Fiche de mathématiques
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Bac Tunisie SM 2022 - Contrôle

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Durée : 4 heures
Coefficient : 4

5,5 points

exercice 1

Le plan est orienté . Dans la figure de l'annexe jointe .

Le triangle OEB est rectangle en B et tel que \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi] .

Le triangle OEF est rectangle en E et tel que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip [2\pi] .

Le point I est le milieu du segment [OF] .

1. On pose R=S_{(OE)}\circ S_{(OB)} .

a) Justifier que R est la rotation de centre O et d'angle \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) .

b) Montrer que R(E)=I .

2. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport 2 . On pose f=h\circ R .

a) Montrer que f(E)=F .

b) Montrer que f est une similitude directe dont on déterminera les éléments caractéristiques .

3. La médiatrice du segment [IE] coupe la droite (BE) en un point A .

a) Montrer que f(B)=A .

b) Vérifier que EA=EO . Montrer alors que le quadrilatère AEIF est un losange .

4. Soit g la similitude indirecte telle que g(B)=A \text{ et }g(E)=F . On désigne par \Omega le centre de g et on pose K=g(F) .

a) Montrer que le rapport de g est égal à 2 .

b) Justifier que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi] .

c) En déduire que \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi] puis que F\in [EK] .

d) Montrer que le point \Omega appartient à la droite (EF) privée du segment [EF] .

e) En déduire l'axe de g .

f) Construire le point \Omega .

5.a) Montrer que g((\Omega I))=(\Omega A) .

b) Montrer que les points \Omega , B \text{ et }I sont alignés .

3,5 points

exercice 2

On dispose d'une urne contenant cinq boules portant les numéros -1,0,0,1,2 .

Toutes les boules sont indiscernables au toucher .

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hazard deux boules de l'urne .

1. On considère les évènements :
\begin{matrix} &A\enskip:\enskip &\text{ ''Les deux boules tirées sont de même numéro'' }\\ &B\enskip : \enskip&\text{ ''Avoir au moins une boule numérotée 0'' } \end{matrix}


a) Calculer la probabilité de l'évènement A .

b) Montrer que la probabilité de l'évènement B est égale à \dfrac{7}{10} .

2. On désigne par X la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées .

a) Déterminer la loi de probabilité de X .

b) Calculer l'espérance et la variance de X .

3. Une expérience consiste à répéter l'épreuve précédente n fois de suite (n\geq 2) en remettant à chaque fois les boules tirées dans l'urne . On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée 0 .

a) Déterminer P(Y=1) .

b) Déterminer la plus petite valeur de n pour que le nombre moyen de fois où l'on obtient au moins une boule numérotée 0 soit supérieur ou égal à 5 .

4 points

exercice 3

Partie A

Soit p un nombre premier te lque p>3 et p\equiv 2 \enskip (\text{mod }3) .

On considère dans \Z l'équation (E_p)\enskip:\enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

1. Montrer que si x\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) alors x est une solution de (E_p) .

2. Soit x une solution de (E_p) .

a) Montrer que x^{p-1}\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

b) En déduire que x\equiv 1 \enskip (\text{mod }p) .

3. Résoudre dans \Z l'équation (E_p) .

Partie B

Soit dans \Z l'équation (E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) .

1. Montrer que x^3\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) si et seulement si x\equiv 1 \enskip (\text{mod }43) \text{ ou }x^2+x+1 \equiv 0 \enskip (\text{mod }43) .

(On pourra remarquer que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) )

2.a) Vérifier que (2x+1)^2+3=4(x^2+x+1) et que 30^2\equiv -3 \enskip (\text{mod }43) .

b) Montrer que x^2+x+1\equiv 0 \enskip (\text{mod }43) si et seulement si (2x+1)^2 \equiv -3 \enskip (\text{mod }43) .

c) En déduire que : x^2+x+1\equiv 0 \enskip (\text{mod }43) \Rightarrow (2x-29)\equiv 0\enskip (\text{mod }43)\text{ ou } (2x+31)\equiv 0 \enskip (\text{mod }43)  .

3.a) Vérifier que 22 est un inverse de 2 modulo 43 .

b) Résoudre dans \Z l'équation (E_{43}) .

7 points

exercice 4

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} .

On note (\zeta) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .

Partie A

1. Montrer que f est paire .

2. Montrer que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0 . Interpréter .

3.a)Montrer que f'(x)=\dfrac{(1-e^{2x})e^{x}}{(1+e^{2x})^2} \text{ , pour tout réel }x .

b) Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer (\zeta) .

Partie B

Soit F la fonction définie sur ]0,+\infty[ par F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\ln x} f(t)\text{ d}t .

