Le plan est orienté . Dans la figure de l'annexe jointe .
Le triangle est rectangle en et tel que .
Le triangle est rectangle en et tel que .
Le point est le milieu du segment .
1. On pose .
a) Justifier que est la rotation de centre et d'angle .
b) Montrer que .
2. Soit l'homothétie de centre et de rapport . On pose .
a) Montrer que .
b) Montrer que est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques .
3. La médiatrice du segment coupe la droite en un point .
a) Montrer que .
b) Vérifier que . Montrer alors que le quadrilatère est un losange .
4. Soit la similitude indirecte telle que . On désigne par le centre de et on pose .
a) Montrer que le rapport de est égal à .
b) Justifier que .
c) En déduire que puis que .
d) Montrer que le point appartient à la droite privée du segment .
e) En déduire l'axe de .
f) Construire le point .
5.a) Montrer que .
b) Montrer que les points sont alignés .
3,5 points
exercice 2
On dispose d'une urne contenant cinq boules portant les numéros .
Toutes les boules sont indiscernables au toucher .
Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux boules de l'urne .
1. On considère les évènements :
a) Calculer la probabilité de l'évènement .
b) Montrer que la probabilité de l'évènement est égale à .
2. On désigne par la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées .
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance et la variance de .
3. Une expérience consiste à répéter l'épreuve précédente fois de suite () en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne . On désigne par la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée .
a) Déterminer .
b) Déterminer la plus petite valeur de pour que le nombre moyen de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée soit supérieur ou égal à .
4 points
exercice 3
Partie A
Soit un nombre premier te lque et .
On considère dans l'équation .
1. Montrer que si alors est une solution de .
2. Soit une solution de .
a) Montrer que .
b) En déduire que .
3. Résoudre dans l'équation .
Partie B
Soit dans l'équation .
1. Montrer que si et seulement si .
(On pourra remarquer que )
2.a) Vérifier que et que .
b) Montrer que si et seulement si .
c) En déduire que : .
3.a) Vérifier que est un inverse de modulo .
b) Résoudre dans l'équation .
7 points
exercice 4
Soit la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
Partie A
1. Montrer que est paire .
2. Montrer que . Interpréter .
3.a)Montrer que .
b) Dresser le tableau de variation de .
4. Tracer .
Partie B
Soit la fonction définie sur par .
1. Montrer que est dérivable sur et calculer pour tout .
2.a) Montrer que la fonction définie par est une bijection de sur .
On note la fonction réciproque de .
b) Déterminer .
c) Montrer que est dérivable sur et que .
3. Montrer que .
4. Soit . On désigne par l'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives .
a) Montrer que .
b) Déterminer .
Partie C
Pour tout , on pose .
1.a) Montrer que pour tout réel .
b) En déduire .
2.a) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que .
Alors le composée des deux symétries orthogonales respectivement d'axe noté , est la rotation de centre (le point d'intersection de ces deux droites) et d'angle .
b) Puisque le triangle est rectangle en , alors :
Or , est le milieu de , alors
D'autre part , est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle , alors d'après le théorème du cercle circonscrit : .
Le triangle est donc isocèle en , ayant pour mesure angle en
Donc est un triangle équilatéral , d'où
De :
D'où :
2-a) est l'homothétie de centre et de rapport
Puisque est le mileu de , alors , d'où
On a donc :
b) Puisque est la composée de l'homothétie avec et de la rotation , alors :
3-a) Le triangle est équilatéral , alors la médiatrice du segment est aussi la bissectrice de l'angle .
Donc :
D'où : .
est un triangle rectangle en , alors :
De :
On en déduit que :
b) est un triangle rectangle en , alors :
De plus , 3-a) )
Donc : .
On en tire que le triangle est isocèle en , et par suite :
Montrons alors que le quadrilatère est un losange :
Puisque
Alors , d'autre part , on sait que
On en tire que
D'autre part, le triangle est équilatéral , alors .
De plus , est le milieu de , alors . Donc :
Puis , on a montré que , il s'ensuit alors que
Enfin , on a d'après 1-b) . Alors
De :
4-a) Puisque , alors le rapport de la similitude indirecte est .
De plus , on a et est un losange , donc , on en tire que
Et donc , le rapport de devient .
Enfin , en sachant que est un triange rectangle en , alors :
On conclut alors que :
b) est un losange , donc .
