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1 exo de dm pour demain sur nbre complexe.besoin d aide

Posté par pitchounettemag (invité) 27-02-05 à 16:41

Bonjour, j'espère que vous pourrez m'aider.j'ai fai le plus gros de mon dm, mais je bloque sur cet éxercice. merci beaucoup pour votre aide.

1) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O,,),on donne les points A et B d'affixes respectives 1 et 1/2 - i√3/2.
Pour chaque point M M du plan, d'affixe z, M1 d'affixe z1 désigne l'image de M par la rotation de centre O et d'angle /3, puis M' d'affixe z' l'image de M1 par la translation de vecteur -.
Enfin, on note T la transformation qui, à chaque point M, associe le point M'.

a) Démontrer : z'= e^(i/3)z - 1
b) Déterminer l'image du point B.
c) Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l'affixe.

2) On pose z=x+iy avec x et y réels.

a) Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z'/z en fonction de x et y.
b) Démonter que l'ensemble (E) des points M du plan, tels que le triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de 2 points. Tracer (E).

Posté par slybar (invité)re : 1 exo de dm pour demain sur nbre complexe.besoin d aide 28-02-05 à 14:11

Bonjour,

1)a) on sait que

M1 d'affixe z1 désigne l'image de M par la rotation de centre O et d'angle \frac{\pi}{3}
donc z_1=e^{\frac{i\pi}{3}}z

M' d'affixe z' l'image de M1 par la translation de vecteur -\vec{u}dans repère orthonormal direct (O,,)
donc z^'=z_1-1

d'ou z^'=e^{\frac{i\pi}{3}}z-1

b)Image du point B :

z_B^'=e^{\frac{i\pi}{3}}z_B-1
e^{\frac{i\pi}{3}}=cos(\frac{\pi}{3})+isin(\frac{\pi}{3})=\frac1{2}+\frac{i\sqrt3}{2}

donc z_B^'=(\frac1{2}+\frac{i\sqrt3}{2})z_B-1=(\frac1{2}+\frac{i\sqrt3}{2})(\frac1{2}-\frac{i\sqrt3}{2})-1=\frac1{4}+\frac{3}{4}-1=0

L'image de B est le point O.

c)soit x_0 un point invariant par la transformation T :

z_{x_0}^'=e^{\frac{i\pi}{3}}z_{x_0}-1
or x_0 est invariant.
donc z_{x_0}^'=z_{x_0}
alors z_{x_0}=e^{\frac{i\pi}{3}}z_{x_0}-1
z_{x_0}(-e^{\frac{i\pi}{3}}+1)=-1
z_{x_0}=-\frac1{-e^{\frac{i\pi}{3}}+1}=\frac1{e^{\frac{i\pi}{3}}-1}
z_{x_0}=\frac1{\frac1{2}+\frac{i\sqrt3}{2}-1}=\frac1{\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt3}{2}}

z_{x_0}=\frac{\frac{-1}{2}-\frac{i\sqrt3}{2}}{\frac1{4}+\frac{3}{4}}=-\frac1{2}-\frac{i\sqrt3}{2}


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