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2 petits exercices (intégrales)

Posté par Olivier B (invité) 15-07-05 à 05:08

Bonjour,

J'essaye de faire deux exercices, mais je ne dispose pas des solutions... Pour le premier je pense avoir réussi mais je ne suis pas sûr, j'aimerais qu'on me dise si c'est correct, pour le deuxième je ne sais pas comment faire, donc si quelqu'un pouvait m'indiquer la marche à suivre :-/


Dans l'espace euclidien R³ muni du repère orthonormé Oxyz, soient
- S la région du plan Oxy définie par
S=\{(x,y,0)\in\mathbb{R}^3 | 0\le x \le\pi, 0\le y \le sin^2 x\}
- D le solide engendré par la rotation d'un tour complet de S autour de l'axe Ox

Je dois trouver l'aire de S et le volume de D

aire de S = \Bigint_{0}^{\pi}{sin^2 x dx}=\Bigint_{0}^{\pi}{\frac{1-cos(2x)}{2}dx}=\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{\pi}{dx}-\frac{1}{2}\Bigint_{0}^{\pi}{cos(2x)dx}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}[\frac{1}{2}sin(2x)]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}

volume de D = \Bigint_{0}^{\pi}{2\pi sin^2 x dx}=2\pi\times\frac{\pi}{2}=\pi^2


et le deuxième exercice :

pour n\in\mathbb{N}, soit la fonction F_{n} de \mathbb{R} dans \mathbb{R} définie par F_{n}(t)=\Bigint_{0}^{t}{x^n e^{-x}dx}
je dois exprimer F_{n} en fonction de F_{n-1}, mais je ne vois vraiment pas comment faire...

Voila, et merci !

Posté par
ottore : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 09:21

Bonjour,
pour exprimer Fn en fonction de Fn-1, il suffit de faire une IPP.
A+

Posté par
lyonnaisre : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 10:49

salut Olivier B :

-  je confirme ton résultat pour l'aire de S

-  par contre, j'ai un petit doute pour le volume. Si je me rapelle bien, il ne faut pas plutot faire :

volume = \rm \pi \Bigint_{\alpha}^{\beta} [f(t)]^2 dt

ce qui nous donnerait ici :

volume de D = \rm \pi \Bigint_{0}^{\pi} sin^4(x) dx     à vérifier ...

-  pour   \rm F_{n}(t)=\Bigint_{0}^{t}{x^n\time e^{-x} dx}

posons  u(x)=x^n   ->   u'(x)=nx^{n-1}
           v'(x)=e^{-x}   ->   v(x)=-e^{-x}

3$\rm F_n(t) = [-x^ne^{-x}]_0^t-\Bigint_0^t -nx^{n-1}e^{-x} dx
         3$\rm = [-x^ne^{-x}]_0^t+n\Bigint_0^t x^{n-1}e^{-x} dx

soit finalement :

4$ \rm \magenta \fbox{\fbox{F_n(t) = [-x^ne^{-x}]_0^t +n\time F_{n-1}(t)

Voila, sauf erreur ...

@+ sur l'

Posté par
soucoure : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 11:08

Bonjour,

Pour le calcul du volume, est-ce que tu as utilisé le second théorème de Guldin ? Qui dit que :

Le volume engendré par une surface plane tournant autour d'un axe et ne le coupant pas est égal au produit de cette surface par la longueur du cercle décrit par son centre de gravité.

5$\red\fbox{\mathcal{V}=2\pi \mathcal{Y}_G\mathcal{S}}

Je crois que pour ce théorème, il existe une définition plus corsée utilisant la notion la notion du barycentre.

Merci, je dis cela parceque j'ai du mal à saisir ce théorème.

Posté par Olivier B (invité)re : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 15:15

merci beaucoup maintenant j'ai compris pour F_{n} !

pour le volume en effet j'ai fait une bête erreur, je crois que j'ai calculé la surface du solide plutôt que son volume là en fait...

volume = \pi\Bigint_{0}^{\pi}{sin^4 xdx}

sin^4 x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^4=\frac{e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix}}{16}=\frac{1}{8}cos(4x)-\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{3}{8}

donc volume = \pi\Bigint_{0}^{\pi}{(\frac{1}{8}cos(4x)-\frac{1}{2}cos(2x)+\frac{3}{8})dx}=\pi[\frac{1}{32}sin(4x)-\frac{1}{4}sin(2x)+\frac{3}{8}x]_{0}^{\pi}=\pi\times\frac{3}{8}\pi=\frac{3}{8}\pi^2

c'est juste ?

soucou : pour trouver le volume je "découpe" mon solide en une infinité de disques dont j'additionne toutes les aires... je n'ai jamais entendu parler d'un théorème de Guldin, en fait je suis autodictate en math, sinon à l'école on en est encore aux équations du second degré, on a même pas encore vu la dérivation, donc le théorème de Guldin faut pas espérer lol

Posté par
lyonnaisre : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 15:22

>> Olivier B :



On a bien :  3$ V = \frac{3}{8}\pi^2

félicitations ...

Posté par jean-émile (invité)re : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 15:38

Olivier B :

Salut

Tu dis "pour trouver le volume je "découpe" mon solide en une infinité de disques dont j'additionne toutes les aires"


Ne veux-tu pas plutôt dire :
je découpe mon solide en tranches cylindriques élémentaires de hauteur dx (donc des volumes élémentaires) et je somme (au sens de l'intégrale) tous ces volumes élémentaires


En effet si tu additionne des aires , tu obtiens une aire et non pas un volume


jean-émile



Posté par Olivier B (invité)re : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 16:05

oui c'est ce que je veux dire.. pas vraiment des disques mais des cylindres d'épaisseurs infinitésimales (dx) donc

désolé j'utilise pas toujours le bon vocabulaire, mais bon j'ai compris le truc c'est ce qui compte

Posté par jean-émile (invité)re : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 16:09

Absolument , c'est ce qui compte !!

jean-émile


Posté par
soucoure : 2 petits exercices (intégrales) 15-07-05 à 22:05

Bon, visiblement j'ai le même niveau que Olivier B (je suis aussi en première), je n'ai guère réfléchis à ce problème car à première lecture cela me semblait or de porté.

Personnelement je ne maitrise pas ces fameux théorèmes bien qu'ils trainent sur un cours de mécanique que le prof nous avait filé. Je pensé qu'il était utilisé ici car en coordination avec la première formule du volume de Olivier B.

Il éxiste aussi un corollaire pour l'aire dont en voici l'énénoncé.

L'aire de la surface de révolution engendrée par une ligne plane tournant autour d'un axe et ne le traversant pas, est égale au produit de la longueur de cette ligne par la longueur du cercle décrit par son centre de gravité.

5$\green\fbox{\mathcal{S}=2\pi\mathcal{Y}_GL}

En effet on a bien 2\pi L la circonfrèrence du cercle. Si quelqu'un veut bien m'élucider ce théorème. Cela à l'air très trivial mais ne l'est pas pour autaunt.

Je vais éssayer de voir cela de plus près grâce aux calculs.

Merci.

Posté par ziati (invité)reponse 16-07-05 à 18:20

bonjour. pour la premiere reponse : elle est correcte.pour la deuzième est fausse. by


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