1. Montrer que F est dérivable sur ]0,+\infty[ et calculer F'(x) pour tout x >0 .

2.a) Montrer que la fonction g définie par g(x)=\tan x est une bijection de \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[ sur ]0,+\infty[ .

On note g^{-1} la fonction réciproque de g .

b) Déterminer g^{-1}(1)\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g^{-1}(x) .

c) Montrer que g^{-1} est dérivable sur ]0,+\infty[ et que \left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \text{ , pour tout }x>0 .

3. Montrer que F(x)=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4} \text{ , pour tout } x>0 .

4. Soit \lambda >0 . On désigne par A(\lambda) l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (\zeta) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=-\lambda \text{ et }x=\lambda .

a) Montrer que A(\lambda)=2F(e^{\lambda}) .

b) Déterminer \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} A(\lambda) .

Partie C

Pour tout n\in\N^{*} , on pose I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t .

1.a) Montrer que pour tout réel t\geq 0\text{ , }0\leq F(e^{t})\leq \dfrac{\pi}{4} .

b) En déduire \displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n .

2.a) A l'aide d'une intégration par parties , montrer que I_n=\dfrac{F(e)}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t .

b) En déduire que \displaystyle\lim_{n\to+\infty} nI_n=g^{-1}(e)-\dfrac{\pi}{4} .

Annexe à rendre avec la copie



Bac Tunisie 2022 Contrôle SM (section mathématiques)   : image 1








exercice 1

1-a) Puisque les deux droites (OE) \text{ et } (OB)  sont sécantes en O .

Alors le composée des deux symétries orthogonales S_{(OE)}\text{ et }S_{(OB)} respectivement d'axe (OE) \text{ et }(OB) noté R , est la rotation de centre O (le point d'intersection de ces deux droites) et d'angle 2\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv 2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\enskip [2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip [2\pi] .

\boxed{R\text{ est la rotation de centre }O\text{ est d'angle }-\dfrac{\pi}{3} \text{ : }R\left(O;-\dfrac{\pi}{3}\right) }


b) Puisque le triangle OEF est rectangle en E , alors :

\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\equiv\pi\enskip[2\pi]&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left[\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EO},\overrightarrow{EF}}\right)\right]\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\pi-\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)\enskip[2\pi]\\&\iff& \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{3}[2\pi]\end{matrix}

Or , I est le milieu de [OF] , alors \left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\enskip\text{ , donc }\enskip\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i)

D'autre part , I est le milieu de l'hypoténuse du triangle rectangle OEF , alors d'après le théorème du cercle circonscrit : IE=IO=IF .

Le triangle EIO est donc isocèle en I , ayant pour mesure angle en E\enskip:\enskip\left(\widehat{\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv \dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]

Donc EIO est un triangle équilatéral , d'où OE=EI\enskip\blue (ii)

De \blue (i) \black\text{ et }\blue (ii) : \begin{cases} OE=EI\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases}

D'où :
\boxed{R(E)=I}


2-a) h est l'homothétie de centre O et de rapport 2\enskip : \enskip h(O,2)

Puisque I est le mileu de [OF] , alors \overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OI} , d'où h(I)=F

On a donc : f(E)=h\circ R(E)=h(R(E))=h(I)=F

\boxed{f(E)=F}


b) Puisque f est la composée de l'homothétie h(O,2) avec 2>0 et de la rotation R\left(O,-\dfrac{\pi}{3}\right) , alors :

\boxed{f\text{ est une similitude directe de centre }O\text{ , de rapport }2 \text{ et d'angle }-\dfrac{\pi}{3}}


3-a) Le triangle OEI est équilatéral , alors la médiatrice (OA) du segment [EI] est aussi la bissectrice de l'angle \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right) .

Donc : \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \dfrac{1}{2}\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OI}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]

D'où : \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv -\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi] \equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\blue (i) .

OBA est un triangle rectangle en B , alors :

\cos\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)=\dfrac{OB}{OA}\iff \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{OB}{OA}\iff \dfrac{1}{2}=\dfrac{OB}{OA}\iff OA=2OB\enskip\blue (ii)

De \blue (i) \black\text{ et }\blue (ii) : \begin{cases} OA=2OB\\ \left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\equiv -\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\end{cases}

On en déduit que :
\boxed{f(B)=A}


b) OBA est un triangle rectangle en B , alors :

\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)&\equiv&\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv &\dfrac{\pi}{2}+\left(\widehat{\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\\&\equiv& \dfrac{\pi}{6} \enskip[2\pi]\end{matrix}

De plus , \left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\equiv -\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OA}}\right)\enskip[2\pi]\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]\enskip\enskip\enskip\text{ (d'après } 3-a) )

Donc : \left(\widehat{\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AO}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi] .