Le triangle est donc isocèle en , ce qui implique que :
c) Appliquons la relation de Chasles :
On sait qu'une similitude indirecte change le sens des angles orientés , et en est une .
Ainsi , puisque , alors on a
Et d'après la question précédente
Donc :
On en déduit directement que , d'où :
d) On a , alors .
Or , le composée de deux similitudes indirectes de même centre est de centre et de rapport .
D'où : .
D'autre part ,
Alors .
On en déduit que .
D'où , appartient à la droite privée de , en particulier privée du segment .
e) Puisque et est le centre de , alors l'axe de est la droite qui porte la bissectrice de l'angle qui est nul puisque appartient à privée de .
Cette bissectrice est donc , et on conclut que :
f) D'après ce qui précède , on a , alors est le milieu du segment .
Voir la figure à la fin .
5-a) est un losange , alors la droite est la médiatrce de , donc est le symétrique de par rapport à .
D'autre part , le rapport de la similitude est et son axe est la droite , alors .
, donc .
On en déduit que :
b) Les points sont alignés et la réciproque d'une similitude indirecte est elle aussi une similitude indirecte .
Alors est une similitude indirecte et donc les points sont aussi alignés par conservation de l'alignement par la similitude .
Ou :
Figure : Il n'est demandé de construire que le point , les autres points de l'exercice ne sont construits qu'à titre illustratif .
exercice 2
L'urne en question contient cinq boules portant les numéros
1-a) La seule possibilité est de tirer les deux boules portant le numéro "0" , d'où :
b) Puisque est l'évènement : " N'avoir aucune boule numérotée 0 " , alors
On en tire que
2-a) étant la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées , alors l'ensemble des valeurs que peut prendre est
Il y a qu'une possibilité d'avoir , ou , ou , en effet :
Donc .
Ensuite , pour avoir comme produit , il faut qu'au moins une boule tirée soit numérotée "0" , alors
Récapitulatif :
b) L'espérance de :
La variance de :
3-a) La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres , alors :
b) On a
Alors
D'où :
exercice 3
Partie A :
1) On a , alors , d'où
2-a) Puisque , alors le nombre premier ne divise pas .
Donc ne peut pas diviser .
Alors , d'après le théorème de Fermat :
b) On a , alors il existe .
Et on a , alors .
Ce qui signifie que
D'autre part , on a , alors .
Donc .
De
3) D'après ce qui précède , on conclut que :
.
Alors , l'ensemble des solutions dans de l'équation est :
Partie B :
1) Si , alors .
Or
alors
Cela signifie que :
2-a)
Montrons que
Montrons que
On a
Alors
b)
c) Soit , alors .
Et puisque , alors
D'où , et donc
On en tire que , de plus est un entier premier , alors .
On obtient .
On en déduit que :
3-a) Directement , alors .
D'où :
b)
On a , d'après ce qui précède :
Donc .
D'où .
Or , , alors .
Donc .
Enfin , , Ainsi
Donc
D'où .
Ou encore .
Donc
Or , , alors .
Enfin , , Ainsi
On conclut alors que :
Réciproquement :
Alors
Or :
D'où :
De
On en déduit l'ensemble des solutions dans de l'équation :
exercice 4
Partie A
Soit la fonction définie sur par .
1) Parité de :
On a , pour tout réel
Donc :
2) On a pour tout réel :
On sait que
Donc
Interprétation graphique :
3-a) La fonction est clairement dérivable comme quotient de fonction en exponentielle dérivables sur , donc :
b) Puisque
Alors le signe de est celui de
Résolvons l'équation :
Et puisque la fonction est strictement croissante sur , alors :
On calcule : .
Et enfin , puisque est paire , la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées , on en tire que :
Tableau de variations de :
4) La courbe :
Partie B :
Soit la fonction définie sur par .
1) Posons la fonction définie sur par .
On a alors , pour tout réel strictement positif , ou encore définie sur .
De plus , on a :
est une fonction continue sur .
Il s'ensuit que la fonction est dérivable sur .
Enfin , la fonction est dérivable sur .
Donc est dérivable sur , ou encore :
Pour tout de
2-a) La fonction est continue et strictement croissante sur .
Elle réalise donc une bijection de sur .
Et puisque :
Alors :
b) On a .
Et
c) La fonction est dérivable sur .
