Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths Tale > Nombres complexes
(1+i) \text{ et } z_2=(1+i)^8)
1. Déterminer le module puis l'argument de
sans déterminer la forme algébrique deZ.
2. En déduire sa forme exponentielle
3. Donner la forme trigonométrique de Z puis les valeurs exactes de \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12}))
.
.
1. Donner la forme algébrique de j
2. Calculer
3. En déduire que j est une solution de l'équation
4. En déduire la deuxième solution de l'équation
Forme exponentielle de(1+i))
On a^2+1^2}=\sqrt{4}=2 \text{ donc } \sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6}))=2e^{i \frac{\pi}{6}})
On a=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4}))=\sqrt{2 e^{i\frac{\pi}{4}})
On déduit que}=2\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{12}})
Forme exponentielle de^8)
On a
d'après ce qui précède donc ^8=(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^8=(\sqrt{2})^8e^{i2\pi}=2^4=16)
1. On pose
^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \text{ et } z_1=2(\frac{-\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=2(cos(3\frac{\pi}{4})+isin(3\frac{\pi}{4})))
donc=\frac{3\pi}{4}+2k\pi)
^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \text{ et } z_2=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))=2e^{i\frac{\pi}{3}})
donc=\frac{\pi}{3}+2k\pi)
On déduit que=arg(z_1)-arg(z_2)=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12})
2. On déduit la forme exponentielle de
3. On déduit que+isin(\frac{5\pi}{12}))
Or(1-i\sqrt{3})}{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{6}+i\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})
Par identification, on déduit que=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4})
Parmi tous les nombres complexes, on note.
1. La forme algébrique de j est+isin(\frac{2\pi}{3})=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})
2.^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})
3. On a+(\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=0)
donc j est une solution de l'équation
4. On a^3=e^{i2\pi}=1)
.
On déduit que(z-j^2))
donc la deuxième solution de l'équation
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le
Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe
Activités rapides
exercice 1
Donner la forme exponentielle des nombres complexesexercice 2
1. Déterminer le module puis l'argument de
2. En déduire sa forme exponentielle
3. Donner la forme trigonométrique de Z puis les valeurs exactes de
exercice 3
Parmi tous les nombres complexes, on note1. Donner la forme algébrique de j
2. Calculer
3. En déduire que j est une solution de l'équation
4. En déduire la deuxième solution de l'équation
exercice 1
Forme exponentielle de
On a
On a
On déduit que
Forme exponentielle de
On a
exercice 2
1. On pose
donc
donc
On déduit que
2. On déduit la forme exponentielle de
3. On déduit que
Or
Par identification, on déduit que
exercice 3
Parmi tous les nombres complexes, on note
1. La forme algébrique de j est
2.
3. On a
donc j est une solution de l'équation
4. On a
On déduit que
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