Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2024 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Tunisie 2024 Mathématiques-

Série Sciences expérimentales

Durée : 3 heures

Coefficient : 3 4 points

exercice 1

1. On considère dans $\mathbb C$ l'équation $(E)~:~ z^2 - 3(\sqrt{3} + \text i)z + 4(1 + \text i\sqrt{3}) = 0$ .

a) Vérifier que $(\sqrt{3} + \text i)^2 = 2 + 2\text i\sqrt{3}$ .

b) Résoudre l'équation $(E)$ .

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \overrightarrow u,\overrightarrow v)$ , on considère les points A, B et D d'affixes respectives $z_A = \sqrt{3} + \text i,\; \, z_B = 2z_A$ et $z_D = (1 + \text i)z_A$ .

Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, on a placé les points A et B.

a) Vérifier que $\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} = i.$

b) Montrer que BAD est un triangle rectangle et isocèle.

c) Ecrire $z_A$ sous forme exponentielle.

d) Donner alors l'écriture de $z_D$ sous forme exponentielle.

e) Construire le point $D$ .

3. a) Montrer que la fonction $x \mapsto \tan x$ réalise une bijection de $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ \text{ sur } [0, +\infty[.$

b) En déduire qu'il existe un unique réel $\theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[$ tel que $\tan \theta = \frac{1}{2}$ .

c) Soit E le point d'affixe $z_E = 2 + \text i$ et H son projeté orthogonal sur l'axe $(O, \overrightarrow u)$ .

Calculer $\dfrac{HE}{OH}.$

d) En déduire que $z_E = \sqrt{5} e^{\text i\theta}.$

4. Soit C le point d'affixe $z_C$ tel que ABCD est un carré.

a) Montrer que $z_C = (2 + \text i)z_A$ .

b) Donner à l'aide de $\theta$ l'écriture exponentielle de $z_C$ .

4 points

exercice 2

Dans une région, $25\%$ des chevaux sont touchés par une maladie contagieuse.

Un test aide à la détection de cette maladie.

$\quad\circ\quad$ Si le cheval est malade, le test est positif dans $96\%$ des cas.

$\quad\circ\quad$ Si le cheval n'est pas malade, le test est négatif dans $92\%$ des cas.

1. On choisit au hasard un cheval de cette région.

On considère les évènements suivants :

M : « Le cheval est malade » et $\overline{M}$ : « Le cheval n'est pas malade ».

T : « Le test est positif » et $\overline{T}$ : « Le test est négatif ».

a) Donner les probabilités $p(M), \, p(T/M)$ et $p(\overline{T}/\overline{M})$ .

b) Montrer que $p(T) = 0,3$ .

c) Calculer la probabilité que le cheval choisi soit malade sachant que son test est positif.

2. Un fermier de cette région possède un troupeau de 5 chevaux.

Pour dépister la maladie dans ce troupeau, il procède comme suit :

Le fermier choisit au hasard un cheval et effectue le test.

$\checkmark\quad$ Si le cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux.

$\checkmark\quad$ Si le cheval est testé négatif, le fermier teste un deuxième cheval. Si le deuxième cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux. Si le deuxième cheval est testé négatif, le fermier teste un troisième cheval et continue à procéder de la même manière jusqu'à ce qu'il obtienne un cheval testé positif, s'il existe.

$\checkmark\quad$ Si les 5 chevaux sont testés négatifs alors ils ne seront pas vaccinés.

Pour un seul cheval, le test de dépistage coûte 10 dinars et le vaccin coûte 40 dinars.

Soit X l'aléa numérique égal à la dépense du fermier en dinars.

a) Calculer $p(X = 50)$ .

b) Montrer que $p(X = 220) = 0,21$ .

c) Déterminer la loi de probabilité de X.

7 points

exercice 3

A) On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x$ et on désigne par $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

1. a) Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \quad \text{et que} \quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty.$

Interpréter graphiquement.

b) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et montrer que la droite $\Delta : y = 2x$ est une asymptote à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty.$

c) Étudier la position relative de $(C_f)$ et $\Delta$ .

2. a) Montrer que pour tout réel $x$ , $f'(x) = (e^x + 1)(2 - e^x)$ .

b) Dresser le tableau de variation de f.

c) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ telles que

$-0,3 < \alpha < -0,2 \quad \text{et} \quad 1,2 < \beta < 1,3.$

d) Montrer que pour tout $x \in [\alpha, 0]$ , $0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad 0 \leq \dfrac{f(x)}{1 - f(x)} \leq 1.$

3. Dans la figure 2 de l'annexe ci-jointe, on a placé dans le repère $(0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ les réels $\alpha$ et $\beta$ .

a) Tracer dans le repère $(0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ la courbe $(C_f)$ .

b) Calculer l'aire $A$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C_f)$ et les droites d'équations respectives $y = 0,\; x = 0$ et $x = \ln 2$ .

B) 1. On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n =\displaystyle \int_{\alpha}^{0} \Big(f(t)\Big)^n dt, , n \in \mathbb{N}^*.$

a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $0 \leq u_n \leq -\alpha \left( \dfrac{1}{2} \right)^n.$

b) En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n.$

2. Soit $(S_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k, \, n \in \mathbb{N}^*.$

a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $S_n = \displaystyle\int_{\alpha}^{0} \dfrac{f(t)}{1 - f(t)} \left(1 - \Big(f(t)\Big)^n\right) dt.$

b) Montrer que la suite $(S_n)$ est croissante et majorée.

c) Montrer alors que la suite $(S_n)$ converge vers un réel $\ell$ et que $0 \leq \ell < 0,3.$

5 points

exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k).$

On considère les points $A(-2, -1, 0)\;,\;B(1, 3, 1)\;,\;C(0,1,1)$ et $I(1, 0, -2)$ .

1. a) Déterminer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}$ .

b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan $P$ .

c) Montrer qu'une équation cartésienne de $P$ est $2x - y - 2z + 3 = 0$ .

2. a) Vérifier que le point $I$ n'appartient pas au plan $P$ .

b) Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCI$ .

3. a) Déterminer une équation de la sphère $(S)$ de centre $I$ et tangente à $P$ .

b) Justifier que le point $H(-1, 1, 0)$ est le point de contact de $(S)$ et $P$ .

c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(IH)$ .

