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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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2Z / 14 Z un corps ?

Posté par
Arthur68329
20-11-22 à 12:16

Bonjour, l'énoncé de l'exercice est dans le titre.
Je ne comprends pas la correction de mon livre :

On dispose d'un morphisme surjectif p de Z dans Z / 7Z,
ker(p) = 7Z 14Z ,
donc il existe un morphisme surjectif de Z/14Z dans Z/ 7Z
Ker() = 7Z / 14Z .

Jusque là c'est compris mis c'est la que je ne comprends pas :

Donc (Z/14Z) / ( 7Z/14Z) est isomorphe à 2Z/14Z, d'ou sort ce 2Z/14Z.

J'aurais plutot dis que (Z/14Z) / ( 7Z/14Z) est isomorphe à Z/7Z  , mais comment arrive t on à 2Z/14Z

Merci.

Posté par
carpediem
re : 2Z / 14 Z un corps ? 20-11-22 à 13:01

salut

Z/14Z = {0, 1, 2, ..., 13}
7Z/14Z = ... ?

conclusion ?

Posté par
Arthur68329
re : 2Z / 14 Z un corps ? 20-11-22 à 15:07

Bonjour,
7Z/14Z = { 0, 7 } , mais je ne sais pas comment conclure, peut etre que je ne comprends pas bien ce que c'est "etre isomorphe à ....."

Posté par
carpediem
re : 2Z / 14 Z un corps ? 20-11-22 à 15:23

donc (Z/14Z) / (7Z/14Z) = ... ?

Posté par
Arthur68329
re : 2Z / 14 Z un corps ? 20-11-22 à 15:33

Je pense me tromper mais {0,7} également?

Posté par
GBZM
re : 2Z / 14 Z un corps ? 21-11-22 à 10:00

Bonjour,
Ces écritures genre Z/14Z = {0, 1, 2, ..., 13} ou 7Z/14Z = { 0, 7 } me semblent embrouillantes et assez dangereuses.
Déjà, de quelle structure parle-t-on ? Visiblement, de groupes abéliens ou de \mathbb Z-modules, ce qui est la même chose, et les isomorphismes sont des isomorphismes de groupes.
On a un homomorphisme surjectif de groupes \mathbb Z\to 2\mathbb Z qui est la multiplication par 2. On compose ensuite avec le passage au quotient 2\mathbb Z\to 2\mathbb Z/14\mathbb Z. L'homomorphisme de groupes composé \mathbb Z\to 2\mathbb Z/14\mathbb Z est surjectif, et son noyau est 7\mathbb Z. Il induit donc un isomorphisme de groupes \varphi : \mathbb Z/7\mathbb Z\to 2\mathbb Z/14\mathbb Z.

Ensuite, \mathbb Z/7\mathbb Z en plus d'être un groupe pour l'addition, est un corps quand on enrichit la structure avec la multiplication induite par la multiplication sur \mathbb Z. On peut transporter cette structure de corps par l'isomorphisme de groupes additifs \varphi :\mathbb Z/7\mathbb Z\to 2\mathbb Z/14\mathbb Z en définissant la multiplication sur 2\mathbb Z/14\mathbb Z de la manière suivante : pour tous \alpha et \beta dans \mathbb Z/7\mathbb Z, \varphi(\alpha)\times \varphi(\beta)=\varphi(\alpha\times \beta).
Attention ! pour cette multiplication, quel est le produit de la classe de 4 dans 2\mathbb Z/14\mathbb Z par la classe de 6 dans 2\mathbb Z/14\mathbb Z ?

Posté par
Arthur68329
re : 2Z / 14 Z un corps ? 21-11-22 à 20:55

Ca parait plus clair en effet,
et pour répondre à votre question, est ce que :
([4]) x ([6]) = ([4][6]) ([24]) = ([3]) = calsse de 6 dans 2Z/14Z ?

Avec [..] la classe de .. dans Z/7Z

Posté par
GBZM
re : 2Z / 14 Z un corps ? 21-11-22 à 21:35

Tu t'es pris les pieds dans le tapis : la classe de 4 dans 2\mathbb Z/14\mathbb Z n'est pas l'image par \varphi de la classe de 4 dans \mathbb Z/7\mathbb Z ! Reprends la définition de \varphi.

Posté par
Arthur68329
re : 2Z / 14 Z un corps ? 22-11-22 à 08:22

A oui complètement :

Classe de 4 x Classe de 6 = Classe de 24 = Classe de 10 dans 2Z/14Z ?

Posté par
GBZM
re : 2Z / 14 Z un corps ? 22-11-22 à 10:02

Tu n'as pas repris la définition de \varphi ! Si tu l'avais fait, tu aurais vu que l'isomorphisme de groupes \varphi est induit pas la multiplication par 2.



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