De plus , pour tout 1
Donc , est dérivable sur
Donc , pour tout
3) On a , pour tout réel strictement positif :
D'où
Déterminons la constante réelle :
Alors
On obtient :
4-a) L'aire de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives est en unité d'aire (UA) :
Puisque , donc :
b) On a :
Donc
Partie C :
1-a) D'après ce qui précède , pour tout réel
Et puisque , , alors
Ou encore , , on en tire que
D'où
D'autre part , , et puisque
De :
b) On a , pour tout
Alors
D'où
Calculons :
Il s'ensuit que :
Ensuite ,
Alors , d'après le théorème des gendarmes :
2-a)
Pour tout .
Intégration par parties :
On pose
Donc :
Conclusion :
b) On a ,
D'où , , et donc
Or ,
Alors , ou encore
On obtient donc , , et en multipliant par l'entier , on trouve :
En sachant que :
Alors , d'après le théorème des gendarmes :
Enfin , d'après 3) de la partie B) ,
On conclut alors que :
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est rectangle en 
et tel que ![\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi])
.
est rectangle en 
et tel que ![\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi])
.
est le milieu du segment ![[OF]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[OF])
.
}\circ S_{(OB)})
.
est la rotation de centre 
et d'angle )
.
=I)
.
l'homothétie de centre 
. On pose 
.
=F)
.
est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques .
![[IE]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[IE])
coupe la droite )
en un point 
.
=A)
.
. Montrer alors que le quadrilatère 
est un losange .
la similitude indirecte telle que =A \text{ et }g(E)=F)
. On désigne par 
le centre de )
.
![\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi])
.
![\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi])
puis que ![F\in [EK]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F\in [EK])
.
)
privée du segment ![[EF]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[EF])
.
)=(\Omega A))
.
sont alignés .
.
.
la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées .
fois de suite (
) en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne . On désigne par 
la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée 
.
)
.
.
un nombre premier te lque 
et  )
.
l'équation \enskip:\enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) )
.
 )
alors 
est une solution de )
.
)
.
\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }43))
.
)
si et seulement si  \text{ ou }x^2+x+1 \equiv 0 \enskip (\text{mod }43))
.
(x^2+x+1))
)
^2+3=4(x^2+x+1))
et que )
.
)
si et seulement si ^2 \equiv -3 \enskip (\text{mod }43))
.
 \Rightarrow (2x-29)\equiv 0\enskip (\text{mod }43)\text{ ou } (2x+31)\equiv 0 \enskip (\text{mod }43) )
.
est un inverse de 
.
)
.
par =\dfrac{e^x}{1+e^{2x}})
.
)
sa courbe représentative dans un repère orthonormé )
.
=0)
. Interpréter .
=\dfrac{(1-e^{2x})e^{x}}{(1+e^{2x})^2} \text{ , pour tout réel }x)
.
la fonction définie sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
par =\displaystyle\int_{0}^{\ln x} f(t)\text{ d}t)
.
)
pour tout 
.
=\tan x)
est une bijection de ![\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[)
sur 
la fonction réciproque de \text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g^{-1}(x))
.
'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \text{ , pour tout }x>0)
.
=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4} \text{ , pour tout } x>0)
.
. On désigne par )
l'aire de la partie du plan limitée par la courbe 
.
=2F(e^{\lambda}))
.
)
.
, on pose  \text{ d}t)
.
\leq \dfrac{\pi}{4})
.
.
}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t)
.
-\dfrac{\pi}{4})
.
 \text{ et } (OB) )
sont sécantes en }\text{ et }S_{(OB)})
respectivement d'axe  \text{ et }(OB))
noté ![2\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv 2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\enskip [2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv 2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\enskip [2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip [2\pi])
.
 })
![\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\equiv\pi\enskip[2\pi]&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left[\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\right]\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}[2\pi]\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\equiv\pi\enskip[2\pi]&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left[\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\right]\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}[2\pi]\end{matrix})
![\left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\enskip\text{ , donc }\enskip\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\enskip\text{ , donc }\enskip\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i))
.
est donc isocèle en ![E\enskip:\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E\enskip:\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi])
)
 \black\text{ et }\blue (ii))
: ![\begin{cases} OE=EI\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} OE=EI\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases})
=I})
)
, d'où =F)
=h\circ R(E)=h(R(E))=h(I)=F)
=F})
)
avec 
et de la rotation )
, alors :
est équilatéral , alors la médiatrice )
du segment ![[EI]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[EI])
est aussi la bissectrice de l'angle )
.