On en tire que le triangle OEA est isocèle en E , et par suite :

\boxed{EA=EO}


Montrons alors que le quadrilatère AEIF est un losange :

Puisque \begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OB}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}}\right)\enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3} \enskip[2\pi]&\equiv& \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]\end{matrix}.

Alors (OB)\perp (IF) , d'autre part , on sait que (OB)\perp (EA)

On en tire que (EA)//(IF)\enskip \magenta (i)

D'autre part, le triangle OEI est équilatéral , alors EO=OI .

De plus , I est le milieu de [OF] , alors OI=IF . Donc : EO=IF

Puis , on a montré que EA=EO , il s'ensuit alors que EA=IF \enskip \magenta (ii)

\text{ De }\magenta (i)\black \text{ et }\magenta (ii)\black\text{ , }AEIF \text{ est un parallélogramme }\enskip \blue (a)

Enfin , on a IE=IF d'après 1-b) . Alors EA=IE\enskip \blue (b)

De \blue (a) \black\text{ et }\blue (b) :
\boxed{AEIF \text{ est un losange }}


4-a) Puisque g(B)=A \text{ et }g(E)=F , alors le rapport de la similitude indirecte g est k=\dfrac{AF}{BE} .

De plus , on a EA=EO et AEIF est un losange , donc AF=EA , on en tire que AF=EO

Et donc , le rapport de g devient k=\dfrac{EO}{BE} .

Enfin , en sachant que OBE est un triange rectangle en B , alors :

\sin\left(\widehat{\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB}}\right)=\dfrac{BE}{EO} \iff \dfrac{1}{k}=\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\iff k=\dfrac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}

On conclut alors que :

\boxed{\text{Le rapport de la similitude indirecte }g\text{ est }2}


b) AEIF est un losange , donc EA=AF .

Le triangle EAF est donc isocèle en A , ce qui implique que :

\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]}


c) Appliquons la relation de Chasles : \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi]

On sait qu'une similitude indirecte change le sens des angles orientés , et g en est une .

Ainsi , puisque g(B)=A \text{ , }g(E)=F\text{ et }g(F)=K , alors on a \left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip\equiv\enskip -\left(\widehat{\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]\enskip\equiv\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi]

Et d'après la question précédente \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)\enskip[2\pi]

Donc :

\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FA}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FK}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv& \left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EB}}\right)\enskip[2\pi]\\&\equiv&\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EF}}\right)+\left(\widehat{\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EA}}\right)}_{0}+\underbrace{\left(\widehat{\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB}}\right)}_{\pi}\enskip[2\pi] &\left(\text{ car }\overrightarrow{EA}\text{ et }\overrightarrow{EB} \text{ sont colinéaires de sens contraires } \right) \\&\equiv& \pi\enskip[2\pi]&\end{matrix}

\boxed{ \left(\widehat{\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FK}}\right)\equiv \pi\enskip [2\pi] }


On en déduit directement que \overrightarrow{FE}\text{ et }\overrightarrow{FK} \text{ sont colinéaires de sens contraires } , d'où :

\boxed{F\in[EK]}


d) On a g(E)=F \text{ et }g(F)=K, alors g\circ g(E)=K .

Or , le composée de deux similitudes indirectes de même centre \Omega est de centre \Omega et de rapport k^2=4 .

D'où : \overrightarrow{\Omega K}=4\overrightarrow{\Omega E } \iff \overrightarrow{E\Omega}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EK}\iff \overrightarrow{EK}=-3\overrightarrow{E\Omega}\enskip\magenta (a) .

D'autre part , FK=2FE\text{ (toujours parce que }g(E)=F \text{ et }g(F)=K\text{) }\enskip\text{ , et }\enskip F\in[EK]

Alors \overrightarrow{FK}=-2\overrightarrow{FE}\iff \overrightarrow{EK}=3\overrightarrow{EF}\enskip\magenta (b) .

\text{De }\magenta (a)\black \text{ et }\magenta (b)\black \text{ : }\enskip\enskip \overrightarrow{E\Omega}=-\overrightarrow{EF}

On en déduit que \overrightarrow{E\Omega}\text{ et }\overrightarrow{EF} \text{ sont colinéaires de sens contraires } .

D'où , \Omega appartient à la droite (EF) privée de [EF) , en particulier privée du segment [EF] .

\boxed{\text{Le point }\Omega \text{ appartient à la droite }(EF) \text{ privée du segment }[EF] }


e) Puisque g(E)=F et \Omega est le centre de g , alors l'axe de g est la droite qui porte la bissectrice de l'angle \left(\widehat{\overrightarrow{\Omega F},\overrightarrow{\Omega E}}\right) qui est nul puisque \Omega appartient à (EF) privée de [EF] .

