Salut,
il me semble si je ne dis pas trop de bétise(s), que celà est équivalent à dire qu'il existerait une famille d'ouverts disjoints et non vides, qui recouvrirait ta famille.(*)
Si tel est le cas, alors ta famille d'ouverts est nécessairement finie par le théorème de Heine-Borel et c'est clairement impossible.

Maintenant, je ne pense pas que ce soit vraiment approprié ici. D'ailleurs je ne suis pas sur à 100% de la remarque (*).
a+

Je ne suis pas d'accord avec la remarque (*). Je suis d'accord avec toi pour utiliser la compacité mais là je ne vois pas ce que tu veux dire par (*)

Salut,

Il y a pas moyen d'utiliser Baire pour arriver à une contradiction c'est juste une idée comme ca j'ai pas creusé.

J'ai un peu extrapolé ...
C'est vrai si l'union est finie, mais je ne pense pas que ce soit vrai encore quand c'est dénombrable.

Je te propose ceci, je pense que ca devrait fonctionner (à vérifier cependant):

Soit une suite d'éléments définie par

Il existe une certaine suite extraite qui va converger vers un réel L de I.
Notamment L ne peut être dans aucun et même dans aucun .
Mais c'est à vérifier, j'ai fait ca sur un coin de table.
a+

excuse-moi Cauchy, mais je ne vois pas bien comment appliquer le théorème de Baire.

Une idée est de fabriquer une suite de segements emboîtés Hn tels que chaque H_n+1 ne rencontre pas Fn. Mais il me semble que si on arrivait à appliquer le théorème de Baire, ça serait plus élégant. Si quelqu'un voit comment...

Salut ginmagnum,

ton idée avec tes segments c'est que leur intersection soit reduite à un point qui n'est dans aucun des Fn?

Pour Baire j'avais dit ca comme ca j'ai pas reussi a conclure.

J'avais commence en regardant les Fr(Fn)=Fn\int(Fn) c'est des fermes d'interieur vide donc leur reunion est d'interieur vide mais apres j'ai pas trouve.

Oui c'est ça pour les segments. Tu m'excuseras, je ne détaille pas la construction de la suite, mais en gros on peut construire une suite d'intervalles ouverts I_n, tels que I_n soit inclus dans l'adhérence de In, elle-même incluse dans I_n-1. On s'arrange en outre pour construire la suite telle que, pour chaque n, l'adhérence de I_n rencontre F_n (c'est cela qui va permettre d'itérer la construction).
Pour Baire, j'avais aussi pensé aux frontières, mais je ne crois pas qu'on puisse aboutir à une contradiction avec ça. J'ai bien essayé de montrer que la réunion des frontières était d'intérieur non vide, mais il n'ya aucune raison pour que ce soit le cas.