![\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \dfrac{1}{2}\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \dfrac{1}{2}\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi])
![\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi] \equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi] \equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i))
.
est un triangle rectangle en =\dfrac{OB}{OA}\iff \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{OB}{OA}\iff \dfrac{1}{2}=\dfrac{OB}{OA}\iff OA=2OB\enskip\blue (ii))
![\begin{cases} OA=2OB\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} OA=2OB\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases})
=A})
![\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)&\equiv&\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv &\dfrac{\pi}{2}+\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{6} \enskip[2\pi]\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)&\equiv&\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv &\dfrac{\pi}{2}+\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{6} \enskip[2\pi]\end{matrix})
![\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv -\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]\enskip\enskip\enskip\text{ (d'après }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv -\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]\enskip\enskip\enskip\text{ (d'après })
3-a) )
![\left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi])
.
est isocèle en 
![\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OB}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3} \enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]\end{matrix}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OB}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3} \enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]\end{matrix}.)
\perp (IF) )
, d'autre part , on sait que\perp (EA))
//(IF)\enskip \magenta (i) )
.
. Donc : 
 )
\black \text{ et }\magenta (ii)\black\text{ , }AEIF \text{ est un parallélogramme }\enskip \blue (a))
d'après 1-b) . Alors )
 \black\text{ et }\blue (b))
:
.
, on en tire que 
.
est un triange rectangle en =\dfrac{BE}{EO} \iff \dfrac{1}{k}=\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\iff k=\dfrac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)})
.
est donc isocèle en ![\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]})
![\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi])
=A \text{ , }g(E)=F\text{ et }g(F)=K)
, alors on a ![\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip -\left(\widehat{\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip -\left(\widehat{\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi])
![\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv&\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EA}}\right)}_{0}+\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB}}\right)}_{\pi}\enskip[2\pi] &\left(\text{ car }\overrightarrow{EA}\text{ et }\overrightarrow{EB} \text{ sont colinéaires de sens contraires } \right) \\&\equiv& \pi\enskip[2\pi]&\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv&\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EA}}\right)}_{0}+\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB}}\right)}_{\pi}\enskip[2\pi] &\left(\text{ car }\overrightarrow{EA}\text{ et }\overrightarrow{EB} \text{ sont colinéaires de sens contraires } \right) \\&\equiv& \pi\enskip[2\pi]&\end{matrix})
![\boxed{ \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi] })
, d'où :
![\boxed{F\in[EK]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{F\in[EK]})
=F \text{ et }g(F)=K)
, alors =K)
.
.
)
.
![FK=2FE\text{ (toujours parce que }g(E)=F \text{ et }g(F)=K\text{) }\enskip\text{ , et }\enskip F\in[EK]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?FK=2FE\text{ (toujours parce que }g(E)=F \text{ et }g(F)=K\text{) }\enskip\text{ , et }\enskip F\in[EK])
)
.
\black \text{ et }\magenta (b)\black \text{ : }\enskip\enskip \overrightarrow{E\Omega}=-\overrightarrow{EF})
.
)
, en particulier privée du segment ![\boxed{\text{Le point }\Omega \text{ appartient à la droite }(EF) \text{ privée du segment }[EF] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{Le point }\Omega \text{ appartient à la droite }(EF) \text{ privée du segment }[EF] })
=F)
et )
qui est nul puisque =[\Omega E))
, et on conclut que :
})
, alors ![[\Omega F]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\Omega F])
.
![[IA]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[IA])
, donc }\circ S_{(EF)})
.
=h_{(\Omega , 2)}\circ S_{(EF)}(I)=h_{(\Omega,2)}(A))
, donc \in (\Omega A))
.
=\Omega \text{ , alors }g(\Omega)\in (\Omega A))
)=(\Omega A) })
\text{ et }\Omega)
sont alignés et la réciproque d'une similitude indirecte est elle aussi une similitude indirecte .