4. Soit $\zeta$ le cercle du plan $P$ de centre $H$ et tangent à la droite $(AC)$ .

a) Montrer que le cercle $\zeta$ est de rayon $r = 1$ .

b) Montrer qu'il existe un point $M$ de la droite $(IH)$ , distinct de $I$ , tel que la distance $d(M,P)$ de $M$ à $P$ est égale à $3$ .

c) En déduire que les deux sphères de centres respectifs $M$ et $I$ et de rayon $R = \sqrt{10}$ coupent $P$ suivant le cercle $\zeta$ .

ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE

Figure 1

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-experimentales : image 1

Figure 2

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-experimentales : image 2

Correction

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-expérimentales

4 points

exercice 1

1. On considère dans $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb C }$ l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E)~:~ z^2 - 3(\sqrt{3} + \text i)z + 4(1 + \text i\sqrt{3}) = 0. }$

1. a) Vérifions que $\overset{ { \white{ _. } } } { (\sqrt{3} + \text i)^2 = 2 + 2\text i\sqrt{3}. }$

${ \white{ xxi } }$ $(\sqrt{3} + \text i)^2 =(\sqrt 3)^2+2\times\sqrt 3\times\text i + \text i ^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (\sqrt{3} + \text i)^2} =3+2\text i\sqrt 3 -1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (\sqrt{3} + \text i)^2} =2+2\text i\sqrt 3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(\sqrt{3} + \text i)^2 =2+2\text i\sqrt 3 }$

1. b) Nous devons résoudre l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { (E)~:~ z^2 - 3(\sqrt{3} + \text i)z + 4(1 + \text i\sqrt{3}) = 0. }$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Discriminant de l'équation}}:\Delta=\Big(-3(\sqrt 3+\etxt i)\Big)^2-4\times 1\times4(1+\text i\sqrt 3) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Discriminant de l'équation}:\Delta}=9(3+2\text i\sqrt 3-1)-16(1+\text i\sqrt 3)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Discriminant de l'équation}:\Delta}=27+18\text i\sqrt 3-9-16-16\text i\sqrt 3}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Discriminant de l'équation}:\Delta}=2+2\text i\sqrt 3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Discriminant de l'équation}:\Delta}=(\sqrt{3} + \text i)^2} \\\\\underline{\text{Solutions de l'équation}}:$

${ \white{ WWWW} }$ $\bullet\phantom{XX}z_1=\dfrac{3(\sqrt 3+\text i)-(\sqrt 3+\text i)}{2}=\dfrac{2(\sqrt 3+\text i)}{2}=\sqrt 3+\text i \\\\\bullet\phantom{XX}z_2=\dfrac{3(\sqrt 3+\text i)+(\sqrt 3+\text i)}{2}=\dfrac{4(\sqrt 3+\text i)}{2}=2(\sqrt 3+\text i)$

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow u,\overrightarrow v), }$ on considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A = \sqrt{3} + \text i,\; \, z_B = 2z_A }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { z_D = (1 + \text i)z_A. }$

2. a) Vérifions que $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A} = \text i. }$

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\dfrac{(1+\text i)z_A - z_A}{2z_A - z_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}} =\dfrac{z_A+\text i\,z_A - z_A}{ z_A} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}} =\dfrac{\text i\,z_A }{ z_A} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}} =\text i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}$

2. b) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { BAD }$ est un triangle rectangle et isocèle.

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{z_{\overrightarrow{AD}}}{z_{\overrightarrow{AB}}} =\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}\quad\Longrightarrow\quad \arg\left(\dfrac{z_{\overrightarrow{AD}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}\right) =\arg(\text i) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}\quad\Longrightarrow\quad \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)=\dfrac{\pi}{2}}$

D'où, le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { BAD }$ est rectangle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i\quad\Longleftrightarrow\quad \left|\dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}\right|=|\text i| \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\left|z_D - z_A\right|}{\left|z_B - z_A\right|}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad {\left|z_D - z_A\right|}={\left|z_B - z_A\right|}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{z_D - z_A}{z_B - z_A}=\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad AD=AB}$

D'où, le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { BAD }$ est isocèle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

Par conséquent, le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { BAD }$ est rectangle et isocèle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

2. c) Nous devons écrire $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A }$ sous forme exponentielle.

Rappelons que $\overset{ { \white{ _. } } } { z_A=\sqrt 3+\text i. }$

D'une part,

${ \white{ xxi } }$ $|z_A|=\sqrt{ (\sqrt 3)^2+1^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |z_A|}=\sqrt{ 3+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ |z_A|}=2 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{|z_A|=2}$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $z_A=\sqrt 3+\text i\quad\Longleftrightarrow\quad z_A=2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}+\dfrac 12\text i\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_A=\sqrt 3+\text i}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z_A=2\left(\cos\dfrac\pi 6+\text i\sin\dfrac\pi 6\right)}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{z_A=2\text e^{\text i\frac{\pi}{ 6}}} }$

2. d) Nous devons alors donner l'écriture de $\overset{ { \white{.o } } } { z_D }$ sous forme exponentielle.

Rappelons que $\overset{ { \white{ _. } } } { z_D = (1 + \text i)z_A. }$
Écrivons $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+\text i }$ sous forme exponentielle.

${ \white{ xxi } }$ $|1+\text i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2.$

D'où

${ \white{ xxi } }$ $1+\text i=\sqrt 2\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2}\text i\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1+\text i}=\sqrt 2\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}+\dfrac{\sqrt 2}{2}\text i\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1+\text i}=\sqrt 2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1+\text i}=\sqrt 2\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{1+\text i=\sqrt 2\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}}$

Nous en déduisons que

${ \white{ xxi } }$ $z_D = (1 + \text i)z_A \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_D }=\sqrt 2\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}\times 2\text e^{\text i\frac{\pi}{6}} } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ z_D }=2\sqrt 2\text e^{\text i(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_D }=2\sqrt 2\text e^{\text i(\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi}{12})} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_D}=2\sqrt 2\text e^{\text i\frac{5\pi}{12}} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_D=2\sqrt 2\text e^{\text i\frac{5\pi}{12}} }$

2. e) Construisons le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D. }$

Nous savons que le triangle   $\overset{ { \white{ _. } } } { DAB }$ est un triangle direct rectangle et isocèle en   $\overset{ { \white{ _. } } } { A. }$

Donc le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est l'image du point $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ par une rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et d'angle $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{\pi}{2}. }$
D'où sa construction.

