Fiche de mathématiques
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Produit Scalaire dans l'espace

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Exercice de Terminale S
Voir le cours de 1ère sur le produit scalaire


exercice

On considère la pavé droit A B C D E F G H ci-dessous, pour lequel AB=6,AD=4 et AE=2.
I, J et K sont les points tels que \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB},\;\; \overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD},\;\;\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}.
Produit Scalaire dans l'espace - Exercice Terminale S : image 1
On se place dans le repère orthonormé \left(A;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK}\right).
1. Vérifier que le vecteur \vec{n} de coordonnées (2;2;-9) est normal au plan (IJG).
2. Déterminer une équation du plan (IJG).
3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).





1. Déterminons dans un premier temps les coordonnées des points :I(1;0;0), J(0;1;0) et G(6,4,2).
Déterminons ensuite les coordonnées des vecteurs : \overrightarrow{IJ}(-1;1;0) et \overrightarrow{IG}(5;4;2)
\dfrac{-1}{5}\neq \dfrac{0}{2} : les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Regardons enfin les produits scalaires : \vec{n}.\overrightarrow{IJ}=-2+2+0=0 et \vec{n}.\overrightarrow{IG}=10+8-18=0.
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ; il est donc normal à ce plan.

2. Une équation du plan (IJG) est donc de la forme : 2x+2y-9z+d=0.
Le point I appartient au plan (IJG) ; ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
Ainsi  2+d=0 soit d=-2.
Une équation du plan (IJG) est donc 2x+2y-9z-2=0.

3. On a B(6;0;0) et F(6;0;2). Ainsi \overrightarrow{BF}(0;0;2).
Une représentation paramétrique de la droite (BF) est donc \left[\begin{array}{rcl}x&=&6\\y&=&0 \quad t\in \R \\z&=&2t\end{array}.
Les coordonnées du point L vérifient les équations de la représentation paramétrique et celle du plan.
On a donc 2\times 6 -9\times 2t-2=0 \Leftrightarrow 10-18t=0 \Leftrightarrow t= \dfrac{5}{9}.
Ainsi, en remplaçant t par  \dfrac{5}{9}dans la représentation paramétrique de (BF) on obtient les coordonnées de L \left( 6;0;\dfrac{10}{9}\right).

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