=B\text{ , }g^{-1}(g(I))=I\text{ et }g^{-1}(\Omega)=\Omega)
sont aussi alignés par conservation de l'alignement par la similitude 
=\dfrac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\iff \boxed{P(A)=\dfrac{1}{10}})
est l'évènement : " N'avoir aucune boule numérotée 0 " , alors =\dfrac{{3\choose 2}}{{5\choose 2}}=\dfrac{3}{10})
=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{3}{10} \iff \boxed{P(B)=\dfrac{7}{10}})
, ou 
, ou  \enskip \enskip/\enskip\enskip -1=(-1)\times 1 \enskip\enskip/\enskip \enskip 2=2\times 1 )
=P(X=-1)=P(X=2)=\dfrac{1}{10})
.
=P(B)=\dfrac{7}{10})
 & \dfrac{1}{10} &\dfrac{1}{10}&\dfrac{7}{10}&\dfrac{1}{10}\\ & & &&\\ \hline \end{array})
&=&\displaystyle \sum_{i} x_i\enskip P(X=x_i)\\&=& -2\times\dfrac{1}{10}-1\times\dfrac{1}{10}+0\times\dfrac{7}{10}+2\times \dfrac{1}{10}\\ &=& -\dfrac{1}{10}\\&=&-0,1\end{matrix})
&=&\displaystyle E(X^2)-E(X)^2 \\&=&(-2)^2\times \dfrac{1}{10}+(-1)^2\times\dfrac{1}{10}+2^2\times\dfrac{1}{10}-\left(-\dfrac{1}{10}\right)^2\\&=& 0,89\end{matrix})
=-0,1\enskip\text{ , }\enskip V(X)=0,89 })
=\dfrac{7}{10}\right))
, alors :
={n\choose 1} \times (P(B))^{1}\times \left(P(\overline{B})\right)^{n-1} \iff \boxed{P(Y=1)=\dfrac{7n}{10}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^{n-1}})
=\dfrac{7n}{10})
\geq 5 \iff \dfrac{7n}{10}\geq 5 \iff n\geq \dfrac{50}{7} \approx 7,14)
![x\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\equiv 1[p])
, alors ![x^3\equiv 1^3[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^3\equiv 1^3[p])
, d'où ![x^3\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^3\equiv 1[p])
})
.
![\boxed{x^{p-1}\equiv 1[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{x^{p-1}\equiv 1[p]})
![p\equiv 2[3] \text{ et } p>3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p\equiv 2[3] \text{ et } p>3)
, alors il existe 
.
![x^{p-1}\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{p-1}\equiv 1[p])
, alors ![x^{3m+1}\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{3m+1}\equiv 1[p])
.
![(x^3)^{m}x\equiv 1[p] \enskip\blue (i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x^3)^{m}x\equiv 1[p] \enskip\blue (i))
![(x^3)^{m}\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x^3)^{m}\equiv 1[p])
.
![(x^3)^{m}x\equiv x[p] \enskip\blue (ii)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x^3)^{m}x\equiv x[p] \enskip\blue (ii))
.
 \black\text{ et }\blue (ii) \black \text{ : })
![\boxed{x\equiv 1[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{x\equiv 1[p]})
![x \text{ est solution de }(E_p) \iff x\equiv 1[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \text{ est solution de }(E_p) \iff x\equiv 1[p])
.
![x^3\equiv 1[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^3\equiv 1[43])
, alors 
.
(x^2+x+1) \text{ et }43 \text{ est premier })
 \text{ ou } 43/(x^2+x+1))
![\boxed{x\equiv 1[43]\enskip\text{ ou }\enskip x^2+x+1\equiv 0[43]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{x\equiv 1[43]\enskip\text{ ou }\enskip x^2+x+1\equiv 0[43]})
^2+3=4(x^2+x+1) \text{ :})
^2+3&=&(2x)^2+2\times2x+1+3\\&=& 4x^2+4x+4\\&=& \boxed{4(x^2+x+1)}\end{matrix})
![30^2\equiv-3\enskip[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30^2\equiv-3\enskip[43])
![30^2\equiv 40[43]\iff 30^2\equiv (40-43)[43] \iff \boxed{30^2\equiv -3[43]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30^2\equiv 40[43]\iff 30^2\equiv (40-43)[43] \iff \boxed{30^2\equiv -3[43]})
![\begin{matrix} x^2+x+1\equiv 0[43]&\iff& 4(x^2+x+1)\equiv 0[43] \\\\&\iff& (2x+1)^2+3\equiv 0[43]\\\\&\iff& \boxed{(2x+1)^2\equiv -3[43]}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} x^2+x+1\equiv 0[43]&\iff& 4(x^2+x+1)\equiv 0[43] \\\\&\iff& (2x+1)^2+3\equiv 0[43]\\\\&\iff& \boxed{(2x+1)^2\equiv -3[43]}\end{matrix} )
![x^2+x+1\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^2+x+1\equiv 0[43])
, alors ![(2x+1)^2\equiv -3[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(2x+1)^2\equiv -3[43])
.
