Fiche de mathématiques
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Produit scalaire dans l'espace

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Cours de Terminale S
Prérequis :
Ce chapitre est un complément de ce qui a été vu en 1reS sur le produit scalaire dans le plan. Il faut donc avoir bien compris cette notion et maîtriser l'aspect calculatoire et les raisonnements qui s'y rapportent. Puisqu'on travaillera dans l'espace il est important de maîtriser le chapitre précédent sur la géométrie dans l'espace.

Enjeu :
Ce chapitre possède deux principaux enjeux. Le premier consiste à être capable de montrer que deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux. Le second est de fournir un lien entre une équation cartésienne d'un plan et les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan.



Voir le cours de 1ère sur les produits scalaires

1 Produit scalaire dans l'espace

On considère deux vecteurs de l'espace \vec{u} et \vec{v}. Il est alors possible de trouver trois points coplanaires de l'espace A, B et C tels que \vec{u}=\overrightarrow{AB} et \vec{v}=\overrightarrow{AC}.
On définit alors le produit scalaire \vec{u}.\vec{v} dans l'espace comme le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} dans le plan (ABC). On peut donc écrire :
Définition :

Pour tous vecteurs \vec{u} et \vec{v} on a :

si \vec{u}=\vec{0} \text{ ou } \vec{v}=\vec{0} \text{ alors }\vec{u}.\vec{v}=0}
si \vec{u}\neq\vec{0} \text{ et } \vec{v}\neq\vec{0} \text{ alors }\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}|| \times \cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)

Remarque : L'angle \left(\vec{u},\vec{v}\right) correspond à celui de deux représentants des vecteur \vec{u} et \vec{v} dans un plan dans lequel ils peuvent être tous les deux représentés.

Les propriétés suivantes qui étaient valables dans le plan, le sont encore dans l'espace.
Propriété :
On considère trois vecteurs de l'espace \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} et un réel \lambda.

\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}.
\vec{u}.\left(\vec{v}+\vec{w}\right) = \vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}.
\lambda\left(\vec{u}.\vec{v}\right) = \left(\lambda \vec{u}\right).\vec{v}=\vec{u}.\left(\lambda \vec{v}\right).
 \vec{u}.\vec{u}=\vec{u}^2=||u||^2.
 \vec{u}.\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2\right) = \dfrac{1}{2}\left(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\right).


Remarque : cette dernière propriété est très facile à retrouver en utilisant la notation de carré scalaire.
(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2+\vec{v}^2-2 \vec{u}.\vec{v}  soit \vec{u}.\vec{v}= \dfrac{1}{2}\left(\vec{u}^2+\vec{v}^2-(\vec{u}-\vec{v})^2\right)   et de même,
(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+\vec{v}^2+2 \vec{u}.\vec{v}  soit \vec{u}.\vec{v}= \dfrac{1}{2}\left((\vec{u}+\vec{v})^2-\vec{u}^2-\vec{v}^2\right)   .
On peut également calculer, comme dans le plan, un produit scalaire dans l'espace par projection.
Produit Scalaire dans l'espace - cours terminale S : image 2
On a \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC}=BC \times BC = BC^2
D'une manière générale, pour calculer \vec{u}.\vec{v} on peut calculer, quand \vec{u}\neq \vec{0}, \vec{u}.\vec{v'}\vec{v'} est le projeté orthogonal de \vec{v} sur une droite dirigée par le vecteur \vec{u}.
Propriété :
Deux vecteurs de l'espace \vec{u} et \vec{v} sont dits orthogonaux si, et seulement si, \vec{u}.\vec{v}=0.

Démonstration :
Si \vec{u}=\vec{0} ou si \vec{v}=\vec{0} alors \vec{u}.\vec{v}=0.
Le vecteur nul est orthogonal, par définition, à tous les vecteurs.
Prenons maintenant deux vecteurs non nuls.
Il existe trois points A, B et C coplanaires tels que \vec{u}=\overrightarrow{AB} et \vec{v}=\overrightarrow{AC}.
Ainsi \vec{u}.\vec{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB\times AC \times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right).
Par conséquent \vec{u}.\vec{v}=0 \Leftrightarrow \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) = 0  \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} orthogonaux.

Voyons maintenant comment exprimer le produit scalaire dans l'espace à l'aide des coordonnées des vecteurs.
On munit l'espace d'un repère orthonormé \left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) et on considère les vecteurs \vec{u}(x,y,z) et \vec{v}\left(x',y',z'\right).
 \begin{array}{rl} \vec{u}.\vec{v}&= \left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right).\left(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}\right) \\\\ &=x\vec{i}.x'\vec{i}+x\vec{i}.y'\vec{j}+x\vec{i}.z'\vec{k}+y\vec{j}.x'\vec{i}+y\vec{j}.y'\vec{j}+y\vec{j}.z'\vec{k}+z\vec{k}.x'\vec{i}+z\vec{k}.y'\vec{j}+z\vec{k}.z'\vec{k} \\\\ &=xx'+yy'+zz'\end{array}
car les vecteurs \vec{i},\vec{j} et \vec{k} sont orthogonaux entre eux et \vec{i}.\vec{i}=\vec{j}.\vec{j}=\vec{k}.\vec{k}=1.
On a donc la propriété suivante :
Propriété :

Dans un repère orthonormé \left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) on considère deux vecteurs \vec{u}(x,y,z) et \vec{v}\left(x',y',z'\right) alors :

\vec{u}.\vec{v} = xx'+yy'+zz'.
||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

Exemple : si, dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \vec{u}(1;2;3) et \vec{v}(5,-1,4) alors \vec{u}.\vec{v} = 1\times 5 + 2\times (-1) + 3\times 4 = 15
et ||\vec{u}|| = \sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.

