Fiche de mathématiques
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BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

TECHNIQUES DE LA MUSIQUE ET DE LA DANSE

SESSION 2016

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LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES : 
OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1 
OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2 
AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.

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Annexe de l'exercice 4 (à rendre avec la copie)

sujet et corrigé bac TMD 2016 : image 2

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exercice 1


1. P(F)=P(\overline{G})=1-P(G)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}

2.
sujet et corrigé bac TMD 2016 : image 1

3. L'événement G\cap C : "L'élève est un garçon inscrit à la chorale"

P(G\cap C)= P(G)\times P_G(C)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{25}

4. P(C)=P(G\cap C)+P(F\cap C)=\dfrac{1}{25}+\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{25}+ \dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{25}

5. P_C(G)=\dfrac{P(G\cap C}{P(C)}=\dfrac{\frac{1}{25}}{\frac{6}{25}}=\dfrac{1}{6}

6. La probabilité demandée est P_C(F)=P_C(\overline{G})=1-P_C(G)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}

exercice 2


1. I=I_0\times 10^7 donc N(I)=10\log \left(\dfrac{I_0\times 10^7}{I_0}\right)=10\log 10^7=70 dB.

2. On cherche I\text{ tel que }10\log \dfrac{I}{I_0}=130\text{ soit }\log \dfrac{I}{I_0}=13 .

\log I-\log I_0=13 \text{ soit } \log I=13+\log I_0 ce qui donne : I=10^{13+\log I_0}

3.a N(I_2)-N(I_1)=10\log \dfrac{I_2}{I_0}-10\log \dfrac{I_1}{I_0}=10(\log I_2-\log I_0-\log I_1+\log I_0)=10(\log I_2 - \log I_1)=10\log \dfrac{I_2}{I_1}

b. Supposons que I_2=2I_1

Alors, N(I_2)-N(I_1)=10\log \dfrac{I_2}{I_1}=10\log 2  ; or 10\log 2\approx 3,01

On peut donc dire que le niveau sonore a augmenté d'environ 3 dB.

c. Supposons que N(I_e)-N(I_p)=20 dB.

10\log \dfrac{I_e}{I_p}=20\text{ soit } \log \dfrac{I_e}{I_p}=2\text{ soit }\dfrac{I_e}{I_p}=10^2

On obtient bien I_e=100I_p

exercice 3 (Enseignement obligatoire au choix)


1.a La fonction f est dérivable sur I comme quotient de deux fonctions définies et dérivables sur I, et dont le dénominateur ne s'annule pas sur I

f\,'(x)=\dfrac{x\times \frac{1}{x}-1\times \ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}

1.b 1-\ln x = 0 pour \ln x = 1 soit x=\text{e} (qui appartient bien à I)

et : 1-\ln x > 0 pour 1>\ln x soit pour x\in\left[\frac{1}{2}\;;\text{e}\right[

1.c Sur I, x^2 > 0 donc f\,'(x) a le même signe que 1-\ln x

D'après 1.b , sur \left[\frac{1}{2}\;;\text{e}\right[\quad f\,'(x) > 0\quad\text{et sur } [\text{e}\;;4]\quad f\,'(x)\le 0

\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & \frac{1}{2} & & \text{e} & & 4& \\ \hline {f'(x)} & & + & 0 & - & & \\ \hline {f} & & \nearrow &^{\frac{1}{e}} & \searrow & & \\ \hline \end{array}

Remarque : f(\text{e})=\dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}}=\dfrac{1}{\text{e}}

2.a Il s'agit du point où la courbe admet son maximum. A(\text{e}\;;\frac{1}{\text{e}})

2.b f(1)=\dfrac{\ln 1}{1}=0 et f\,'(1)=\dfrac{1-\ln 1}{1^2}=1

Une équation de la tangente D à C en B point de la courbe d'abscisse 1 est : y=f(1)+f\,'(1)(x-1)
soit D\text{:} y=x-1

3.
\begin{array} {|c|c|cc|cc|cc|cc|cc|ccc|} \hline x &0,5 & & 1 & & 1,5 & & 2 & & \text{e}& & 3,5& & 4 & \\ \hline {f(x)} &-1,39 & & 0 & & 0,27 & & 0,35 & & 0,37 & & 0,36& & 0,35 & \\ \hline \end{array}


4.
sujet et corrigé bac TMD 2016 : image 6


exercice 4 Enseignement renforcé (au choix)


Préambule : dans tout cet exercice, on travaille dans I=\left[\dfrac{-5}{2}\;;5\right].
1. f(-1)=\dfrac{-1+2}{\text{e}^{-1}}=\dfrac{1}{\text{e}^{-1}}=\text{e}\quad\text{ et } \quad f(1)=\dfrac{1+2}{\text{e}^{1}}=\dfrac{3}{\text{e}}

2. Sur I, f(x)=0 pour x+2=0 soit x=-2 (valeur qui appartient bien à I)

Interprétation : -2 est l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

3.a La fonction f est dérivable sur I comme quotient de fonctions définies et dérivables sur I, et dont le dénominateur ne s'annule pas sur I.

f\,'(x)=\dfrac{\text{e}^x\times 1-(x+2)\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}==\dfrac{\text{e}^x( 1-(x+2)}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{-x-1}{\text{e}}

\text{e}^x>0 donc f\,'(x) a le même signe que -x-1

-x-1>0 pour -1>x soit pour x\in [-\frac{5}{2}\;;-1[

Ce qui donne : f\,'(x)>0\text{ pour } x\in x\in [-\frac{5}{2}\;;-1[\quad \text{ et } \quad f\,'(x)\le 0 \text{ pour } x\in [-1\;;5].

\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & -\frac{5}{2}& & -1 & & 5 & \\ \hline {f'(x)} & & + & 0 & - & & \\ \hline {f} & & \nearrow &^\text{e} & \searrow & & \\ \hline \end{array}
4.a F\text{ et } f sont toutes deux définies sur I.

Pour tout x \text{ de } I\text{ , } F\,'(x)=\dfrac{\text{e}^{x}\times (-1)-(-x-3)\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{\text{e}^{x}( (-1)-(-x-3))}{(\text{e}^x)^2}=\dfrac{x+2}{\text{e}^x}=f(x)

F est donc une primitive de f sur I.

b. \displaystyle{\int_{-2}^0f(t)\text{d}t=[F(t)]_{-2}^0=F(0)-F(-2)=\dfrac{-3}{\text{e}^0}-\dfrac{2-3}{e^{-2}}=-3+\text{e}^2

c.

sujet et corrigé bac TMD 2016 : image 8


Pour tout x\text{ de } [-2\;; 0], f ne prend que des valeurs positives. 1 u.a=4 cm² donc

\mathcal{A}=4\displaystyle{\int_{-2}^0f(t)\text{d}t=4(-3+\text{e}^2) cm² soit environ 17,6 cm².
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