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trigonométrie en post-bac
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x^3-3x-1=0
Posté par arozyt
Bonjour à tous,
je poste sur ce forum car je bloque à mon DM de maths pour****la gestion du temps est ton problème*** dont voici le sujet :
Exercice I .
Exercice II.
1. Question préliminaire: Résoudre dans C: Z^3= 1.
2. On se propose de résoudre l'équation suivante : (E1): x^3-6x-6=0.
(a) Étudier les variations, sur R, de la fonction f définie par f(x) = x^3 -6x-6. En déduire nombre de solutions réelles de l'équation (E1).
(b) On cherche une solution de (E1) sous la forme x =u+ v, avec u et v complexes. Montrer qu'en fixant le produit uv = 2, le complexe u+v est solution de (E1) si, et seulement si, u^3+v^3=6
(c) En déduire, sous ces hypothèses, que u et v sont solutions d'une équation du second degré, dont on calculera les solutions.
(d) Déterminer les couples (u, v) Correspondants, puis les solutions de l'équation (E1)
3. Dans cette question, on applique une autre méthode permettant de trouver les solutions de l'équation (E2) : x^3-3x-1= 0.
(a) Linéariser cos(theta)
(b) On cherche les solutions de (E2) sous la forme x = acos(theta), avec a et theta réels. Déterminer un réel a positif tel que l'équation (E2) se ramène à la résolution de cos(3theta) = constante.
(c) Conclure
4. On essaie d'appliquer la lère méthode à (E2)
(a) Quelle équation vérifient u^3? et v^3 ? Que vaut le produit uv?
(b) Résoudre ces équations puis déterminer les valeurs possibles de u et v et retrouver ainsi les solutions de l'équation (E2)
5. On veut appliquer la 2ème méthode à (E1)
(a) Que vaut a? Pourquoi cette méthode ne s'applique-t-elle pas ?
(b) Plus généralement, à quelle condition sur les réels p et q peut-on appliquer la seconde méthode à l'équation x^3+px+q=0?
Je suis bloqué à la question 3.b), j?espère que quelqu?un pourra m?aider, merci d?avance,
arozyt
Le 3.a est probablement : "linéariser ".
Du coup tu peux ramener à une expresion ne contenant plus de cube...
Merci de ta réponse luzak,
oui en effet c'est bien cos^3(theta) qu'il faut linéariser et je trouve
cos^3(theta)=cos(3theta)+3cos(theta)/4
Ensuite pour la b) l'énoncé propose d'utiliser x=acos(theta),
je ne comprends pas ce que tu veux dire par x^3=a^3cos^3(theta)
Que signifie ton "acos(theta)" ? Pour moi c'est .
Sinon il faut relire ce que tu écris et préciser. Les icônes "LTX" sont à ta disposition et "
donne un mode d'emploi.
Bonjour lafol !
Je pense aussi à une lecture en plein cauchemar : après une question sur le traitement de croire qu'un auteur d'exercice se mette à faire un changement de variables en
c'est lui accorder peu de cohérence, bref en phase avec le lecteur.
Bonjour,
j'ai mis ce titre car c'est pour répondre aux questions concernant cette équation que je bloque,
Du coup avec les icônes cela donne :
3. Dans cette question, on applique une autre méthode permettant de trouver les solutions de l'équation (E2) : .
(a) Linéariser
(b) On cherche les solutions de (E2) sous la forme
, avec a et réels. Déterminer un réel a positif tel que l'équation (E2) se ramène à la résolution de
= constante.
(c) Conclure
Pour cette question b) je ne sais pas comment m'y prendre, j'essaye mais sans succès
Bonsoir, merci pour votre réponse lafol,
Cependant c'est ce que j'ai essayé et j'arrive à cela sans savoir comment poursuivre :
x^3-3x-1=0
a^3\cos ^3 \theta -3a\cos \theta -1 = 0
a^3(1\div 4cos(3\theta )+3\div 4\cos (\theta )-3a\cos (\theta )-1=0
Merci pour ta réponse Priam,
mais je ne vois ce que tu veux dire par là, dois-je remplacer par une constante (1) ?
non, tu dois choisir a pour que le coeff de cos(theta) soit zéro .... comme ça il ne restera que des cos (3theta) et des constantes
J'ai fait une erreur, la réponse est plutôt
Du coup, est-ce que pour la question 3.c), je peux conclure que les solutions de (E2) sont de la forme ?
car
Ton énoncé est mal fichu !
Il oblige à deviner, pour l'équation 1, que et maintenant, pour l'équation 2, la divination n'est pas la même.
Réfléchis : à quoi a servi le choix ? peux-tu proposer, pour l'équation 2, un choix de
qui simplifie tes calculs ?
Si oui, tu peux continuer tout seul : relations vérifiées par d'où le calcul possible de
etc...
............
Même remarque pour la deuxième méthode appliquée à l'équation 1.
L'énoncé aurait dû insister sur la manière de choisir .
Que propose-tu ? Quelle est l'équation obtenue ?
Bonsoir luzak,
dois-je admettre que ?
Est-ce que je peux dire, en posant , qu'étant donné que
et
ont pour somme 6 et pour produit
alors ils sont solutions de l'équation ?
E1, c'est fini !
Tu dois t'intéresser maintenant à E2.
Il n'est pas difficile de comprendre qu'on cherche à détruire le terme ce qui permet de proposer une valeur pour
et une valeur pour
?
Désolé, je n'avais pas vu que tu n'avais pas terminé la question 2.
Bien sûr en prenant tu obtiens
et il faut chercher
dont tu connais somme et produit.
Ayant trouvé il faut proposer une (des) valeur(s) pour
(et seulement
) puis trouver
grâce à
.
Tu auras ainsi trois racines pour ton équation, une réelle deux non réelles.
...................................................
La question 4. consiste à appliquer la même méthode à E2. Tu devrais encore trouver, par un choix convenable de trois racines (réelles toutes les trois cette fois) pour l'équation.