Bonsoir,

As-tu entendu parler des groupes diédraux ?

Bonjour,oui en effet j'en ai déjà entendu parler,mais je ne vous cache pas que j'ai du mal a comprendre la structure de ce groupe qu'a t'il de particulier et en quoi peut il me être utile dans la résolution de mon exercice.Si je me souviens bien le cardinal du groupe Dn(groupe diédral) est 2n,donc dans mon exercice le groupe d'ordre 12 à considérer est D3.Insinuerai vous que D6 est le groupe que je recherche?.L'une des conditions est bien vérifiée mais l'autre je n'en suis pas très sure,en effet les seules groupes de Dn qui sont abéliens sont D1 et D2 donc D3 n'est pas abélien,mais pourquoi D3 ne serait t'il pas isomorphe à A4(le groupe alterné de cardinal 12)?Ou sinon comment montrez vous qu'il n'est pas isomorphe à A4?                          Merci de bien vouloir me répondre      

Bonjour,

Le groupe diédral de cardinal  2n  possède un élément d'ordre  n (rotation sauf erreur?) donc  D6  a  un élément d'ordre 6 je n'ai pas vérifié mais A4 ne semble pas en avoir.

le groupe A4 est ss groupe des permutations de 4 éléments donc les éléments sont au plus d'ordre 4

le diédral D6 peut être vu comme groupe des isométries d'un hexagone régulier
il est engendré par une rotation r d'ordre 6
et une symétrie s d'ordre 2

il est entièrement déterminé par la donnée de ces deux éléments
et la relation donc non commutatif (on peut le vérifier, par exemple, en remplissant une table du groupe à l'aide de ces 3 relations )

il est constitué de
Id
les rotations
les symétries

pour la non commutativité c'est ok,mais par contre pour la non bijectivité j'ai du mal à comprendre.

salut

une bijection de groupes est un morphisme de groupe : il conserve l'ordre

donc a et f(a) ont même ordre

donc un élément d'ordre 6 ne peut avoir unantécédent d'ordre <4... et il n'y a pas bijection

Si, il y a bijection (entre deux ensembles de même cardinal, il y a bijection), mais il n'y a pas isomorphisme de groupes. (Bien appeler un chat un chat).

pardon oui effectivement mettre isomorphisme à la place de bijection....

Merci pour toutes vos réponse je vais essayer de comprendre, mais j'ai quelques questions.Si j'ai bien compris une bijection d'un ensemble vers un autre ensemble n'implique pas l'isomorphisme entre ses deux ensembles,mais si un ensemble(groupe)est isomorphe a un autre ensemble,il existe une bijection entre ses deux ensembles.Comment identifiez vous alors un isomorphisme,plus précisément qu'est ce qu'un isomorphisme?La dans mon cas précis il y a une bijection mais pas d'isomorphisme,c'est ca?Je ne comprend pas monsieur GaBuZoMeu,le raisonnement de Carpediem me parait plus crédible,en effet si il y a une bijection entre D6 et A4(on considère l'application f6->A4) les éléments de D6 sont tous d'ordre 2 ou 6 d'après monsieur Apaugam et comme f est bijective f(a)(ou a appartient à D6) est soit d'ordre 2 ou soit d'ordre 6,et comme f(a) est un élément de A4 son ordre ne peut être >4 cela contredit que f n'est pas bijective et donc il n'ya pas d'isomorphisme entre A4 et D6 mais vous Mr GaBuZoMeu vous dites qu'il y'a une bijection entre ses deux ensembles?Merci de bien vouloir m'illuminer sur le point dont je vous ai demandé          

Re,

Il semble que tu sois en licence. Tu as un cours d'algèbre, et dans ce cours d'algèbre on t'a certainement défini ce qu'est un homomorphisme de groupes et un isomorphisme de groupes. Tu dis que tu ne sais pas ce qu'est un isomorphisme de groupes ? Ca me semble très bizarre. D'ailleurs l'énoncé de l'exercice que tu cherches à résoudre parle d'un groupe non abélien et non isomorphe à .

Et une bijection, peux-tu en rappeler la définition ?

Une bijection qui n'est pas un isomorphisme de groupes n'a aucune raison de préserver l'ordre des éléments.

"le groupe A4 est ss groupe des permutations de 4 éléments donc les éléments sont au plus d'ordre 4"

ça c'est vrai mais formellement FAUX : Prenons dans S₅ la permutation  (1,2)(3,4,5)  elle est d'ordre  6  bien qu'il y a permutations sur  5 éléments.

ce phénomène ne se produit bien sûr pas pour  S₄.

La catégorie des énoncés vrais mais formellement faux est assez curieuse .
Ceci dit, les éléments de sont d'ordre maximum 3.

Bonjour Mr GaBuZoMeu et tout les autres,oui en effet j'ai bien un cours d'algèbre qui me donne la définition d'un isomorphisme mais plusieurs d'entre vous me donne des réponses différentes,c'est pour cela que je suis confus et que je reviens sur la définition d'un isomorphisme en vous demandant ce que s'est pour vous.Par exemple Mr carpediem dit qu'il n y a pas bijection entre les deux ensembles ensuite vous vous le contredisez en disant qu'il y a toujours une bijection entre deux ensembles de même cardinal.Par ailleurs moi mon prof a défini un isomorphisme comme un homomorphisme qui est bijective.Je pense avoir compris l'idée principale c'est vous qui l'avez dit "Une bijection qui n'est pas un isomorphisme de groupes n'a aucune raison de préserver l'ordre des éléments".Donc si j'ai bien compris il y a une bijection entre D6 est A4 car ils ont le même cardinal,mais il n y a pas isomorphisme car les éléments ne préserve le même ordre par l'intermédiaire de f(l'application considérée) et oui ce que je voulais demander est il possible de définir cette application f,je veux dire si on prend un élément a de D6 que voudra f(a)?        

La définition de ton cours est la bonne, bien sûr!

Il n'y a pas qu'une seule bijection entre ensembles de même cardinal ! Tu devrais même savoir combien il y a de bijections entre deux ensembles de cardinal .

Ecrire une bijection entre et ne présente aucun intérêt. Par exemple, tu écris une liste des douze éléments de , une liste de douze éléments de . A chaque élément de la première liste tu fais correspondre l'élément à la même place dans la deuxième liste ; ça te fait une bijection. Mais tu peux changer l'ordre de la deuxième liste comme tu veux pour obtenir une bijection.

OK merci pour votre aide(à tous)