2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct
,
on considère les points A, B et D d'affixes respectives
et .
Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, on a placé les points A et B.
a) Vérifier que
b) Montrer que BAD est un triangle rectangle et isocèle.
c) Ecrire sous forme exponentielle.
d) Donner alors l'écriture de sous forme exponentielle.
e) Construire le point .
3. a) Montrer que la fonction réalise une bijection de
b) En déduire qu'il existe un unique réel tel que .
c) Soit E le point d'affixe et H son projeté orthogonal sur l'axe .
Calculer
d) En déduire que
4. Soit C le point d'affixe tel que ABCD est un carré.
a) Montrer que .
b) Donner à l'aide de l'écriture exponentielle de .
4 points
exercice 2
Dans une région, des chevaux sont touchés par une maladie
contagieuse.
Un test aide à la détection de cette maladie.
Si le cheval est malade, le test est positif dans
des cas.
Si le cheval n'est pas malade, le test est
négatif dans des cas.
1. On choisit au hasard un cheval de cette région.
On considère les évènements suivants :
M : « Le cheval est malade » et : « Le cheval n'est pas malade ».
T : « Le test est positif » et : « Le test est négatif ».
a) Donner les probabilités et .
b) Montrer que .
c) Calculer la probabilité que le cheval choisi soit malade sachant que son test est positif.
2. Un fermier de cette région possède un troupeau de 5 chevaux.
Pour dépister la maladie dans ce troupeau, il procède comme suit :
Le fermier choisit au hasard un cheval et effectue le test.
Si le cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux.
Si le cheval est testé négatif, le fermier teste un deuxième cheval. Si le deuxième cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux. Si le deuxième cheval est testé négatif, le fermier teste un troisième cheval et continue à procéder de la même manière jusqu'à ce qu'il obtienne un cheval testé positif, s'il existe.
Si les 5 chevaux sont testés négatifs alors ils ne seront pas vaccinés.
Pour un seul cheval, le test de dépistage coûte 10 dinars et le vaccin coûte 40 dinars.
Soit X l'aléa numérique égal à la dépense du fermier en dinars.
a) Calculer .
b) Montrer que .
c) Déterminer la loi de probabilité de X.
7 points
exercice 3
A) On considère la fonction f définie sur par et on désigne par sa courbe dans un repère orthonormé .
1. a) Montrer que
Interpréter graphiquement.
b) Calculer
et montrer que la droite est une asymptote à au voisinage de
c) Étudier la position relative de et .
2. a) Montrer que pour tout réel , .
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que l'équation admet exactement deux solutions et telles que
d) Montrer que pour tout ,
3. Dans la figure 2 de l'annexe ci-jointe, on a placé dans le repère les réels et .
a) Tracer dans le repère la courbe .
b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe et les droites d'équations respectives et .
B)1. On considère la suite définie sur par
a) Montrer que pour tout ,
b) En déduire
2. Soit la suite définie sur par
a) Montrer que pour tout ,
b) Montrer que la suite est croissante et majorée.
c) Montrer alors que la suite converge vers un réel et que
5 points
exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct
On considère les points
et .
1. a) Déterminer les composantes du vecteur .
b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan .
c) Montrer qu'une équation cartésienne de est .
2. a) Vérifier que le point n'appartient pas au plan .
b) Calculer le volume du tétraèdre .
3. a) Déterminer une équation de la sphère de centre et tangente à .
b) Justifier que le point est le point de contact de et .
c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
4. Soit le cercle du plan de centre et tangent à la droite .
a) Montrer que le cercle est de rayon .
b) Montrer qu'il existe un point de la droite , distinct de , tel que la distance de à est égale à .
c) En déduire que les deux sphères de centres respectifs et et de rayon coupent suivant le cercle .
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l'équation ~:~ z^2 - 3(\sqrt{3} + \text i)z + 4(1 + \text i\sqrt{3}) = 0)
.^2 = 2 + 2\text i\sqrt{3})
.)
.)
,
on considère les points A, B et D d'affixes respectives
et z_A)
.
sous forme exponentielle.
sous forme exponentielle.
.
réalise une bijection de
![\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ \text{ sur } [0, +\infty].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right[ \text{ sur } [0, +\infty].)
tel que 
.
et H son projeté orthogonal sur l'axe )
.
tel que ABCD est un carré.z_A)
.
l'écriture exponentielle de 
des chevaux sont touchés par une maladie
contagieuse.
Si le cheval est malade, le test est positif dans
des cas.
des cas.
: « Le cheval n'est pas malade ».
: « Le test est négatif »., \, p(T/M))
et )
. = 0,3)
.
Si le cheval est testé positif, le fermier s'arrête de tester et vaccine les 5 chevaux.)
. = 0,21)
.
par  = -\frac{1}{2} e^{2x} + e^x + 2x)
et on désigne par )
sa courbe dans un repère orthonormé )
. = -\infty \quad \text{et que} \quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = -\infty.)
 )
et montrer que la droite 
est une asymptote à 
.
,  = (e^x + 1)(2 - e^x))
. = 0)
admet exactement deux solutions 
et 
telles que 
![x \in [\alpha, 0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in [\alpha, 0])
,
 \leq \dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad 0 \leq \dfrac{f(x)}{1 - f(x)} \leq 1.)
de la partie du plan limitée par la courbe 
et 
.)
définie sur 
par
\Big)^n dt, , n \in \mathbb{N}^*.)
,
^n.)
)
la suite définie sur 
}{1 - f(t)} \left(1 - \Big(f(t)\Big)^n\right) dt.)
et que
.)
\;,\;B(1, 3, 1)\;,\;C(0,1,1))
et )
.
1. a) Déterminer les composantes du vecteur 
.
.
.
n'appartient pas au plan 
du tétraèdre 
.)
de centre )
est le point de contact de )
.
le cercle du plan 
et tangent à la droite )
.
.
de la droite )
de 
.
coupent 
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