8 points

exercice 1

Partie A

1. Voir graphique plus bas.

2. A la calculatrice on obtient qu'une équation de la droite d'ajustement affine de y en fonction de x obtenue par la méthode des moindres carrés (avec les coefficients arrondis au millième) est :



3. Voir graphique (on place deux points appartenant à la droite).

4. 1871 est 2 décennies après 1851, donc grâce à ce modèle on estime la population en 1871 à :

Partie B

1. 1921 est 7 décennies après 1851, en utilisant le modèle de la partie A, on trouve :



Donc le modèle de la partie A prévoyait ce résultat à 1,6 millions près.

2. On utilise le modèle de la partie A, on sait que 16 décennies se sont écoulées entre 1851 et 2011 or


Or 147,9 est très éloigné de la population en 2011, (147,11 est plus du double de la population en 2011).
Donc ce modèle ne reste pas valable jusqu'à nos jours.

Partie C

1. Le taux d'évolution est :



Donc le taux d'évolution global exprimé en pourcentage arrondi au centième est 64,65%.

2. Pour trouver le taux moyen annuel t_m on cherche à résoudre :



Donc %.

3. (a) (U_n) est une suite géométrique de raison 1,005 et de premier terme U₀ = 39,6. Alors pout tout entier naturel n :
.

Alors

Et

(b) U₃ représente la population française en millions approximée grâce à notre nouveau modèle en 1914 et U₁₀₀ celle de 2011. 8 points

exercice 2

Partie A

1. Bénéfice = recette -coût, donc si on frabrique et vend x objets :



2. Soit alors


3. On dresse le tableau de signe de f' puis on déduit du signe de f' les variations de f. Or :



Donc, le tableau de variations de f est le suivant :

4. L'entreprise doit vendre 27500 objets pour faire un bénéfice maximal. Dans ce cas le bénéfice est de f(27500). Or

Donc le bénéfice sera de 5 062 500 e .

5. (a) Pour réaliser un bénéfice supérieur à 2 millions d'euros on lit graphiquement que l'entreprise doit vendre entre 10 000 et 45 000 téléphones.

(b) L'entreprise n'a pas intérêt à produire 60 000 exemplaires en 2016 car on peut voir graphiquement que le bénéfice pour 60 000 exemplaires est négatif.

Partie B

1. On peut rentrer en C2 : "=B2/A2 ".

2. D'après le tableau il faut fabriquer et vendre 16 000 exemplaires pour avoir un bénéfice unitaire maximum.

Partie C

1. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d'appareil défectueux. Grâce à la calculatrice on trouve que


2.

Donc la probabilité pour qu'un jour donné la production ne soit pas satisfaisante est de 0,023. 4 points

exercice 3

La justification n'était pas demandée elle est donnée ici de manière à mieux comprendre.

1. Réponse b
Lorsque p est la proportion du caractère étudié dans la population et n le nombre de personne dans l'échantillon alors l'intervalle de fluctuation à au moins 05% d'une fréquence d'un échantillon de taille n est :


Or, ici p = 0,49 et n = 100 donc :



2. Réponse a


3. Réponse c


4. Réponse b
Y suit une loi binomiale de B(5; 0,49) on trouve alors à la calculatrice