Cette bissectrice est donc [\Omega F)=[\Omega E) , et on conclut que :

\boxed{\text{L'axe de }g\text{ est la droite }(EF)}


f) D'après ce qui précède , on a \overrightarrow{E\Omega}=-\overrightarrow{EF} , alors E est le milieu du segment [\Omega F] .
Voir la figure à la fin .

5-a) AEIF est un losange , alors la droite (EF) est la médiatrce de [IA] , donc A est le symétrique de I par rapport à (EF) .

D'autre part , le rapport de la similitude g est 2 et son axe est la droite (EF) , alors g=h_{\Omega , 2)}\circ S_{(EF)} .

g(I)=h_{(\Omega , 2)}\circ S_{(EF)}(I)=h_{(\Omega,2)}(A) , donc g(I)\in (\Omega A) .

g(\Omega)=\Omega \text{ , alors }g(\Omega)\in (\Omega A)

On en déduit que :

\boxed{g((\Omega I))=(\Omega A) }


b) Les points A,g(I)\text{ et }\Omega sont alignés et la réciproque d'une similitude indirecte est elle aussi une similitude indirecte .

Alors g^{-1} est une similitude indirecte et donc les points g^{-1}(A)=B\text{ , }g^{-1}(g(I))=I\text{ et }g^{-1}(\Omega)=\Omega sont aussi alignés par conservation de l'alignement par la similitude g^{-1} .
Ou :
\boxed{\Omega , B \text{ et }I \text{ sont alignés}}


Figure :
Il n'est demandé de construire que le point \Omega , les autres points de l'exercice ne sont construits qu'à titre illustratif .

Bac Tunisie 2022 Contrôle SM (section mathématiques)   : image 4


exercice 2

L'urne en question contient cinq boules portant les numéros -1,0,0,1,2

Bac Tunisie 2022 Contrôle SM (section mathématiques)   : image 3


1-a) La seule possibilité est de tirer les deux boules portant le numéro "0" , d'où :

P(A)=\dfrac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\iff \boxed{P(A)=\dfrac{1}{10}}

b) Puisque \overline{B} est l'évènement : " N'avoir aucune boule numérotée 0 " , alors P(\overline{B})=\dfrac{{3\choose 2}}{{5\choose 2}}=\dfrac{3}{10}

On en tire que P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{3}{10} \iff \boxed{P(B)=\dfrac{7}{10}}

2-a) X étant la variable aléatoire égale au produit des numéros des boules tirées , alors l'ensemble des valeurs que X peut prendre est \lbrace -2;-1;0;2\rbrace

Il y a qu'une possibilité d'avoir -2 , ou -1 , ou 2 , en effet :

-2=2\times (-1) \enskip \enskip/\enskip\enskip -1=(-1)\times 1 \enskip\enskip/\enskip \enskip 2=2\times 1

Donc P(X=-2)=P(X=-1)=P(X=2)=\dfrac{1}{10} .

Ensuite , pour avoir 0 comme produit , il faut qu'au moins une boule tirée soit numérotée "0" , alors P(X=0)=P(B)=\dfrac{7}{10}

Récapitulatif :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&-2&-1&0&2\\\hline   &&  &&\\   P(X=x_i) & \dfrac{1}{10} &\dfrac{1}{10}&\dfrac{7}{10}&\dfrac{1}{10}\\   & & &&\\ \hline   \end{array}


b) L'espérance de X :

\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_i\enskip P(X=x_i)\\&=& -2\times\dfrac{1}{10}-1\times\dfrac{1}{10}+0\times\dfrac{7}{10}+2\times \dfrac{1}{10}\\ &=& -\dfrac{1}{10}\\&=&-0,1\end{matrix}

La variance de X :

\begin{matrix} V(X)&=&\displaystyle E(X^2)-E(X)^2 \\&=&(-2)^2\times \dfrac{1}{10}+(-1)^2\times\dfrac{1}{10}+2^2\times\dfrac{1}{10}-\left(-\dfrac{1}{10}\right)^2\\&=& 0,89\end{matrix}

\boxed{E(X)=-0,1\enskip\text{ , }\enskip V(X)=0,89 }


3-a) La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres \left(n\text{ , }P(B)=\dfrac{7}{10}\right) , alors :

P(Y=1)={n\choose 1} \times (P(B))^{1}\times \left(P(\overline{B})\right)^{n-1} \iff \boxed{P(Y=1)=\dfrac{7n}{10}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^{n-1}}

b) On a E(Y)=\dfrac{7n}{10}

Alors E(Y)\geq 5 \iff \dfrac{7n}{10}\geq 5 \iff n\geq \dfrac{50}{7} \approx 7,14

D'où :
\boxed{n_{min}=8}


exercice 3

Partie A :

1) On a x\equiv 1[p] , alors x^3\equiv 1^3[p] , d'où x^3\equiv 1[p]

\boxed{x\text{ est solution de l'équation }(E_p)}


2-a) Puisque x^3\equiv 1[p] , alors le nombre premier p ne divise pas x^3 .

