Niveau Reprise d'études

2 vecteurs indépendants forment ils touours une base ?

Posté par
MacroHell 20-03-18 à 00:37

Bonjour,

Je suis en train de réviser les espaces vectoriels et, un aspect d'un exercice me parraît illogique:

je pensais que lorsque deux vecteurs de même dimension étaient indépendants, ils formaient forcément une base et donc chaque coordonnée était atteignable.

Or dans un exercice le vecteur v1 $\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$
et v2 $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}$

Ces deux vecteurs sont indépendants et pourtant le vecteur v3 $\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ n'est pas inclus dans le sous espace vectoriel formé par v1 et v2 que je pensais être une base.

Ma question est donc: mon affirmation initiale est elle fausse ? ou alors n'est elle vrai que pour des vecteurs d'une certaine dimension (ex 2 vecteurs à 2 lignes)... ?

Merci beaucoup.

Posté par re : 2 vecteurs indépendants forment ils touours une base ? 20-03-18 à 00:42

Bonjour MacroHell.
Dans un espace vectoriel E, oui, deux vecteurs indépendants peuvent former une base (ce qui sous-entend que E est au moins de dimension 2), mais uniquement du sous-espace qu'ils engendrent.

Posté par re : 2 vecteurs indépendants forment ils touours une base ? 20-03-18 à 07:43

Bonjour,
Que veut dire "deux vecteurs de même dimension" ?
Dans l'exemple de MacroHell, l'espace vectoriel semble être ⁴ qui est de dimension 4 . Pour toutes ses bases le nombre de vecteurs est 4 .
Si 4 vecteurs de ⁴ sont indépendants alors ils forment une base.

Citation :
n'est elle vrai que pour des vecteurs d'une certaine dimension (ex 2 vecteurs à 2 lignes)... ?

Oui, dans

² .

Mais attention, il y a des espaces vectoriels autres que

ⁿ .
Par exemple, les espaces vectoriels de matrices, ou de fonctions polynômes...

Posté par re : 2 vecteurs indépendants forment ils touours une base ? 20-03-18 à 14:51

Bonjour

Citation :
je pensais que lorsque deux vecteurs de même dimension étaient indépendants, ils formaient forcément une base

dans "Flatland", oui .... mais pas dans les espaces de dimension strictement supérieure à 2
c'est quoi, pour toi, la dimension d'un espace ? tu ferais bien de (re)lire un cours sur les bases et les dimensions ...