2 Equation cartésienne d'un plan

Définition :
Un vecteur non nul \vec{n} est dit normal au plan \mathscr{P} si, pour tous points A et M de \mathscr{P}, on a \vec{n}.\overrightarrow{AM}=0

Remarque : Il existe évidemment une infinité de vecteurs normaux à un plan : ce sont tous les vecteurs colinéaires au vecteur \vec{n}.
Propriété :
Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Cette propriété va nous permettre d'une part de vérifier facilement qu'un vecteur est normal à un plan et, d'autre part, de déteminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan.
Démonstration :
La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque.
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non colinéaires d'un plan \mathscr{P}, \vec{w} un vecteur de \mathscr{P} et \vec{n} un vecteur orthogonal à \vec{u} et \vec{v}. Il existe donc deux réels a et b tels que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Ainsi \vec{w}.\vec{n}=a\vec{u}.\vec{n}+b\vec{v}.\vec{n} = 0
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan \mathscr{P}. Il lui est par conséquent orthogonal.

Exemple : On souhaite déterminer les coordonnées d'un vecteur \vec{n} normal à un plan dirigé par \vec{u}(2,-1,3) et \vec{v}(4,0,2).
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires : une coordonnée est nulle pour l'un mais pas pour l'autre.
On note \vec{n}(x,y,z).
Puisque \vec{n} est normal au plan dirigé par \vec{u} et \vec{v} alors \vec{u}.\vec{n}=0 et \vec{u}.\vec{n}=0.
On obtient ainsi les deux équations 2x-y+3z=0 et 4x+2z=0
A l'aide de la deuxième équation, on obtient z=-2x. On remplace dans la première :
2x-y-6x = 0\Leftrightarrow -4x-y = 0 \Leftrightarrow y=-4x.
On choisit, par exemple x=1 et on trouve ainsi \vec{v}(1,-4,-2).
On vérifie : \vec{u}.\vec{n} = 2 + 4 -6 = 0 \checkmark et \vec{v}.\vec{n}=4+0-4=0\checkmark.
Un vecteur normal au plan dirigé par les vecteurs \vec{u} et \vec{v} est \vec{n}(1,-4,-2).
Théorème :
On considère un vecteur \vec{n}(a,b,c) normal à un plan \mathscr{P} Il existe alors un réel d tel qu'une équation du plan \mathscr{P} soit ax+by+cz+d=0. Cette équation est appelée équation cartésienne du plan \mathscr{P}.

Démonstration :
Soit A_0\left(x_0,y_0,z_0\right) un point du plan \mathscr{P}.
Pour tout point M(x,y,z), les vecteurs \vec{n} et \overrightarrow{A_0M} sont orthogonaux. Par conséquent \vec{n}.\overrightarrow{A_0M}=0.
Or \overrightarrow{A_0M}\left(x-x_0,y-y_0,z-z_0\right).
Ainsi :
a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0 \Leftrightarrow ax+by+cz -\left(ax_0+by_0+cz_0\right)=0.
En posant d=-\left(ax_0+by_0+cz_0\right), on obtient l'équation ax+by+cz+d=0.

Exemple : On cherche une équation du plan \mathscr{P} passant par A(4;2;-3) dont un vecteur normal est \vec{n}(1;-2;-1).
Une équation du plan \mathscr{P} est de la forme x-2y-z+d=0.
Le point A appartient au plan. Ses coordonnées vérifient donc l'équation :
4-2\times 2-(-3)+d=0 \Leftrightarrow 3+d=0 \Leftrightarrow d=-3
Une équation de \mathscr{P} est donc x-2y-z-3=0
Propriété réciproque :
On considère trois réels a,b et c non tous nuls et un réel quelconque d. L'ensemble \mathscr{E} des points M(x,y,z) tels que ax+by+cz+d=0 est un plan dont un vecteur normal est \vec{n}(a,b,c).

Démonstration :
On peut supposer que a\neq 0. Par conséquent les coordonnées du point A\left(-\dfrac{d}{a};0;0\right) vérifie l'équation ax+by+cz+d=0
On considère le vecteur non nul \vec{n}(a,b,c).
Soit M(x,y,z) un point de \mathscr{E}.
On a alors \overrightarrow{AM}.\vec{n} = a\left(x+\dfrac{d}{a}\right)+by+cz = ax+by+cz+d.
Puisque M\in \mathscr{E}, on a donc \overrightarrow{AM}.\vec{n} =0.
Ainsi \mathscr{E} est l'ensemble des points M tels que \overrightarrow{AM} et \vec{n} soit orthogonaux. Il s'agit donc du plan passant par A dont un vecteur normal est \vec{n}.

Exemple : On considère le plan d'équation 4x-2y+3z-1=0. Un vecteur normal à ce plan est \vec{n}(4;-2;3). Le point A(2;-1;-3) appartient au plan car : 4\times 2-2\times (-1)+3\times (-3)-1=0.

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