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[a,b] un compact ? Preuve
Bonjour,
Voici la preuve que est compact. En utilisant la complétude et la précompacité.
Pour la précompacité, il me semble que c'est plus simple que ce que je pensais, pour la suite j'ai dû m'inspirer d'une preuve, et j'aimerais savoir si c'est bien compris.
Précompacité de
On veut montrer que il existe un recouvrement fini de
par des boules ouvertes de [a,b] de rayon
Soit , il existe
tel que
ainsi
Note : les boules sont des ouverts de [a,b], si on considère l'espace métrique induit
Suite de la preuve
Soit , il existe un recouvrement fini par des boules ouvertes de rayon
, puisque la famille indexée (x_n) est de cardinal infini, il existe une boule
qui possède une infinité d'élément de
, de plus tous les éléments vérifient
On note et
On répéte l'opération, il existe un recouvrement fini par des boules ouvertes de rayon i.e.
, or il existe
tel que
Puisque possède une infinité d'éléments, il existe
tel que
possède une infinité d'éléments. de plus tous les éléments de cette boule vérifient
On pose et
De plus on a
En répétant l'opération, on construit une suite d'ensembles emboités tel que :
tel que pour tout
on a
On pose de tel sorte que
La suite ainsi construite est une sous-suite de
qui est de Cauchy en effet,
Soit , il suffit de choisir
tel que
pour que
on ait
Puisque est complet,
est complet donc
est convergente dans
est séquentiellement compact, donc
est compact
Bonjour
Quand je vois ça j'ai envie de dire que c'est du lourd et ça ne donne pas envie de tout lire.
Mais d'abord je suis étonné qu'il faille passer par la pré-compacité pour montrer que [a,b] est un compact de
Maintenant pour la démo de pré-compacité je ne sais pas si c'est faux mais c'est du lourd il me semble. Car [a,b] étant borné une seule boule ne peut-elle pas le recouvrir?
Quant à la deuxième partie c'est faux dès les trois premières lignes. En fait je ne comprends même pas ce qui est dit. Il faut au minimum restructurer ta phrase.
Bonjour !
Mêmes réactions que XZ19 !
Sans compter que tu ne précises même pas la topologie (ou distance) choisie.
La précompacité consiste à montrer qu'on peut recouvrir le segment par un nombre FINI de boules de rayon .
Il me semble qu'en prenant pour la partie entière de
les boules de centre
font l'affaire.
Puisque tu supposes connu que est complet je ne vois pas pourquoi il faudrait plus d'une ligne pur obtenir la compacité.
....................................
J'ai l'impression que tu essaies de montrer la compacité par la propriété (connue pour les espaces métriques) que toute suite admet une valeur d'adhérence !
Ce qui ne semble pas être le but de ton exercice.
Bonjour mousse42, je ne sais pas avec quel livre tu travailles mais je peux te conseiller l'une des éditions du livre de Topologie d'Hervé Queffélec (je ne sais pas si c'est un bon livre, mais je l'ai trouvé bien écrit et vraiment détaillé). Il donne une preuve beaucoup plus rapide qu'un segment [a,b] est compact sans parler de précompacité (qui est introduite bien plus tard), en partant d'un raisonnement par l'absurde et en utilisant la propriété (ou l'axiome) de la borne inf dans R.
Merci à tous, je viens de comprendre et mokassin m'a fournit l'esquisse d'une preuve que je trouve assez bien dans un autre post. Il faut que je la rédige pour savoir si je l'ai bien comprise.
merci Kernelpanic pour cet ouvrage.
Je trouve l'unité d'espaces métriques particulièrement difficile, intéressant mais difficile!!
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