Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe
Activités rapides
exercice 1
Donner la forme exponentielle des nombres complexes
exercice 2
1. Déterminer le module puis l'argument de
![Z=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Z=\frac{-\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{1+i\sqrt{3}})
sans déterminer la forme algébrique deZ.
2. En déduire sa forme exponentielle
3. Donner la forme trigonométrique de Z puis les valeurs exactes de
![cos(\frac{5\pi}{12}) \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?cos(\frac{5\pi}{12}) \text{ et } sin(\frac{5\pi}{12}))
.
exercice 3
Parmi tous les nombres complexes, on note
![j=e^{i\frac{2\pi}{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j=e^{i\frac{2\pi}{3}})
.
1. Donner la forme algébrique de j
2. Calculer
3. En déduire que j est une solution de l'équation
4. En déduire la deuxième solution de l'équation
exercice 1
Forme exponentielle de
On a
On a
On déduit que
Forme exponentielle de
On a
![1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})
d'après ce qui précède donc
exercice 2
1. On pose
donc
donc
On déduit que
2. On déduit la forme exponentielle de
3. On déduit que
Or
Par identification, on déduit que
exercice 3
Parmi tous les nombres complexes, on note
![j=e^{i\frac{2\pi}{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j=e^{i\frac{2\pi}{3}})
.
1. La forme algébrique de j est
2.
3. On a
donc j est une solution de l'équation
4. On a
![j^3=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^3=e^{i2\pi}=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?j^3=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^3=e^{i2\pi}=1)
.
On déduit que
![z^2+z+1=(z-j)(z-j^2)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z^2+z+1=(z-j)(z-j^2))
donc la deuxième solution de l'équation
![1+z+z^2=0 \text{ est } j^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1+z+z^2=0 \text{ est } j^2)