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-experimentales : image 4

3. a) Montrons que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x \mapsto \tan x }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[. }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { t: x \mapsto \tan x }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$
Elle réalise donc une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { t\left( \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[\right).}$
Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \tan(0)=0\\\lim\limits_{x\to(\frac{\pi}{2})^-} \tan(x)= +\infty \end{cases} }$
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x \mapsto \tan x }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[. }$

3. b) Nous devons en déduire qu'il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \tan \theta = \frac{1}{2}. }$

Par définition d'une bijection de $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[, }$ chaque réel appartenant à $\overset{ { \white{ _. } } } { [0, +\infty[ }$ est l'image d'un unique réel appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right[}$ .

Dès lors, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \tan \theta = \frac{1}{2}. }$

3. c) Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { E }$ le point d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { z_E = 2 + \text i }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ son projeté orthogonal sur l'axe $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow u). }$
${ \white{ xxxi } }$ Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{HE}{OH}. }$

${ \white{ xxi } }$ $z_E = 2 + \text i \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}\Re(z_E)=2\\\Im(z_E)=1 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_E = 2 + \text i } \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}OH=2\\HE=1 \end{cases} }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\dfrac{HE}{OH}=\dfrac 12} }$

3. d) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ } } } { z_E = \sqrt{5} e^{\text i\theta}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons le module de $\overset{ { \white{ _. } } } { z_E. }$

${ \white{ xxi } }$ $z_E = 2 + \text i \quad\Longrightarrow\quad |z_E|=\sqrt{2^2+1^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_E = 2 + \text i }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{|z_E|=\sqrt{5}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons un argument de $\overset{ { \white{ _. } } } { z_E. }$

Nous avons montré qu'il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \tan \theta = \frac{1}{2}. }$

Ce réel $\overset{ { \white{ . } } } { \theta }$ convient comme argument de $\overset{ { \white{ . } } } { z_E }$ car si $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta }$ est l'argument de $\overset{ { \white{ . } } } { z_E, }$ alors dans le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { OHE }$ rectangle en H, nous avons : $\tan\theta=\dfrac{HE}{OH}$ , soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \tan \theta=\dfrac 12. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{. } } } { z_E }$ peut s'écrire sous forme exponentielle : $\overset{ { \white{ } } } { \boxed{ z_E = \sqrt{5} e^{\text i\theta}}\,. }$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ le point d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z_C }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un carré.

4. a) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { z_C = (2 + \text i)z_A. }$

$\overset{ { \white{ _. } } } { ABCD }$ est un carré.

Nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA} \right)=\dfrac{\pi}{2}\\BC=BA \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_B}=\text i \\ \phantom{\begin{cases}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA} \right)=\dfrac{\pi}{2}\\BC=BA \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{z_A - 2z_A}{z_C - 2z_A}=\text i \\ \phantom{\begin{cases}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA} \right)=\dfrac{\pi}{2}\\BC=BA \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{-z_A}{z_C - 2z_A}=\text i \\ \phantom{\begin{cases}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA} \right)=\dfrac{\pi}{2}\\BC=BA \end{cases} } \quad\Longrightarrow\quad -z_A=\text i(z_C - 2z_A)$

${ \white{ xxi } }$ $\\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad -z_A=\text i\,z_C - 2\,\text iz_A \\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad -z_A+ 2\,\text iz_A=\text i\,z_C \\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{-z_A+ 2\,\text iz_A}{\text i}=z_C \\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{-\text iz_A-2\,z_A}{\text i\times \text i}=z_C \\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{(-\text i-2)\,z_A}{-1}=z_C \\ \phantom{(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})WW=\dfrac{\pi}{2} } \quad\Longrightarrow\quad (\text i+2)\,z_A=z_C \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{z_C=(2+\text i)z_A}$

4. b) Donnons à l'aide de $\overset{ { \white{ _. } } } { \theta }$ l'écriture exponentielle de $\overset{ { \white{ . } } } { z_C. }$

${ \white{ xxi } }$ $z_C = (2 + \text i)z_A \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_C} =z_E\times z_A } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_C} =\sqrt{5} e^{\text i\theta}\times 2\text e^{\text i\frac{\pi}{ 6}} }\quad(\text {voir questions 2c et 3d)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ z_C} =2\sqrt{5} e^{\text i(\theta+\frac{\pi}{6})} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ z_C =2\sqrt{5} e^{\text i(\theta+\frac{\pi}{6})} }$

4 points

exercice 2

Dans une région, 25% des chevaux sont touchés par une maladie contagieuse.
Un test aide à la détection de cette maladie.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si le cheval est malade, le test est positif dans 96% des cas.
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Si le cheval n'est pas malade, le test est négatif dans 92% des cas.

1. On choisit au hasard un cheval de cette région.

On considère les événements suivants :
${ \white{ xxi } }$ M : « Le cheval est malade » et $\overset{ { \white{ } } } { \overline{M} }$ : « Le cheval n'est pas malade ».
${ \white{ xxi } }$ T : « Le test est positif » et $\overset{ { \white{ } } } { \overline{T} }$ : « Le test est négatif ».

Ci-dessous un arbre pondéré représentant la situation.

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-experimentales : image 5

1. a) Nous devons donner les probabilités $\overset{ { \white{ _. } } } { p(M), \, p(T/M) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { p(\overline{T}/M). }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}} \boxed{p(M)=0,25} \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} p(T/M)=p_M(T)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(T/M)=0,96} \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} p(\overline T/\overline M)=p_{\overline M}(\overline T)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline T/\overline M)=0,92}$

1. b) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ . } } } { p(T). }$

Les événements $\overset{{\white{_.}}}{M}$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $p(T)=p(M\cap T)+p(\overline{M}\cap T) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(T)}=p(M)\times p_M(T)+p(\overline M)\times p_{\overline M}(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(T)}=0,25\times0,96+0,75\times0,08} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{p(T)}=0,3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(T)=0,3}$

1. c) Nous devons calculer la probabilité que le cheval choisi soit malade sachant que son test est positif, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { p_T(M) }$

${ \white{ xxi } }$ $p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_T(M)}=\dfrac{p(M)\times p_M(T)}{p(T)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_T(M)}=\dfrac{0,25\times 0,96}{0,3} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ p_T(M)}=0,8} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p_T(M)=0,8}$

Par conséquent, la probabilité que le cheval choisi soit malade sachant que son test est positif est égale à 0,8.