![30^2\equiv -3[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?30^2\equiv -3[43])
, alors ![(2x+1)^2\equiv 30^2[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(2x+1)^2\equiv 30^2[43] )
![(2x+1)^2-30^2\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(2x+1)^2-30^2\equiv 0[43])
, et donc ![(2x-29)(2x+31)\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(2x-29)(2x+31)\equiv 0[43])
(2x+31))
, de plus \enskip\text{ et }\enskip 43/(2x+31))
.
![(2x-29)\equiv 0[43]\enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(2x-29)\equiv 0[43]\enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0[43])
.
![\boxed{\left(x^2+x+1\equiv 0 \enskip [43]\right) \Longrightarrow \left[\left((2x-29)\equiv 0\enskip[43] \right)\enskip\text{ ou }\enskip \left( (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\right)\right] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\left(x^2+x+1\equiv 0 \enskip [43]\right) \Longrightarrow \left[\left((2x-29)\equiv 0\enskip[43] \right)\enskip\text{ ou }\enskip \left( (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\right)\right] })
, alors ![22\times 2 \equiv 1[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?22\times 2 \equiv 1[43])
.
![\begin{matrix}(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]&\iff&x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x^2+x+1 \equiv 0 \enskip [43]\\\\&\blue \Longrightarrow& x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip (2x-29)\equiv 0\enskip[43] \enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]&\iff&x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x^2+x+1 \equiv 0 \enskip [43]\\\\&\blue \Longrightarrow& x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip (2x-29)\equiv 0\enskip[43] \enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\end{matrix})
![\text{ Si }2x-29\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }2x-29\equiv 0[43])
![2x\equiv 29[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2x\equiv 29[43])
.
![22\times 2x\equiv 22\times 29 [43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?22\times 2x\equiv 22\times 29 [43] )
.
![22\times 2x\equiv x[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?22\times 2x\equiv x[43])
.
![x\equiv 22\times 29 [43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 638[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\equiv 22\times 29 [43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 638[43])
.
, Ainsi ![\boxed{x\equiv 36[43]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{x\equiv 36[43]})
![\text{ Si }2x+31\equiv 0[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si }2x+31\equiv 0[43])
![2x\equiv -31[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2x\equiv -31[43])
![2x\equiv (-43+12) [43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2x\equiv (-43+12) [43] )
.
![2x\equiv 12 [43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2x\equiv 12 [43] )
.
![22\times 2x \equiv 22\times 12 [43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?22\times 2x \equiv 22\times 12 [43])
![22\times 2x \equiv x[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?22\times 2x \equiv x[43])
, alors ![x\equiv 22\times 12[43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 264[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\equiv 22\times 12[43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 264[43])
.
