Fiche de mathématiques
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Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

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Activités rapides

exercice 1

Donner la forme exponentielle des nombres complexes z_1=(\sqrt{3}+i)(1+i) \text{ et } z_2=(1+i)^8



exercice 2


1. Déterminer le module puis l'argument de Z=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}} sans déterminer la forme algébrique deZ.

2. En déduire sa forme exponentielle

3. Donner la forme trigonométrique de Z puis les valeurs exactes de cos(\frac{5\pi}{12}) \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12}).

exercice 3

Parmi tous les nombres complexes, on note j=e^{i\frac{2\pi}{3}}.

1. Donner la forme algébrique de j

2. Calculer j^2

3. En déduire que j est une solution de l'équation 1+z+z^2=0

4. En déduire la deuxième solution de l'équation





exercice 1


Forme exponentielle de z_1=(\sqrt{3}+i)(1+i)

On a |\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2 \text{ donc } \sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6}))=2e^{i \frac{\pi}{6}}

On a |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \text{ donc } 1+i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4}))=\sqrt{2 e^{i\frac{\pi}{4}}

On déduit que z_1=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}e^{i\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})}=2\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}

Forme exponentielle de z_2=(1+i)^8

On a 1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} d'après ce qui précède donc z_2=(1+i)^8=(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^8=(\sqrt{2})^8e^{i2\pi}=2^4=16


exercice 2



1. On pose z_1=-\sqrt{2}+i\sqrt{2} \text{ et } z_2=1+i\sqrt{3} \text{ donc } Z=\frac{z_1}{z_2}

|z_1|=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \text{ et } z_1=2(\frac{-\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=2(cos(3\frac{\pi}{4})+isin(3\frac{\pi}{4}))

donc z_1=2e^{i\frac{3\pi}{4}} \text{ donc } arg(z_1)=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \text{ et } z_2=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3}))=2e^{i\frac{\pi}{3}}
donc arg(z_2)=\frac{\pi}{3}+2k\pi

On déduit que |Z|=|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}=\frac{2}{2}=1 \text{ et } arg(Z)=arg(z_1)-arg(z_2)=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{12}

2. On déduit la forme exponentielle de Z,Z=e^{i\frac{5\pi}{12}}

3. On déduit que Z=cos(\frac{5\pi}{12})+isin(\frac{5\pi}{12})

Or Z=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}}=\frac{(-\sqrt{2}+i\sqrt{2})(1-i\sqrt{3})}{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{6}+i\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

Par identification, on déduit que cos(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}


exercice 3


Parmi tous les nombres complexes, on note j=e^{i\frac{2\pi}{3}}.

1. La forme algébrique de j est cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3})=\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}

2. j^2=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}

3. On a 1+j+j^2=1+(\frac{-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{-1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=0

donc j est une solution de l'équation 1+z+z^2=0

4. On a j^3=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^3=e^{i2\pi}=1.

On déduit que z^2+z+1=(z-j)(z-j^2) donc la deuxième solution de l'équation 1+z+z^2=0 \text{ est } j^2
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