .

a) Montrer que f(B)=A .

b) Vérifier que EA=EO . Montrer alors que le quadrilatère AEIF est un losange .

4. Soit g la similitude indirecte telle que g(B)=A \text{ et }g(E)=F . On désigne par \Omega le centre de g et on pose K=g(F) .

a) Montrer que le rapport de g est égal à 2 .

b) Justifier que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi] .

c) En déduire que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi] puis que F\in [EK] .

d) Montrer que le point \Omega appartient à la droite (EF) privée du segment [EF] .

e) En déduire l'axe de g .

f) Construire le point \Omega .

5.a) Montrer que g((\Omega I))=(\Omega A) .

b) Montrer que les points \Omega , B \text{ et }I sont alignés .

3,5 points

exercice 2

On dispose d'une urne contenant cinq boules portant les numéros -1,0,0,1,2 .

Toutes les boules sont indiscernables au toucher .

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux boules de l'urne .

1. On considère les évènements :
\begin{matrix} &A\enskip:\enskip &\text{ ''Les deux boules tirées sont de même numéro'' }\\ &B\enskip : \enskip&\text{ ''Avoir au moins une boule numérotée 0'' } \end{matrix}


a) Calculer la probabilité de l'évènement A .

b) Montrer que la probabilité de l'évènement B est égale à \dfrac{7}{10} .

2. On désigne par X la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées .

a) Déterminer la loi de probabilité de X .

b) Calculer l'espérance et la variance de X .

3. Une expérience consiste à répéter l'épreuve précédente n fois de suite (n\geq 2) en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne . On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée 0 .

a) Déterminer P(Y=1) .

b) Déterminer la plus petite valeur de n pour que le nombre moyen de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée 0 soit supérieur ou égal à 5 .

4 points

exercice 3

Partie A

Soit p un nombre premier te lque p>3 et p\equiv 2 \enskip (\text{mod }3) .

On considère dans \Z l'équation (E_p)\enskip:\enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

1. Montrer que si x\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) alors x est une solution de (E_p) .

2. Soit x une solution de (E_p) .

a) Montrer que x^{p-1}\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

b) En déduire que x\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

3. Résoudre dans \Z l'équation (E_p) .

Partie B

Soit dans \Z l'équation (E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) .

1. Montrer que x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) si et seulement si x\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) \text{ ou }x^2+x+1 \equiv 0 \enskip (\text{mod }43) .

(On pourra remarquer que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) )

2.a) Vérifier que (2x+1)^2+3=4(x^2+x+1) et que 30^2\equiv -3 \enskip (\text{mod }43) .

b) Montrer que x^2+x+1\equiv 0 \enskip (\text{mod }43) si et seulement si (2x+1)^2 \equiv -3 \enskip (\text{mod }43) .

c) En déduire que : x^2+x+1\equiv 0 \enskip (\text{mod }43) \Rightarrow (2x-29)\equiv 0\enskip (\text{mod }43)\text{ ou } (2x+31)\equiv 0 \enskip (\text{mod }43)  .

3.a) Vérifier que 22 est un inverse de 2 modulo 43 .

b) Résoudre dans \Z l'équation (E_{43}) .

7 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} .

On note (\zeta) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

Partie A

1. Montrer que f est paire .

2. Montrer que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0 . Interpréter .

3.a)Montrer que f'(x)=\dfrac{(1-e^{2x})e^{x}}{(1+e^{2x})^2} \text{ , pour tout réel }x .

b) Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer (\zeta) .

Partie B

Soit F la fonction définie sur ]0,+\infty[ par F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\ln x} f(t)\text{ d}t .

1. Montrer que F est dérivable sur ]0,+\infty[ et calculer F'(x) pour tout x >0 .

2.a) Montrer que la fonction g définie par g(x)=\tan x est une bijection de \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ sur ]0,+\infty[ .

On note g^{-1} la fonction réciproque de g .

b) Déterminer g^{-1}(1)\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g^{-1}(x) .

c) Montrer que g^{-1} est dérivable sur ]0,+\infty[ et que \left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \text{ , pour tout }x>0 .

3. Montrer que F(x)=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4} \text{ , pour tout } x>0 .

4. Soit \lambda >0 . On désigne par A(\lambda) l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (\zeta) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=-\lambda \text{ et }x=\lambda .

a) Montrer que A(\lambda)=2F(e^{\lambda}) .

b) Déterminer \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} A(\lambda) .

Partie C

Pour tout n\in\N^{*} , on pose I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t .

1.a) Montrer que pour tout réel t\geq 0\text{ , }0\leq F(e^{t})\leq \dfrac{\pi}{4} .

b) En déduire \displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n .

2.a) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que I_n=\dfrac{F(e)}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t .

b) En déduire que \displaystyle\lim_{n\to+\infty} nI_n=g^{-1}(e)-\dfrac{\pi}{4} .

Annexe à rendre avec la copie



Bac Tunisie 2022 Contrôle SM (section mathématiques)   : image 1
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