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Niveau Maths sup
III 2003 probas QCM
Posté par derby (invité)
Voici donc un problème de probabilités assez trivial :
Un questionnaire à choix multiples est composé de N questions indépendantes les unes des autres. A chacune de ces questions correspond r réponses différentes dont une seule est exacte.
Un candidat répond au hasard à chaque question.
on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de réponses exactes données par le candidat à l'ensemble du questionnaire.
1 a Exprimer la probabilité que X soit égale à N, notée P(X=n) avec n entre 0 et N.
b Exprimer l'espérance et la variance de X.
C'est là que j'attire votre attention :
3 Montrer que dans le premier cas (N=20 et r=2), on a : P(5<X<15)>= 80 %
Montrer que dans le deuxième cas (N=20 et r=5), on a : P(0<X<8)>= 80 %
Il pourait y avoir de l'inégalité de Markov dessous (simple suggestion), mais je n'arrive pas à l'appliquer 
Merci.
Bonjour quand même...
Ne va pas chercher des choses compliquées. Tu as déjà entendu parler de la loi binomiale ?
Posté par derby (invité)re : III 2003 probas QCM
Oui,bonjour, c'est celle que j'ai appliqué pour cet exercice...
C'est la dernière question qui me pose problème.
Merci.
Posté par derby (invité)re : III 2003 probas QCM
On a P(X=n) = N C n (1/r)n x [(r-1)/r](N-n)
E(X) = N x r-1
V(x) = N x r-1 x (r-1)r-1
Non?
D'accord pour ces résultats aux questions 1a et 1b
Pour la suite (qui utilise naturellement ce que tu viens d'établir) : un petit tour du côté de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev convient... Ce n'est pas très puissant, mais ici cela suffit parfaitement !
Posté par derby (invité)re : III 2003 probas QCM
Ok, dans le premier cas :
"Montrer que si (N=20 et r=2), on a : P(5<X<15)>= 80 %"
On a : P [(X-E(X))
5]
5/25=20% (car E(X) = 10, V(x) = 5 et et t=5 donc).
Pourquoi cela ne marche t il pas avec l'inégalité de Markov?
P[(X15]10/15 
67%
et
P[(X5]10/5 = 2 ????
Merci.
Premier cas : E(X) = 10 ; V(X) = 5 ;
P[|X - E(X) | 5] = P[|X - E(X) | k.
]
et donc
k. = 5 c'est-à-dire
P[|X - E(X) | k.] 1 / k2 = 1 / 5 = 0,20
L'inégalité de Markov n'est pas assez "puissante" ; le résultat obtenu avec l'inégalité de Bienaymé répond à l'énoncé mais il faut reconnaître que cette inégalité n'est pas très puissante non plus. Le calcul donne en effet pour ce premier cas
Probabilité que x 
{[0 ; 5] 
[15 ; 20]} 4,14 %