Donc p ne peut pas diviser x .

Alors , d'après le théorème de Fermat :
\boxed{x^{p-1}\equiv 1[p]}


b) On a p\equiv 2[3] \text{ et } p>3 , alors il existe m\in\N^{*}\text{ tel que }p=3m+2 .

Et on a x^{p-1}\equiv 1[p] , alors x^{3m+1}\equiv 1[p] .

Ce qui signifie que (x^3)^{m}x\equiv 1[p] \enskip\blue (i)

D'autre part , on a x^3\equiv 1[p] , alors (x^3)^{m}\equiv 1[p] .

Donc (x^3)^{m}x\equiv x[p] \enskip\blue (ii) .

De \blue (i) \black\text{ et }\blue (ii) \black \text{ : }
\boxed{x\equiv 1[p]}


3) D'après ce qui précède , on conclut que :
x \text{ est solution de }(E_p) \iff  x\equiv 1[p] .


Alors , l'ensemble des solutions dans \Z de l'équation (E_p) est :

\boxed{S=\lbrace 1+pk\text{ , }k\in\Z\rbrace }




Partie B :

1) Si x^3\equiv 1[43] , alors 43/x^3-1 .

Or x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \text{ et }43 \text{ est premier }

alors 43/(x-1) \text{ ou } 43/(x^2+x+1)

Cela signifie que :
\boxed{x\equiv 1[43]\enskip\text{ ou }\enskip x^2+x+1\equiv 0[43]}


2-a)

Montrons que (2x+1)^2+3=4(x^2+x+1) \text{ :}

\begin{matrix}(2x+1)^2+3&=&(2x)^2+2\times2x+1+3\\&=& 4x^2+4x+4\\&=& \boxed{4(x^2+x+1)}\end{matrix}

Montrons que 30^2\equiv-3\enskip[43]

On a 30^2=900=20\times 43+40

Alors 30^2\equiv 40[43]\iff 30^2\equiv (40-43)[43] \iff \boxed{30^2\equiv -3[43]}

b)

\begin{matrix} x^2+x+1\equiv 0[43]&\iff& 4(x^2+x+1)\equiv 0[43] \\\\&\iff& (2x+1)^2+3\equiv 0[43]\\\\&\iff& \boxed{(2x+1)^2\equiv -3[43]}\end{matrix}


c) Soit x^2+x+1\equiv 0[43] , alors (2x+1)^2\equiv -3[43] .

Et puisque 30^2\equiv -3[43] , alors (2x+1)^2\equiv 30^2[43]

D'où (2x+1)^2-30^2\equiv 0[43] , et donc (2x-29)(2x+31)\equiv 0[43]

On en tire que 43/(2x-29)(2x+31) , de plus 43 est un entier premier , alors 43/(2x-29)\enskip\text{ et }\enskip 43/(2x+31) .

On obtient (2x-29)\equiv 0[43]\enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0[43] .

On en déduit que :

\boxed{\left(x^2+x+1\equiv 0 \enskip [43]\right) \Longrightarrow \left[\left((2x-29)\equiv 0\enskip[43] \right)\enskip\text{ ou }\enskip \left( (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\right)\right]  }


3-a) Directement 22\times 2 = 1+43 , alors 22\times 2 \equiv 1[43] .

D'où :
\boxed{22\text{ est un inverse de }2\text{ modulo }43}


b)

\boxed{\Rightarrow}

On a , d'après ce qui précède :

\begin{matrix}(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]&\iff&x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x^2+x+1 \equiv 0 \enskip [43]\\\\&\blue \Longrightarrow& x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip (2x-29)\equiv 0\enskip[43] \enskip\text{ ou }\enskip (2x+31)\equiv 0 \enskip [43]\end{matrix}

\text{ Si }2x-29\equiv 0[43]

Donc 2x\equiv 29[43] .

D'où 22\times 2x\equiv 22\times 29 [43] .

Or , 22\times 2 \equiv 1[43] , alors 22\times 2x\equiv x[43] .

Donc x\equiv 22\times 29 [43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 638[43] .

