g oublier l'essentiel
est ce que mon raisonnement est correct ?

C'est un cercle mais si tu changes de repère. (notamment Y=y^2)
Un bon truc pour voir si c'est fermé, c'est de poser
f(x,y)=x^2+y^4
et de regarder f, et {1} et ainsi on connait f^(-1)({1}).
Et c'est quoi f^(-1)({1}) ?

ouip dans mon cahier de cours, dans les exemples, il montrait ce proceder, mais c'était ac des inégalité (par ex f(x)<1 et dc f(-1) (]-00, 1[)),
je ne savais pas trop si on pouvait faire de même avec une égalité, et si cT bien f(-1)({1}) que je devais faire ...
donc ben vu que {1} est fermé ..
alors f(-1)({1}) est fermé,
dc A est fermé car A = f(-1)({1])

c'est ca ?

Oui et non, il manque une hypothèse: f continue, ce qui est le cas ici.

ah ouip j'avais oublié cela

merci bcp!!!

ce procédé est t'il tjrs a utilisé dans le csasou la fct° est continue pr montrer si c'est ouvert ou fermé ??

par exemple pour B = {(x,y) € R² | y<x, 0<x, y1}

on ne peux pas trouver de fct° dépendant de x et y nous permetant de raisonner ainsi ?
faut-il traiter le x a part, et le y a part, en faisant

f(x) = x
f(-1)(]0, +00[)

et g(y) = y
g(-1)(]0,1])

??

pardon g(-1)(]-00, 1])

Voila ce que cela donne en graphique.

Je te propose une chose, avant de te lancer tête baissée dans un raisonnement tout fait, essaie de voir ce qui se passe:

B est l'intersection de l'ensemble tel que y<x de celui ou 0<x etde celui ou y<=1

Le dernier est fermé, et les 2 premiers sont ouverts.
A priori on ne peut rien dire, même si on a envie de dire que c'est ni ouvert ni fermé.

On voit que ce que c'est:
0<x c'est le demi plan de droite ou on enleve l'axe des y.
y<=1 c'est le demi plan inférieur délimité par x=1 inclus.
Enfin on interesecte avec le demi plan y<x
Sans faire le dessin, si je ne me trompe pas, ca doit être une bande à laquelle on ajoute un triangle.
On voit que c'est pas un fermé puisque la suite (2/n,1/n) y appartient bien et converge vers le point (0,0) qui n'y est pas.
Il n'est ni ouvert, car si on se place sur le point (2,1) par exemple, on ne peut pas trouver de boule ouverte incluse dans B...

En fait, si un ensemble est fermé, alors il contient toute sa frontière (si et seulement si), de même, s'il est ouvert, il ne connait aucun point de sa frontière...

> JP merci pour ce magnifique graphique

> otto
oui g fait le desssin sur ma feuille,
je trouve en effet une bande privé d'un triangle,
et je trouve en effet un ensemble ni ouvert, ni fermé ...

mais je me questionne tjrs sur le fait qu'il existe ou non un moyen de le montrer par le "calcul" ...

C'est ce que j'ai fait...non?

euh ouip, pardon,

je formule mal mes questions en fait ...

oui oui tu as admirablemnt montré que c'etait ni fermé ni ouvert

en fait ma question était plutot tourné vers le "calcul" précedent,
de travailler avec f(-1)

en fait il faut connaitre à l'avance ce ke l'on veut montrer

f(-1) on s'en sers lorque l'on sais que c'est ouvert ou fermé ?
et on cherche des cas impossibles lorsquon sait ke c'est ni ouvert ni fermé ?

mais par exemple si on n'avais eu B = = {(x,y) € R² | yx, 0x}

comment aurat on procéder ?

B ={(x,y) € R² | y1, 0x}
pardon

Tu vois bien ici, que B est l'interesection de
U={(x,y) dans R^2 tel que y<=1}
V={(x,y) dans R^2 tel que 0<=x}

Que peux tu dire de U et V? (pourquoi?)
Comment peut on conclure?

ben je dirai que U et V sont tous deux ni ouverts, ni fermés, dc que B n'est ni ouverts, ni fermé ...

en fait g mal choisi mon exemple ...
je voulais mettre des inégalité strictes ..
ms ds ce cas, pareil on aurai utiliser le fait ke ce soit la réusion de 2 ouverts, dc que c'etait ouvert ?

je crois ke je commence enfin à comprendre ...

Comme je t'ai dit, ne te précipite pas dans tes réponses.
Tu as faux dans ta 1ere conclusion et tu as faux aussi dans ta 2e conclusion, l'intersection d'ensembles non ouverts ni fermés peut etre ouvert ou ferné, ou même les 2...

Ensuite tu aurais mis des inégalités strictes, tu n'aurais pas eu une réunion mais une interesection.

Bref, tu ne me sembles pas tellement au point là dessus.

Bonne chance,
a+

je ne comprend vraiment pas pourquoi U et V ne sont pas ni ouverts ni fermés ...
]-00, 1] et [0, +00[ sont bien ni ouverts ni fermés ds R²??


de même je ne comrpens pas pk ca devient une intersection
ms ds ts les cas une intersection finie d'ouvert est un ouvert
dc on obtient un ouvert tt de même ? non ?


(oui j'ai bcp de mal ...)

Bein essaie donc de voir si ce sont des ouverts ou des fermés...

ben disons que j ai réflechis ...

ben U n'est pas ouvert, parce que si on prend les point (1,1) , il n'existe pas de boule ouverte incluse dans U

V n'est pas ouvert, de même avec le point (0,0)

si on prend le complémentaire de U

on trouve l'intervalle ]1,+00[

qui lui est ouvert,
du fait que on soit en l'infini, on trouvera tjrs une boule ouverte qui soit incluse ds le complementaire de U et du fait que 1 ne soit pas inclu

de même pour le complementaire de V
dc U et V sont fermé ...

et comme une réusion de fermé est fermé, alors B est fermé ?

(une réunion finie de fermé)

Ici on a aucune union.

pardon l'intersection de 2 fermé est fermé.

comment différencie tu si l'ensemble est une réunion ou une intersection d'autre ensemble ?