2. Un fermier de cette région possède un troupeau de 5 chevaux.

Pour dépister la maladie dans ce troupeau, il procède comme suit :

Le fermier choisit au hasard un cheval et effectue le test.
${ \white{ xxi } }$ Si le cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux.
${ \white{ xxi } }$ Si le cheval est testé négatif, le fermier teste un deuxième cheval. Si le deuxième cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux. Si le deuxième cheval est testé négatif, le fermier teste un troisième cheval et continue à procéder de la même manière jusqu'à ce qu'il obtienne un cheval testé positif, s'il existe.
${ \white{ xxi } }$ Si les 5 chevaux sont testés négatifs alors ils ne seront pas vaccinés.

Pour un seul cheval, le test de dépistage coûte 10 dinars et le vaccin coûte 40 dinars.
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ l'aléa numérique égal à la dépense du fermier en dinars.

Déterminons les divers cas possibles concernant les résultats des tests et les diverses valeurs que peut prend la variable aléatoire $\overset{ { \white{ _. } } } { X . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 1^er cas : le premier cheval est testé positif.
Le coût total pour le fermier s'élève à 10 dinars pour le test auxquels s'ajoutent à 200 dinars pour les vaccins, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=210. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 2^ème cas : le deuxième cheval est testé positif.
Le coût total pour le fermier s'élève à 20 dinars pour les deux tests auxquels s'ajoutent à 200 dinars pour les vaccins, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=220. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 3^ème cas : le troisième cheval est testé positif.
Le coût total pour le fermier s'élève à 30 dinars pour les trois tests auxquels s'ajoutent à 200 dinars pour les vaccins, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=230. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 4^ème cas : le quatrième cheval est testé positif.
Le coût total pour le fermier s'élève à 40 dinars pour les quatre tests auxquels s'ajoutent à 200 dinars pour les vaccins, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=240. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 5^ème cas : le cinquième cheval est testé positif.
Le coût total pour le fermier s'élève à 50 dinars pour les cinq tests auxquels s'ajoutent à 200 dinars pour les vaccins, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=250. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 6^ème cas : les cinq chevaux sont testés négatifs.
Le coût total pour le fermier s'élève à 50 dinars pour les cinq tests, soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X=50. }$

2. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { p(X = 50). }$

Nous sommes dans la situation où les cinq tests sont négatifs.

$\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Or }\quad \boxed{p(T)=0,3}\quad\Longrightarrow\quad p(\overline T)=1-0,3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad p(T)=0,3}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p(\overline T)=0,7} }$
Les résultats des tests sont indépendants.

$\text{D'où }\quad p(X=50)=0,7\times0,7\times0,7\times0,7\times0,7 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad p(X=50) } =0,7^5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad p(X=50) } =0,16807} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=50)=0,16807}$

2. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { p(X = 220). }$

Nous sommes dans le 2^ème cas repris ci-dessus à savoir que le premier cheval est testé négatif et que le deuxième cheval est testé positif.
Les résultats des tests sont indépendants.

$\text{D'où }\quad p(X=220)=0,7\times0,3\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad p(X=220) } =0,21} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{p(X=220)=0,21}$

2. c) Nous devons déterminer la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

En nous aidant des 6 cas possibles étudiés ci-dessus, nous en déduisons que :

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\phantom{x}p(X=50)=0,16807 \\\\\bullet\phantom{x}p(X=210)=0,3 \\\\\bullet\phantom{x}p(X=220)=0,21 \\\\\bullet\phantom{x}p(X=230)=0,7^2\times 0,3=0,147 \\\\\bullet\phantom{x}p(X=240)=0,7^3\times 0,3=0,1029 \\\\\bullet\phantom{x}p(X=250)=0,7^4\times 0,3=0,07203$

Nous pouvons résumer cette loi de probabilité par le tableau suivant :

${ \white{ W} } \begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\x_i&&50&&&210&&&220&&&230&&&240&&&250\ &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\p(X=x_i)&&0,16807&&&0,3&&&0,21&&&0,147&&&0,1029&&&0,07203&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

7 points

exercice 3

A) On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = -\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x }$ et on désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ sa courbe dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). }$

1. a) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{o.} } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}$ et que $\overset{ { \white{ } } } {\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{o.} } } { \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty .}$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in \R,\quad f(x)=-\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=e^x\left(-\frac{1}{2} e^{x} + 1 + \dfrac{2x}{e^x}\right)} }$

$\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}e^{x} =+\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}} =0\;(\text{croissances comparées}) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{2} e^{x} \right) =-\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{e^{x}} =0 \end{cases} \\ \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}e^{x} =+\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}} =0\;(\text{croissances comparées}) \end{cases}} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{2} e^{x} + 1 + \dfrac{2x}{e^x}\right)=-\infty \\ \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}e^{x} =+\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}} =0\;(\text{croissances comparées}) \end{cases}} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}e^x\left(-\frac{1}{2} e^{x} + 1 + \dfrac{2x}{e^x}\right)=-\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{o.} } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty}\, .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ } } } {\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } }{x\in \R,\quad f(x)=e^x\left(-\dfrac{1}{2} e^{x} + 1 + \dfrac{2x}{e^x}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac{f(x)}{x}=e^x\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{e^{x}}{x} + \dfrac 1 x + \dfrac{2}{e^x}\right)}}$

$\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty\;(\text{croissances comparées}) \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 1 x =0}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}} =0}\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{e^{x}}{x}\right)=-\infty \\\overset{ { \phantom{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac 1 x =0}\\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^{x}} =0}\end{cases} \\ \phantom{W\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}e^{x} =+\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}} =0\;(\text{croissances comparées}) \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{e^{x}}{x} + \dfrac 1 x + \dfrac{2}{e^x}\right)=-\infty$

$. \phantom{W\begin{cases} \lim\limits_{x\to+\infty}e^{x} =+\infty\\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}} =0\;(\text{croissances comparées}) \end{cases}} \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}e^x\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{e^{x}}{x} + \dfrac 1 x + \dfrac{2}{e^x}\right)=-\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{} } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty}\, .}$

Graphiquement, nous dirons que la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ admet une branche parabolique de direction $\overset{ { \white{ _. } } } { (Oy) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { +\infty. }$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ o. } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) }$    et montrer que la droite $\overset{ { \white{. } } } { \Delta : y = 2x }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ o. } } } { \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) . }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^{2x}=0\\\lim\limits_{x\to-\infty} \text e^{x}=0\\\lim\limits_{x\to-\infty} 2x=-\infty\\ \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to-\infty} \left(-\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x\right)=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ o. } } } { \boxed{ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la droite $\overset{ { \white{. } } } { \Delta : y = 2x }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty. }$

