Exercice sur les fonctions sinus et cosinus
exercice
1. On considère la fonction
définie sur
R par
.
a. Démontrer que la fonction
est impaire et périodique de périodique
de période
.
b. En déduire qu'on peut réduire l'ensemble d'étude à l'intervalle
.
c. Déterminer les variations de la fonction sur cet intervalle.
2. Calculer
.
1. a. La fonction
étant définie sur
R, soit un réel
quelconque. On a :
.
La fonction
est donc impaire.
.
La fonction
est donc pédiodique de période
.
b. est périodique de période
. On peut donc l'étudier
seulement sur
.
est impaire. On peut donc l'étudier seulement sur
.
c. La fonction
est dérivable sur
R en tant que quotient de fonctions dérivables sur
R
dont le dénominateur ne s'annule pas.
Soit
un réel de
.
Le dénominateur étant strictement positif,
a le même signe que
.
Or
Par conséquent
est strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
.
2. Il s'agit d'une forme indéterminée.
Or
et
.
Donc
.