Enfin , 638=36+14\times 43 , Ainsi \boxed{x\equiv 36[43]}

\text{ Si }2x+31\equiv 0[43]

Donc 2x\equiv -31[43]

D'où 2x\equiv (-43+12) [43] .

Ou encore 2x\equiv 12 [43] .

Donc 22\times 2x \equiv 22\times 12 [43]

Or , 22\times 2x \equiv x[43] , alors x\equiv 22\times 12[43]\enskip \Rightarrow \enskip x\equiv 264[43] .

Enfin , 264=6+6\times 43 , Ainsi \boxed{x\equiv 6[43]}

On conclut alors que : \boxed{(E_{43})\enskip : \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]\blue\Longrightarrow\black \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)}\enskip\enskip\enskip\magenta (i)


\boxed{\Leftarrow} Réciproquement :

\text{ Si : }\enskip x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]

Alors x^3\equiv 1[43] \text{ ou } x^3\equiv 36^3[43]\text{ ou }x^3\equiv 6^3[43]

Or :
36^3\equiv (-7)^3[43]\enskip\equiv\enskip -343[43]\enskip\equiv\enskip 1[43]
6^3\equiv 216[43]\enskip\equiv\enskip 1[43]

D'où :
\boxed{\left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)\blue\Longrightarrow\black \enskip x^3\equiv 1 \enskip[43]}\enskip\enskip\enskip\magenta (ii)


De \magenta (i)\black \text{ et }\magenta (ii)\black\text{ : }

(E_{43})\text{ : } x^3\equiv 1 \enskip[43]\Longleftrightarrow \left(x\equiv 1 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 6 \enskip [43]\enskip \text{ ou }\enskip x\equiv 36 \enskip [43]\right)

On en déduit l'ensemble des solutions dans \Z de l'équation (E_{43}) :

\boxed{S_{(E_{43})}=\left\lbrace 1+43k\text{ , }36+43k\text{ , }6+43k\enskip /\enskip k\in\Z\right\rbrace }


exercice 4

Partie A

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}} .

1) Parité de f :

On a , pour tout réel x \text{ , } -x\in \R

\forall x\in\R\text{ : }
\begin{matrix} f(-x)&=&\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}&=&\dfrac{e^{2x}e^{-x}}{e^{2x}(1+e^{-2x})}\\&=&\dfrac{e^x}{1+e^{-2x}}&=&f(x)\end{matrix}

Donc :
\boxed{ f\text{ est une fonction paire }}


2) On a pour tout réel x :

f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}=\dfrac{e^x}{e^{x}\left(\dfrac{1}{e^x}+e^{x}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{e^x}+e^{x}}

On sait que \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty \text{ , et donc } \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{e^x}=0

Donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{1}{e^x}+e^{x}}=0

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=0}


Interprétation graphique :

\boxed{\text{ L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe }(\zeta) \text{ au voisinage de }+\infty }


3-a) La fonction f est clairement dérivable comme quotient de fonction en exponentielle dérivables sur \R , donc :

\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left(\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\right)'&=&\dfrac{e^x(1+e^{2x})-2e^{2x}e^x }{(1+e^{2x})^2}\\&=&\dfrac{e^x+e^{3x}-2e^{3x}}{(1+e^{2x})^2}&=&\dfrac{e^x-e^{3x}}{(1+e^{2x})^2}\\&=&\dfrac{e^x(1-e^{2x})}{(1+e^{2x})^2}\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)=\dfrac{(1-e^{2x})e^{x}}{(1+e^{2x})^2} }


b) Puisque \forall x\in\R\text{ : }e^x>0 \text{ et } 1+e^{2x}>0

Alors le signe de f'(x) est celui de 1-e^{2x}

Résolvons l'équation : 1-e^{2x}=0\iff e^{2x}=1\iff 2x=\ln 1 \iff x=0

Et puisque la fonction \exp est strictement croissante sur \R , alors :

x>0\iff e^{2x}>1\iff 1-e^{2x}<0
x<0\iff e^{2x}>1\iff 1-e^{2x}>0

On calcule : f(0)=\dfrac{e^x}{1+e^{0}}=\dfrac{1}{2}.

Et enfin , puisque f est paire , la courbe (\zeta) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées , on en tire que :

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)\Longrightarrow \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=0

Tableau de variations de f :

\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x     & -\infty & &0&  &           +\infty \\ \hline f'(x) &        &+ & \barre{0} & - &      \\ \hline &&&&&\\      &    &  &\dfrac{1}{2}& &     \\  f &    &\nearrow &&\searrow&  \\    &  0 &  & &&  0 \\&&&&& \\  \hline \end{array}


4) La courbe (\zeta) :
Bac Tunisie 2022 Contrôle SM (section mathématiques)   : image 2



Partie B :

Soit F la fonction définie sur ]0,+\infty[ par F(x)=\displaystyle\int_{0}^{\ln x} f(t)\text{ d}t .