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to-\infty} \Big(f(x)-2x\Big)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-\frac{1}{2} e^{2x} + e^x \right)=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty} \Big(f(x)-2x\Big)=0}$

Donc la droite $\overset{ { \white{. } } } { \Delta : y = 2x }$ est une asymptote à $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ au voisinage de $\overset{ { \white{ _. } } } { -\infty. }$

1. c) Étudions la position relative de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta. }$

La position relative de $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ dépend du signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-2x. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } {x\in\R,\quad f(x)-2x=-\dfrac{1}{2} e^{2x} + e^x \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)-2x=e^x\left(-\dfrac{1}{2} e^{x} +1\right)} }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)-2x }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { \left(-\dfrac{1}{2} e^{x} +1\right). }$

$\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {-\dfrac{1}{2} e^{x} +1>0\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2} e^{x} >-1}\\\phantom{WwwW}\Longleftrightarrow \text e^x<2\\\phantom{WwwW}\Longleftrightarrow x<\ln2\\\\ \overset{ { \white{.} } } {-\dfrac{1}{2} e^{x} +1=0\Longleftrightarrow x=\ln 2}\\\\-\dfrac{1}{2} e^{x} +1<0\Longleftrightarrow x>\ln 2 \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&\ln 2&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\-\dfrac{1}{2} e^{x} +1&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f(x)-2x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\;;\;\ln2\,[, }$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ est au-dessus de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]\ln2\,\;;\;+\infty[, }$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ est en dessous de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ croise la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \Delta }$ au point d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln 2. }$

2. a) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x,\quad f'(x) = (\text e^x + 1)(2 - \text e^x). }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x, }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x) =\left( -\dfrac{1}{2} \text e^{2x} + \text e^x + 2x\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\left( -\dfrac{1}{2}\right)\times 2 \text e^{2x} +\text e^x + 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=-\,\text e^{2x} + \text e^x + 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=-\,\text e^{2x} - \text e^x +2 \text e^x + 2 }$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=-\, \text e^x (\text e^{x} +1) +2 (\text e^x + 1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=(\text e^{x} +1)(-\, \text e^x +2) } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\quad f'(x)=(\text e^{x} +1)(2 - \text e^x ) }$

2. b) Nous devons dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \text e^x+1>0 }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x. }$

Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2 - \text e^x. }$

${ \white{ WWWW } }$ $\begin{matrix}\overset{ { \phantom{.} } } {2-\text e^x>0 \Longleftrightarrow \text e^x<2}\\\phantom{2-\text e^x>0}\Longleftrightarrow x<\ln2\\\\ \overset{ { \white{.} } } {2-\text e^x=0\Longleftrightarrow x=\ln 2}\\\\2-\text e^x<0\Longleftrightarrow x>\ln 2 \end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&\ln 2&&+\infty\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\2-\text e^x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous pouvons alors dresser le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

Calcul préliminaire

${ \white{ xxi } }$ $f(\ln 2)=-\dfrac 12\text e^{2\ln 2}+\text e^{\ln 2}+2\ln 2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\ln 2) }=-\dfrac 12\text e^{\ln 4}+\text e^{\ln 2}+2\ln 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\ln 2) }=-\dfrac 12\times4+2+2\ln 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(\ln 2) }=-2+2+2\ln 2 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ f(\ln 2) }=2\ln 2 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f(\ln 2)=2\ln 2 }$

Tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$

${\white{WWWWWWWW}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&-\infty&&\ln 2&&+\infty\\ &&&&& \\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&2\ln 2&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\\hline \end{array}$

2. c) Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = 0 }$ admet exactement deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } { -0,3 < \alpha < -0,2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { 1,2 < \beta < 1,3. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = 0 }$ admet une unique solutions $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {]-\infty\,,\,\ln 2].}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-\infty\,,\,\ln 2].}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\\ \overset{ { \phantom{ . } } } {f(\ln2)=2\ln2>0}\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad 0\in\;]\,-\infty\;;\;2\ln 2\,[}$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha\in\,]-\infty\,,\,\ln 2] }$   tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)=0. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-\infty\,,\,\ln 2].}$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}f(-0,3)\approx-0,13<0\\f(-0,2)\approx0,08>0\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{-0,3<\alpha<-0,2} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x) = 0 }$ admet une unique solutions $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } {[\ln 2\,,\,+\infty[.}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } {f }$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\ln 2\,,\,+\infty[.}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\begin{cases} f(\ln2)=2\ln2>0\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad 0\in\;]\,-\infty\;;\;2\ln 2\,[}$

Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\overset{ { \white{ . } } } { \beta\in\,[\ln 2\,,\,+\infty[}$   tel que $\overset{ { \white{ . } } } { f(\beta)=0. }$
Par conséquent, l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=0 }$ admet une unique solution $\overset{ { \white{ . } } } { \beta }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[\ln 2\,,\,+\infty[.}$

De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}f(1,2)\approx0,21>0\\f(1,3)\approx-0,46<0\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1,2<\beta<1,3} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conclusion, nous avons montré que l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) = 0 }$ admet exactement deux solutions $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \beta }$ telles que $\overset{ { \white{ . } } } { -0,3 < \alpha < -0,2 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { 1,2 < \beta < 1,3. }$

2. d) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x \in [\alpha, 0],\quad 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad 0 \leq \dfrac{f(x)}{1 - f(x)} \leq 1. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le tableau de variation de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ montre que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\,,\,\ln 2] . }$

Or l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [\alpha, 0] }$ est inclus dans l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]-\infty\,,\ln 2] . }$
Donc la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [\alpha, 0] . }$

Dès lors, pour tout réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x, }$

${ \white{ xxi } }$ $\alpha\le x\le0\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)\le f(x)\le f(0). \\\\\text{Or }\quad \begin{cases} f(\alpha)=0\quad(\text{voir question 2. c)}\\f(0)=-\frac 12\text e^0+\text e^0+0\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0) }=-\frac12+1 }\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(0) }=\frac12 } \end{cases}$

