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(1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ?

Posté par
Samarinke 16-05-16 à 19:24

Bonjour,

Dans un exo d'algèbre, je dois montrer que la famille écrite en titre est libre.

A chaque fois que j'essaie quelque chose, ca devient peu rigoureux et j'ai l'impression de faire de la "cuisine".

Pourriez-vous m'éclairer ?

Posté par
Recomic35re : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 16-05-16 à 20:04

Je te suggère de raisonner par récurrence sur n. Pour l'hérédité, on peut montrer que si

\forall x\in \R \quad \lambda_0+ \lambda_1\cos(x)+\mu_1\sin(x)+\cdots+ \lambda_{n+1} \cos((n+1)x) + \mu_{n+1}\sin((n+1)x)=0

alors \lambda_{n+1}=\mu_{n+1}=0. Pour ce faire, toutes les astuces sont bonnes (choisir astucieusement un x, dériver etc...).

Posté par
Recomic35re : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 16-05-16 à 20:14

On peut aussi intégrer le produit avec une fonction astucieusement choisie ...

Posté par
Recomic35re : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 16-05-16 à 20:38

Si tu as croisé les séries de Fourier, le filtrage des signaux, ça peut éventuellement te donner une idée.

Posté par
lafol Moderateurre : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 16-05-16 à 23:48

Bonjour
TU peux aussi considérer l'application linéaire D, qui à f de l'espace des fonctions indéfiniment dérivables sur R associe sa dérivée seconde, et remarquer que les fonctions que tu as dans ta famille sont des vecteurs propres de D. et quand on réunit des bases d'espaces propres associés à des valeurs propres distinctes ....
(mais je ne sais plus si on apprend les trucs liés aux valeurs, vecteurs et espaces propres en sup ou si ça arrive seulement en spé ?)

Posté par
mdr_nonre : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 17-05-16 à 00:45

bonsoir : )

Tu pourrais aussi faire un passage dans les complexes pour étudier la liberté de la famille (e^{ikx})_{0\leq k \leq n}.

Posté par
Recomic35re : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 17-05-16 à 07:21

@mdr : Il vaudrait mieux prendre (e^{ikx})_{-n\leq k\leq n} .

Posté par
mdr_nonre : (1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cos nx, sin nx) libre ? 17-05-16 à 15:50

Oui c'est vrai pardon.


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