, Ainsi ![\boxed{x\equiv 6[43]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{x\equiv 6[43]})
![\boxed{(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]\blue\Longrightarrow\black \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)}\enskip\enskip\enskip\magenta (i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]\blue\Longrightarrow\black \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)}\enskip\enskip\enskip\magenta (i))
Réciproquement :
![\text{ Si : }\enskip x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{ Si : }\enskip x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43])
![x^3\equiv 1[43] \text{ ou } x^3\equiv 36^3[43]\text{ ou }x^3\equiv 6^3[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^3\equiv 1[43] \text{ ou } x^3\equiv 36^3[43]\text{ ou }x^3\equiv 6^3[43])
![36^3\equiv (-7)^3[43]\enskip\equiv\enskip -343[43]\enskip\equiv\enskip 1[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?36^3\equiv (-7)^3[43]\enskip\equiv\enskip -343[43]\enskip\equiv\enskip 1[43])
![6^3\equiv 216[43]\enskip\equiv\enskip 1[43]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?6^3\equiv 216[43]\enskip\equiv\enskip 1[43])
![\boxed{\left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)\blue\Longrightarrow\black \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]}\enskip\enskip\enskip\magenta (ii)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)\blue\Longrightarrow\black \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]}\enskip\enskip\enskip\magenta (ii))
\black \text{ et }\magenta (ii)\black\text{ : })
![(E_{43})\text{ : } x^3\equiv 1 \enskip[43]\Longleftrightarrow \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_{43})\text{ : } x^3\equiv 1 \enskip[43]\Longleftrightarrow \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right))
}=\left\lbrace 1+43k\text{ , }36+43k\text{ , }6+43k\enskip /\enskip k\in\Z\right\rbrace })
&=&\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}&=&\dfrac{e^{2x}e^{-x}}{e^{2x}(1+e^{-2x})}\\&=&\dfrac{e^x}{1+e^{-2x}}&=&f(x)\end{matrix})
=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}=\dfrac{e^x}{e^{x}\left(\dfrac{1}{e^x}+e^{x}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{e^x}+e^{x}})
=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{1}{e^x}+e^{x}}=0)
=0})
 \text{ au voisinage de }+\infty })
&=&\left(\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\right)'&=&\dfrac{e^x(1+e^{2x})-2e^{2x}e^x }{(1+e^{2x})^2}\\&=&\dfrac{e^x+e^{3x}-2e^{3x}}{(1+e^{2x})^2}&=&\dfrac{e^x-e^{3x}}{(1+e^{2x})^2}\\&=&\dfrac{e^x(1-e^{2x})}{(1+e^{2x})^2}\end{matrix})
=\dfrac{(1-e^{2x})e^{x}}{(1+e^{2x})^2} })
)
est celui de 
est strictement croissante sur 
=\dfrac{e^x}{1+e^{0}}=\dfrac{1}{2})
.
=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)\Longrightarrow \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=0)
 & &+ & \barre{0} & - & \\ \hline &&&&&\\ & & &\dfrac{1}{2}& & \\ f & &\nearrow &&\searrow& \\ & 0 & & && 0 \\&&&&& \\ \hline \end{array})
=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\text{ d}t)
.
=h(\ln x) )
, ou encore )
définie sur ![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
.
est dérivable sur 
est dérivable sur ![\boxed{F\text{ est dérivable sur }]0;+ \infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{F\text{ est dérivable sur }]0;+ \infty[})
![]0;+\infty[ \text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? ]0;+\infty[ \text{ : })
&=& (h\circ \ln )'(x)&=& (\ln(x))'h'(\ln x) \\&=& \dfrac{1}{x} f(\ln x) &=& \dfrac{1}{x} \dfrac{e^{\ln x}}{1+e^{2\ln x}}\\&=& \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{1+x^2} &=& \dfrac{1}{x^2+1}\end{matrix})
![\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}})
est continue et strictement croissante sur ![\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ )
.
![g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right) )
.
=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\tan x = 0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\tan x = +\infty)
![\boxed{h \text{ réalise donc une bijection de }\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ sur }]0;+\infty[ }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{h \text{ réalise donc une bijection de }\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ sur }]0;+\infty[ })
=1 \text{ , alors }\boxed{g^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}})
.
=+\infty \text{ , d'où } \boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g^{-1}(x)=\dfrac{\pi}{2}})
![\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[)
.