D'où, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\, x \in [\alpha, 0],\quad 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2} } }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x \in [\alpha, 0],\quad 0 \leq \dfrac{f(x)}{1 - f(x)} \leq 1. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x \in [\alpha, 0], }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\boxed{0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}}\quad\Longrightarrow\quad -\dfrac{1}{2} \leq -f(x) \leq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2} \leq 1-f(x) \leq 1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}}\quad\Longrightarrow\quad 1\leq \dfrac {1}{1-f(x)} \leq 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\leq \dfrac {1}{1-f(x)} \leq 2 }}$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}\\0\leq \dfrac {1}{1-f(x)} \leq 2 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq f(x)\times \dfrac {1}{1-f(x)} \leq \dfrac 12\times2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} 0 \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}\\0\leq \dfrac {1}{1-f(x)} \leq 2 \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq \dfrac {f(x)}{1-f(x)} \leq 1}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\, x \in [\alpha, 0],\quad 0\leq \dfrac {f(x)}{1-f(x)} \leq 1 } }$

3. a) Traçons la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { (C_f) }$ dans le repère $\overset{ { \white{ _. } } } { (0, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) . }$

Bac Tunisie 2024 Maths-Sc-experimentales : image 3

3. b) Nous devons calculer l'aire $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { A }$ de la partie du plan limitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f) }$ et les droites d'équations respectives $\overset{ { \white{ . } } } { y = 0,\; x = 0 }$ et $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { x = \ln 2. }$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)\geq 0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in[0\,,\,\ln 2]. }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $A=\displaystyle\int_0^{\ln 2}f(x)\,\text dx \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\displaystyle\int_0^{\ln 2}\left(-\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x\right)\,\text dx} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\Big[-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{ e^{2x}}{2} + e^x + x^2\Big] _0^{\ln 2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\Big[-\dfrac{ e^{2x}}{4} + e^x + x^2\Big] _0^{\ln 2}}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\Big[-\dfrac{ e^{2\ln 2}}{4} + e^{\ln 2} + (\ln 2)^2\Big]-\Big[-\dfrac{ e^{0}}{4} + e^{0} + 0\Big]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\Big[-\dfrac{ 4}{4} + 2 + (\ln 2)^2\Big]-\Big[-\dfrac{ 1}{4} + 1\Big]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A }=\dfrac{ 1}{4} + (\ln 2)^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=\dfrac{ 1}{4} + (\ln 2)^2\;\text{u.a.}}$

B) 1. On considère la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathbb{N}^* }$ par $\overset{ { \white{ } } } { u_n =\displaystyle \int_{\alpha}^{0} \Big(f(t)\Big)^n dt,\quad n \in \mathbb{N}^*. }$

1. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n \in \mathbb{N}^*, 0 \leq u_n \leq -\alpha \left( \dfrac{1}{2} \right)^n. }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^*. }$

Nous avons montré que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est croissante sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [\alpha, 0] . }$

Il s'ensuit que :

${ \white{ xxi } }$ $\alpha\leq t\leq0\quad\Longrightarrow\quad f(\alpha)\leq f(t)\leq f(0) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq f(t)\leq \dfrac 12 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq \Big(f(t)\Big)^n\leq \left(\dfrac 12\right)^n } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq\displaystyle\int_\alpha^{0} \Big(f(t)\Big)^n\,\text dt\leq\displaystyle\int_\alpha^{0} \left(\dfrac 12\right)^n\,\text dt }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq u_n\leq \left(\dfrac 12\right)^n\displaystyle\int_\alpha^{0} 1\,\text dt } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq u_n\leq \left(\dfrac 12\right)^n\Big[t\Big]_\alpha^{0}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq u_n\leq \left(\dfrac 12\right)^n\Big(0-\alpha\Big)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \alpha\leq t\leq0} \quad\Longrightarrow\quad 0\leq u_n\leq \left(\dfrac 12\right)^n\Big(-\alpha\Big)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad 0\leq u_n\leq -\alpha\left(\dfrac 12\right)^n}$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ O. } } } { \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n. }$

Nous avons montré que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^*,\quad 0\leq u_n\leq -\alpha\left(\dfrac 12\right)^n }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad 0<\dfrac 12<1\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac 12\right)^n=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad 0<\dfrac 12<1 } \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n \to +\infty}-\alpha\left(\dfrac 12\right)^n=0}$

D'où à l'aide du théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} 0\leq u_n\leq -\alpha\left(\dfrac 12\right)^n \\\overset{ { \white{ _. } } } { \lim\limits_{n \to +\infty}-\alpha\left(\dfrac 12\right)^n=0} \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0}$

2. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ la suite définie sur $\overset{ { \white{ } } } { \mathbb{N}^* }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k, \,\quad n \in \mathbb{N}^*. }$

2. a) Montrons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^*,\quad S_n = \displaystyle\int_{\alpha}^{0} \dfrac{f(t)}{1 - f(t)} \bigg(1 - \Big(f(t)\Big)^n\bigg) dt. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^*, }$

${ \white{ xxi } }$ $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n } = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigg( \displaystyle \int_{\alpha}^{0} \Big(f(t)\Big)^k dt\bigg)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n } = \displaystyle \int_{\alpha}^{0} \bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Big(f(t)\Big)^k\bigg) dt}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Big(f(t)\Big)^k }$ est la somme de n termes d'une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t) }$ et dont le premier terme est $\overset{ { \white{ _. } } } { f(t) . }$

Cette somme se détermine de la manière suivante : $\overset{ { \white{ } } } { \text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} . }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_n = \displaystyle \int_{\alpha}^{0} \bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Big(f(t)\Big)^k\bigg) dt \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ S_n } = \displaystyle \int_{\alpha}^{0} f(t)\times\dfrac{1-\Big(f(t)\Big)^n}{1-f(t)}dt}$

Par conséquent, pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^*,\quad \boxed{S_n = \displaystyle\int_{\alpha}^{0} \dfrac{f(t)}{1 - f(t)} \bigg(1 - \Big(f(t)\Big)^n\bigg) dt}\,. }$

2. b) Montrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante et majorée.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante.

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n \in \mathbb{N}^*, }$

${ \white{ xxi } }$ $S_{n+1}-S_{n}= \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} u_k-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S_{n+1}-S_{n} } =(u_1+u_2+\cdots+u_n+u_{n+1})-(u_1+u_2+\cdots+u_n)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{S_{n+1}-S_{n} } =u_{n+1} \geq 0\quad(\text{voir question 1. a})} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N^*,\quad S_{n+1}-S_{n}\geq0 }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est majorée.