1) Posons h la fonction définie sur \R par h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\text{ d}t .

On a alors , pour tout réel strictement positif x \text{ : }F(x)=h(\ln x) , ou encore F=(h\circ\ln) définie sur ]0;+\infty[ .

De plus , on a :

0\in\R
f est une fonction continue sur \R .

Il s'ensuit que la fonction h est dérivable sur \R .

Enfin , la fonction \ln est dérivable sur ]0;+\infty[ .

Donc h\circ\ln est dérivable sur ]0;+\infty[ , ou encore :

\boxed{F\text{ est dérivable sur }]0;+ \infty[}


Pour tout x de  ]0;+\infty[ \text{ : }

\begin{matrix}F'(x)&=& (h\circ \ln )'(x)&=& (\ln(x))'h'(\ln x) \\&=& \dfrac{1}{x} f(\ln x) &=& \dfrac{1}{x} \dfrac{e^{\ln x}}{1+e^{2\ln x}}\\&=& \dfrac{1}{x}\dfrac{x}{1+x^2} &=& \dfrac{1}{x^2+1}\end{matrix}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}}



2-a) La fonction g=\tan est continue et strictement croissante sur \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ .

Elle réalise donc une bijection de \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ sur g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right) .

Et puisque :

\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\tan x = 0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}\tan x = +\infty

Alors :

\boxed{h \text{ réalise donc une bijection de }\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ \text{ sur }]0;+\infty[ }


b) On a g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1 \text{ , alors }\boxed{g^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}} .

Et \displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{-}}g(x)=+\infty \text{ , d'où } \boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g^{-1}(x)=\dfrac{\pi}{2}}

c) La fonction g est dérivable sur \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[ .

De plus , pour tout x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\text{ : } g'(x)=(\tan x)'=1+\tan^2x\neq 0 \enskip\enskip\text{ car }\enskip\enskip 1+\tan^2x\geq 1

Donc , g^{-1} est dérivable sur g\left(\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\right)=]0;+\infty[

\boxed{g^{-1}\text{ est dérivable sur }]0;+\infty[}


Donc , pour tout x\in]0;+\infty[ \text{ , on a : }\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}

\begin{matrix}\left(g^{-1}\right)'(x)&=&\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}&=&\dfrac{1}{\tan'\left(\tan^{-1}(x)\right)}\\&=&\dfrac{1}{1+\tan^2(\tan^{-1}(x))}&=&\dfrac{1}{1+(\tan(\tan^{-1}(x))^2)}\\&=&\dfrac{1}{1+x^2}\end{matrix}

\boxed{\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \text{ , pour tout }x>0}


3) On a , pour tout réel x strictement positif :
F'(x)=\dfrac{1}{1+x^2} \iff F'(x)=(g^{-1})'(x)


D'où F(x)=g^{-1}(x)+C \text{ , avec }C\in\R \text{ une constante réelle }

Déterminons la constante réelle C :

F(1)=\displaystyle\int_{0}^{\ln 1} f(t)\text{ d}t =\displaystyle\int_{0}^{0} f(t)\text{ d}t=0

g^{-1}(1)=\dfrac{\pi}{4}

Alors F(1)=g^{-1}(1)+C \iff C+\dfrac{\pi}{4}=0\iff C=-\dfrac{\pi}{4}

On obtient :
\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }F(x)=g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}}


4-a) L'aire A(\lambda) de la partie du plan limitée par la courbe (\zeta) , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=-\lambda \text{ et }x=\lambda est en unité d'aire (UA) :

A(\lambda)=\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} \left|f(t)\right|\text{ d}t


Puisque \forall t\in\R\text{ : }f(t)\geq 0 , donc :

\begin{matrix}A(\lambda)&=&\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} \left|f(t)\right|\text{ d}t\\&=&\displaystyle\int_{-\lambda}^{\lambda} f(t)\text{ d}t\\&=& \displaystyle 2\int_{0}^{\ln\left(e^{\lambda}\right)} f(t)\text{ d}t& \text{ puisque }f\text{ est paire }\\&=&2F(e^{\lambda})\end{matrix}

\boxed{ A(\lambda)=2F(e^{\lambda}) }


b) On a : \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}e^{\lambda}=+\infty \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}F(x)=\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\enskip\text{ alors }\enskip \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}F(e^{\lambda})=\dfrac{\pi}{4}

Donc \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=2\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}F(e^{\lambda})\iff\boxed{ \displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=\dfrac{\pi}{2}}


Partie C :