![x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\text{ : } g'(x)=(\tan x)'=1+\tan^2x\neq 0 \enskip\enskip\text{ car }\enskip\enskip 1+\tan^2x\geq](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\text{ : } g'(x)=(\tan x)'=1+\tan^2x\neq 0 \enskip\enskip\text{ car }\enskip\enskip 1+\tan^2x\geq )
1
![g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)=]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)=]0;+\infty[ )
![\boxed{g^{-1}\text{ est dérivable sur }]0;+\infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{g^{-1}\text{ est dérivable sur }]0;+\infty[})
![x\in]0;+\infty[ \text{ , on a : }\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]0;+\infty[ \text{ , on a : }\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)})
'(x)&=&\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}&=&\dfrac{1}{\tan'\left(\tan^{-1}(x)\right)}\\&=&\dfrac{1}{1+\tan^2(\tan^{-1}(x))}&=&\dfrac{1}{1+(\tan(\tan^{-1}(x))^2)}\\&=&\dfrac{1}{1+x^2}\end{matrix})
'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \text{ , pour tout }x>0})
=\dfrac{1}{1+x^2} \iff F'(x)=(g^{-1})'(x))
=g^{-1}(x)+C \text{ , avec }C\in\R \text{ une constante réelle })
:
=\displaystyle\int_{0}^{\ln 1} f(t)\text{ d}t =\displaystyle\int_{0}^{0} f(t)\text{ d}t=0)
=\dfrac{\pi}{4} )
=g^{-1}(1)+C \iff C+\dfrac{\pi}{4}=0\iff C=-\dfrac{\pi}{4} )
![\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F(x)=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F(x)=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}})
=\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} \left|f(t)\right|\text{ d}t)
\geq 0)
, donc :
&=&\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} \left|f(t)\right|\text{ d}t\\&=&\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} f(t)\text{ d}t\\&=& \displaystyle 2\int_{0}^{\ln\left(e^{\lambda}\right)} f(t)\text{ d}t& \text{ puisque }f\text{ est paire }\\&=&2F(e^{\lambda})\end{matrix})
=2F(e^{\lambda}) })
=\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\enskip\text{ alors }\enskip \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}F(e^{\lambda})=\dfrac{\pi}{4} )
=2\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}F(e^{\lambda})\iff\boxed{ \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=\dfrac{\pi}{2}})
![x>0\text{ , }g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x>0\text{ , }g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[)
, alors ![g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[)
<\dfrac{\pi}{2})
, on en tire que -\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{4})
<\dfrac{\pi}{4}\enskip\magenta (i))
=\displaystyle\int_{0}^{\ln e^{t}} f(t)\text{ d}t =\displaystyle\int_{0}^{t} f(t)\text{ d}t)
, et puisque \geq 0)
\geq 0\enskip\magenta (ii) )
 \black\text{ et }\magenta (ii))
:
\leq \dfrac{\pi}{4}})
\leq \dfrac{\pi}{4} )
\leq \dfrac{\pi}{4} t^n \enskip \text{ , }n\in\N^{*})
\text{ d}t\leq \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t\enskip \text{ , }n\in\N^{*})
:
![\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \displaystyle\int_{0}^{1} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \left[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1}=\dfrac{\pi}{4(n+1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \displaystyle\int_{0}^{1} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \left[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1}=\dfrac{\pi}{4(n+1)})
}\text{ , avec }n\in\N^{*})
}=0)
 \text{ d}t)
.
=F(e^t) \\v'(x)=t^n \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=(F\circ e)'(t)=(e^t)' F'(e^t)=e^t\dfrac{1}{e^{2t}+1}=f(t)\\v(x)=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} \end{cases})
![\left(\text{ En effet , d'après la partie B) }\enskip \enskip, \enskip\enskip\forall x\in]0;+\infty[\text{ , }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\text{ En effet , d'après la partie B) }\enskip \enskip, \enskip\enskip\forall x\in]0;+\infty[\text{ , }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}}\right))
![\begin{matrix} I_n&=&\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t\\&=&\displaystyle\left[F(e^{t})\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1} -\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t \\&=& \dfrac{F(e)}{n+1}-\displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t \end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} I_n&=&\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t\\&=&\displaystyle\left[F(e^{t})\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1} -\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t \\&=& \dfrac{F(e)}{n+1}-\displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t \end{matrix})
}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t })
\leq\dfrac{1}{2})
![\forall t\in[0;1]\text{ , } 0\leq t^{n+1}f(t)\leq\dfrac{1}{2}t^{n+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall t\in[0;1]\text{ , } 0\leq t^{n+1}f(t)\leq\dfrac{1}{2}t^{n+1})
, et donc \text{ d}t\leq\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{2}t^{n+1}\text{ d}t)
![\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}\text{ d}t=\left[\dfrac{t^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}\text{ d}t=\left[\dfrac{t^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+2})
\text{ d}t\leq\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)})
, ou encore (n+2)}\leq - \displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t\leq 0)
}{n+1} -\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}\leq I_n\leq \dfrac{F(e)}{n+1} )
, et en multipliant par l'entier \dfrac{n}{n+1} -\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}\leq nI_n\leq F(e)\dfrac{n}{n+1} )
\dfrac{n}{n+1}=F(e))
(n+2)}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2n}=0\enskip\text{ , alors }\enskip \displaystyle\lim_{n\to+\infty}F(e)\dfrac{n}{n+1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}=F(e))
)
=g^{-1}(e)-\dfrac{\pi}{4} )
-\dfrac{\pi}{4}})
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