En utilisant la question 2. d), nous déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N^* }$ et pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { t\in [\alpha\,;\,0], }$

${ \white{ xxi } }$ $0 \leq f(t) \leq \dfrac{1}{2} \quad \Longrightarrow\quad 0 \leq \Big(f(t)\Big)^n \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(t) \leq \dfrac{1}{2} } \quad \Longrightarrow\quad - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq -\Big(f(t)\Big)^n \leq0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(t) \leq \dfrac{1}{2} } \quad \Longrightarrow\quad 1- \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq f(t) \leq \dfrac{1}{2} } \quad \Longrightarrow\quad 0 \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq1}$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}0 \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq1\\ 0\leq \dfrac {f(t)}{1-f(t)} \leq 1 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq \dfrac{f(t)}{1 - f(t)} \bigg(1 - \Big(f(t)\Big)^n\bigg)\leq 1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq11111 } \quad\Longrightarrow\quad 0\leq \displaystyle\int_{\alpha}^{0} \dfrac{f(t)}{1 - f(t)} \bigg(1 - \Big(f(t)\Big)^n\bigg) \text dt\leq \displaystyle\int_{\alpha}^{0} 1 \text dt } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq11111 } \quad\Longrightarrow\quad 0\leq S_n\leq \Big[t\Big]_{\alpha}^{0} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0 \leq 1-\Big(f(t)\Big)^n \leq11111 } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\leq S_n\leq -\alpha} }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est majorée par $\overset{ { \white{ _. } } } { -\alpha . }$

2. c) Montrons alors que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ converge vers un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { 0 \leq \ell < 0,3. }$

La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ est croissante et majorée.

Par le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (S_n) }$ converge vers un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { \ell . }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} 0\leq S_n\leq -\alpha\\-0,3<\alpha<-0,2 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 0\leq \lim\limits_{n\to+\infty}S_n\leq -\alpha\\-\alpha<0,3 \end{cases} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} 0\leq S_n\leq -\alpha\\-0,3<\alpha<-0,2 \end{cases} }\quad\Longrightarrow\quad 0\leq \lim\limits_{n\to+\infty} S_n\leq -\alpha<0,3} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} 0\leq S_n\leq -\alpha\\-0,3<\alpha<-0,2 \end{cases} }\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\leq \ell<0,3}}$

5 points

exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ _. } } } { (O; \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k). }$
On considère les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(-2, -1, 0)\;,\;B(1, 3, 1)\;,\;C(0,1,1) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I(1, 0, -2). }$

1. a) Déterminons les composantes du vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}A(-2\;;\;-1\;;\;0)\\B(1\;;\;3\;;\;1)\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\,(1+2\;;\; 3+1\;;\;1-0)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\,(3\;;\; 4\;;\;1)} \\\\\begin{cases}A(-2\;;\;-1\;;\;0)\\C(0\;;\;1\;;\;1)\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\,(0+2\;;\; 1+1\;;\;1-0)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\,(2\;;\; 2\;;\;1)}$

Calculons $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\3&4&1\\2&2&1\end{vmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} } =(4\times1-2\times1)\vec i-(3\times1-2\times1)\vec j+(3\times2-2\times4)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} } =2\vec i-\vec j-2\vec k} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}=2\vec i-\vec j-2\vec k}$

D'où, les composantes du vecteur $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(2\,,-1\,,-2)}\,. }$

1. b) Nous devons en déduire que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ déterminent un plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

Un produit vectoriel non nul indique des vecteurs non colinéaires.
Puisque $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} \neq \vec 0, }$ les vecteurs $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AB} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{AC} }$ ne sont pas colinéaires.
D'où les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A, B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ déterminent un plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

1. c) Nous devons montrer qu'une équation cartésienne de $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 2x - y - 2z + 3 = 0. }$

Nous savons que le vecteur $\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}\,(2\,,-1\,,-2) }$ est un vecteur normal au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } {P. }$
D'où l'équation du plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } {P }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {2x-y-2z+d=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {d }$ est un nombre réel.
Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {C(0\;;\;1\;;\;1) }$ appartient à ce plan.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {0-1-2\times1+d=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {d=3. }$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } {P}$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{2x-y-2z+3=0}\,. }$

2. a) Vérifions que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P. }$

Dans l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { P, }$ remplaçons $\overset{ { \white{ o. } } } { x, y }$ et $\overset{ { \white{o. } } } { z }$ par les coordonnées de $\overset{ { \white{ _. } } } { I. }$

${ \white{ xxi } }$ $2\times1-0-2\times(-2)+3=2+4+3 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{2\times1-0-2\times(-2)+3 } =9} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{2\times1-0-2\times(-2)+3\neq0}$

Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ n'appartient pas au plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P. }$

2. b) Calculons le volume $\overset{ { \white{ _. } } } { V }$ du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCI. }$

Le volume du tétraèdre est $\overset{ { \white{ _. } } } { V=\dfrac 16\times \left|(\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}\right| . }$

Or nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases} \overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}\,(2\,,-1\,,-2) }\\\overrightarrow{AI} \,(3\;;\;1\;;\;-2) \end{cases} }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $(\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}=2\times3-1\times1-2\times(-2) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}}=6-1+4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AI}}=9} \\\\\Longrightarrow\quad V=\dfrac 16\times9=\dfrac 96=\dfrac 32.$

D'où le volume $\overset{ { \white{ _. } } } { V }$ du tétraèdre $\overset{ { \white{ _. } } } { ABCI }$ est égal à $\boxed{\dfrac 32\;\text{(unités de volume)}\,.}$

3. a) Nous devons déterminer une équation de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de centre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }$ et tangente à $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P. }$

Une équation de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de centre $\overset{ { \white{ {_.} } } } { I\,(1\,,0\,,-2) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ est de la forme : $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-1)^2+(y-0)^2+(z-(-2))^2=R^2 , }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-1)^2+y^2+(z+2)^2=R^2 . }$

Or le rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ est la distance de son centre $\overset{ { \white{ _{_.}} } } { I }$ au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

${ \white{ xxi } }$ $R=\dfrac{|\,2\times2-1\times0-2\times(-2)+3\,|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ R }=\dfrac{|\,9\,|}{\sqrt{4+1+4}} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ R }=\dfrac{9}{\sqrt{9}} =\dfrac 9 3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{R=3}$

D'où, une équation de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ de centre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { I }$ et tangente à $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=9} }$

3. b) Nous devons justifier que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H(-1, 1, 0) }$ est le point de contact de $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P . }$

Montrons donc que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ vérifient l'équation de $\overset{ { \white{ _. } } } { P . }$
En effet, ${ \white{ xxi } }$ $2\times(-1)-1-2\times0+3=-2-2+3=0.$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { IH }$ est égale à la longueur du rayon de la sphère $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ , soit 3.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $IH=\sqrt{(-1-1)^2+(0-1)^2+(-2-0)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ HI }=\sqrt{4+1+4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ HI }=\sqrt{9} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ HI }=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{IH=3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H(-1, 1, 0) }$ est le point de contact de $\overset{ { \white{ _. } } } { (S) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$

3. c) Déterminons une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (IH). }$

Le vecteur $\overset{ { \white{ _. } } } { \overrightarrow{IH} }$ est un vecteur directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (IH). }$
Déterminons ses coordonnées.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}I(1\;;\;0\;;\;-2)\\H(-1\;;\;1\;;\;0)\end{cases}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {IH}\,(-1-1\;;\; 1-0\;;\;0+2)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {IH}\,(-2\;;\; 1\;;\;2)}$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M(x, y, z) }$ un point de l'espace.