1-a) D'après ce qui précède , pour tout réel x>0\text{ , }g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[

Et puisque , \forall t\geq 0 \text{ , }e^{t}\geq 1>0 , alors g^{-1}(x)\in \left]0;\dfrac]\pi}{2}\right[

Ou encore , 0<g^{-1}(x)<\dfrac{\pi}{2} , on en tire que -\dfrac{\pi}{4} <g^{-1}(x)-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{4}

D'où F(e^{t})<\dfrac{\pi}{4}\enskip\magenta (i)

D'autre part , F(e^{t})=\displaystyle\int_{0}^{\ln e^{t}} f(t)\text{ d}t =\displaystyle\int_{0}^{t} f(t)\text{ d}t , et puisque \forall t\geq 0\text{ , }f(t)\geq 0

 \text{Alors } F(e^t)\geq 0\enskip\magenta (ii)

De \magenta (i) \black\text{ et }\magenta (ii) :

\boxed{\forall t\geq 0\enskip\text{ , }\enskip 0\leq F(e^{t})\leq \dfrac{\pi}{4}}


b) On a , pour tout t\geq 0\enskip\text{ : }\enskip 0\leq F(e^{t})\leq \dfrac{\pi}{4}

Alors 0\leq t^n F(e^{t})\leq \dfrac{\pi}{4} t^n \enskip \text{ , }n\in\N^{*}

D'où 0\leq \displaystyle\int_{0}^{1} t^n F(e^{t})\text{ d}t\leq \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t\enskip \text{ , }n\in\N^{*}

Calculons  \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t :

\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\pi}{4} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \displaystyle\int_{0}^{1} t^n \text{ d}t=\dfrac{\pi}{4} \left[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1}=\dfrac{\pi}{4(n+1)}

Il s'ensuit que : 0\leq I_n\leq \dfrac{\pi}{4(n+1)}\text{ , avec }n\in\N^{*}

Ensuite , \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{\pi}{4(n+1)}=0

Alors , d'après le théorème des gendarmes :

\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty} I_n=0}


2-a)

Pour tout n\in\N^{*}\text{ , } I_n=\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t .

Intégration par parties :

On pose \begin{cases}u(x)=F(e^t) \\v'(x)=t^n \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=(F\circ e)'(t)=(e^t)' F'(e^t)=e^t\dfrac{1}{e^{2t}+1}=f(t)\\v(x)=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} \end{cases}

\left(\text{ En effet , d'après la partie B) }\enskip \enskip, \enskip\enskip\forall x\in]0;+\infty[\text{ , }F'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}}\right)

Donc :

\begin{matrix} I_n&=&\displaystyle\int_{0}^{1}t^n F(e^{t}) \text{ d}t\\&=&\displaystyle\left[F(e^{t})\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1} -\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1} t^{n+1}f(t)\text{ d}t \\&=& \dfrac{F(e)}{n+1}-\displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\forall n\in\N^{*}\text{ , }I_n=\dfrac{F(e)}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t }


b) On a , \forall t\in\R\text{ , }0\leq f(t)\leq\dfrac{1}{2}

D'où , \forall t\in[0;1]\text{ , } 0\leq t^{n+1}f(t)\leq\dfrac{1}{2}t^{n+1} , et donc  0\leq \displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t\leq\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{2}t^{n+1}\text{ d}t

Or , \displaystyle\int_{0}^{1}t^{n+1}\text{ d}t=\left[\dfrac{t^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{n+2}

Alors  0\leq \displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t\leq\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)} , ou encore  -\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}\leq - \displaystyle\dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}t^{n+1}f(t)\text{ d}t\leq 0

On obtient donc , \dfrac{F(e)}{n+1} -\dfrac{1}{2(n+1)(n+2)}\leq I_n\leq \dfrac{F(e)}{n+1} , et en multipliant par l'entier n\in\N^{*} , on trouve :

F(e)\dfrac{n}{n+1} -\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}\leq nI_n\leq F(e)\dfrac{n}{n+1}

En sachant que :

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=1\enskip\text{ , alors }\enskip \displaystyle\lim_{n\to+\infty}F(e)\dfrac{n}{n+1}=F(e)

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{n^2}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2n}=0\enskip\text{ , alors }\enskip \displaystyle\lim_{n\to+\infty}F(e)\dfrac{n}{n+1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}=F(e)

Alors , d'après le théorème des gendarmes :

\displaystyle \lim_{n\to+\infty} nI_n=F(e)


Enfin , d'après 3) de la partie B) , F(e)=g^{-1}(e)-\dfrac{\pi}{4}

On conclut alors que :

\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty} nI_n=g^{-1}(e)-\dfrac{\pi}{4}}
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