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A propos des séries entières

Posté par
CC_ 22-03-07 à 23:06

Bonjour à tous,

J'ai un peu de mal à saisir les concepts des différents types de convergence des séries de fonctions, et je me pose en particulier une question à propos des séries entières.

Imaginons la série \sum x^{2n}. Elle est à termes positifs, son rayon de convergence est 1, et donc elle est normalement convergente sur ]-1,1[.
Normalement convergente, cela veut dire qu'il existe une série numérique convergente de terme général positif \mu_n telle que sup \left{x^{2n}, \; x \in ]-1,1[ \right} \leq \mu_n.

Or, si la série \sum \mu_n est convergente, ça veut dire en particulier qu'il existe M tel que \sum \limits_{0}^{\infty} \mu_n \leq M.

Donc ça voudrait dire que pour tout x de ]-1,1[, \sum \limits_{0}^{\infty} x^{2n} \leq M aussi.

Et donc que toute série entière serait bornée sur son disque de convergence. Ca paraît clairement faux, puisque \sum \limits_{0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2}, et ça fiche clairement le camp vers l'infini si x est suffisamment proche de 1...

Où sont mes erreurs de compréhension, alors?
Merci de m'éclairer!

Posté par
kaiser Moderateurre : A propos des séries entières 22-03-07 à 23:12

Bonjour CC_

Justement, elle n'est pas normalement convergente sur cet ensemble.
Par contre, elle est normalement convergente sur tout segment inclus dans ]-1,1[.

Kaiser

Posté par
CC_re : A propos des séries entières 22-03-07 à 23:23

Rha oui, c'est vrai... Quel idiot! Merci Kaiser!

Posté par
kaiser Moderateurre : A propos des séries entières 22-03-07 à 23:24

Mais je t'en prie !
mais non, ne dis pas des choses pareilles !

Posté par
CC_re : A propos des séries entières 22-03-07 à 23:34

Ben disons que ce qui m'embrouille un peu, c'est qu'on définit le développement en série pour tout x de ]-1,1[. J'ai fait un mélange un peu fâcheux entre disque de convergence, et domaine de convergence normale...
C'est vrai que tout ça est un peu confus quand on débute...

Mais merci de ton aide, bonne soirée et à bientôt

Posté par
kaiser Moderateurre : A propos des séries entières 22-03-07 à 23:35

Bonne soirée à toi aussi !


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