${ \white{ xxi } }$ $M\in (IH)\quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{IM} \;\text{et}\;\overrightarrow{IH}\;\text{sont colinéaires} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in (IH)}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,t\in\R : \overrightarrow{IM} =t\,\overrightarrow{IH} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in (IH)}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,t\in\R : \begin{cases} x-x_I=t \times x_{\overrightarrow{IH}}\\y-y_I=t \times y_{\overrightarrow{IH}}\\z-z_I=t \times z_{\overrightarrow{IH}} \end{cases} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in (IH)}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,t\in\R : \begin{cases} x-1=t \times (-2)\\y-0=t \times 1\\z-(-2)=t \times 2 \end{cases} }$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ M\in (IH)}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,t\in\R : \begin{cases} x=1-2t \\y=t\\z=-2+2t \end{cases} }$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (IH)}$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\begin{cases} x=1-2t \\y=t\\z=-2+2t \end{cases} \quad\text{avec}\quad t\in \R} }$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ le cercle du plan $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P }$ de centre $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { H }$ et tangent à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC). }$

4. a) Montrons que le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ est de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { r = 1. }$

Le rayon du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ est la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { d(H,(AC)) }$ du point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (AC). }$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { d(H,(AC))= \dfrac{||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||}{||\overrightarrow{AC}||} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons $\overset{ { \white{ _. } } } { ||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||. }$

Les coordonnées de ${ \overrightarrow{AC} }$ et de ${ \overrightarrow{AH} }$ sont données par :

$\overset{ { \white{ _. } } } { \begin{cases}\overrightarrow{AC}\,( 0+2,1+1,1-0)\\\overrightarrow{AH}\,(-1+2,1+1,0-0) \end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}\overrightarrow{AC}\,(2,2,1)\\\overrightarrow{AH}\,( 1,2,0) \end{cases} }$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&2&1\\1&2&0\end{vmatrix} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}}=(2\times0-2\times1)\vec i-(2\times0-1\times1)\vec j+(2\times2-1\times2)\vec k } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}}=-2\vec i+\vec j+2\vec k }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\quad||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad ||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||}=\sqrt{4+1+4} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad ||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||}=\sqrt{9} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{D'où }\quad ||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||}=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AH}||=3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons $\overset{ { \white{ _. } } } { ||\overrightarrow{AC}||. }$

${ \white{ xxi } }$ $||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{2^2+2^2+1^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ||\overrightarrow{AC}||}=\sqrt{4+4+1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ||\overrightarrow{AC}||}=\sqrt{9} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ ||\overrightarrow{AC}||}=3 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{||\overrightarrow{AC}||=3}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { d(H,(AC))= \dfrac 3 3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{d(H,(AC))=1} }$

Par conséquent, le rayon du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ est égal à 1.

4. b) Nous devons montrer qu'il existe un point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (IH), }$ distinct de $\overset{ { \white{ _. } } } { I, }$ tel que la distance $\overset{ { \white{ _. } } } { d(M,P) }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ à $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est égale à 3.

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { IH=3 }$ , soit que $\overset{ { \white{ _. } } } { d(I, P)=3. }$
Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { M\in(IH) }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ soit le milieu du segment $\overset{ { \white{ _. } } } { [IM]. }$
Ce point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ existe et est tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { d(M, P)=3. }$

4. c) Nous devons en déduire que les deux sphères de centres respectifs $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R = \sqrt{10} }$ coupent $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ suivant le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta. }$

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ un point quelconque du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient à la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R = \sqrt{10}. }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient au cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ et de rayon 1.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { ZH = 1 . }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { MH = 3 . }$

Nous savons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { MHZ }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H. }$

Par conséquent, par le théorème de Pythagore, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { MZ^2 = MH^2 + ZH^2 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad MZ^2 = MH^2 + ZH^2\quad\Longrightarrow\quad MZ^2=3^2+1^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad MZ^2 = MH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad MZ^2=9+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad MZ^2 = MH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad MZ^2=10 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad MZ^2 = MH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{MZ = \sqrt {10} }}$

D'où, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient à la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{10}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient à la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R = \sqrt{10}. }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient au cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ et de rayon 1.
Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { ZH = 1 . }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { IH = 3 . }$

Nous savons que le triangle $\overset{ { \white{ _. } } } { IHZ }$ est rectangle en $\overset{ { \white{ _. } } } { H. }$

Par conséquent, par le théorème de Pythagore, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { IZ^2 = IH^2 + ZH^2 . }$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\quad IZ^2 = IH^2 + ZH^2\quad\Longrightarrow\quad IZ^2=3^2+1^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad IZ^2 = IH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad IZ^2=9+1 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\text{Or }\quad IZ^2 = IH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad IZ^2=10 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad IZ^2 = IH^2 + ZH^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{IZ = \sqrt {10} }}$

D'où, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient à la sphère de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{10}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ En conséquence, nous venons de montrer que tout point $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ appartient aux deux sphères de centres respectifs $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { \sqrt{10}. }$
De plus, $\overset{ { \white{ _. } } } { Z }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ puisque le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta }$ est inclus au plan $\overset{ { \white{ _. } } } { P . }$

Donc, les deux sphères de centres respectifs $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { I }$ et de rayon $\overset{ { \white{ _. } } } { R = \sqrt{10} }$ coupent $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ suivant le cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \zeta. }$
_{Merci à Hiphigenie et malou pour l'élaboration de cette fiche.}

Publié par malou le 28-05-2025

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