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Accroissements finis

Posté par yocto (invité) 10-12-06 à 11:25

Bonjour à tous.

Voilà je bloque sérieusement sur le problème suivant :

J'ai une fonction f 2 fois dérivable sur [a,b] et je dois montrer,
en utilisant une fonction auxiliaire bien choisie, qu'il existe un c \in ]a,b[ vérifiant:

\frac{f(a)+f(b)}{2}=f(\frac{a+b}{2})+\frac{(b-a)^2}{8}f''(c)

Posté par
stokastikre : Accroissements finis 10-12-06 à 14:12


Peut-être

3$g(t)=f(t)-t\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-f(a)

On applique le TAF à g entre a et (a+b)/2, ce qui donne un g'(u), puis le TAF à g' entre a et u... faut voir

Posté par yocto (invité)re : Accroissements finis 10-12-06 à 15:30

merci stokastik pour ta réponse.
Si quelqu'un peut confirmer ou a une autre piste, ça serait cool

Posté par
stokastikre : Accroissements finis 10-12-06 à 15:33


Ben tu peux confirmer toi-même non... as-tu suivi mon indication ?

Posté par yocto (invité)re : Accroissements finis 10-12-06 à 15:45

ça semble correct en effet, merci

Posté par
Matouille2bre : Accroissements finis 10-12-06 à 15:59

Salut ...

On pose :
g(x) = f(x) + f(b) - 2f(\frac{x+b}{2} - K(b-x)^2
où K est tel que g(a) = 0
On a g(

Posté par
stokastikre : Accroissements finis 10-12-06 à 16:04


Et tu ne me demandes pas d'où j'ai sorti cette fonction ?

Posté par yocto (invité)re : Accroissements finis 10-12-06 à 16:07

même pas

Posté par
Matouille2bre : Accroissements finis 10-12-06 à 16:10

Salut

on pose
g(x) = f(x)+f(b)-2f(\frac{x+b}{2}) - K(b-x)^2
où K est tel que g(a)=0
On a g(b) = 0

g est dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b] donc il existe d appartenant à ]a,b[ tel que g'(d) = 0
Or  g'(x) = f'(x) - f'(\frac{x+b}{2}) + 2K(b-x)
Donc
K = \frac{f'(\frac{d+b}{2}) - f'(d)}{2(b-d)}

f' est dérivable sur ]d,\frac{d+b}{2}[ et continue sur [d,\frac{d+b}{2}] donc d'apres le TAF :
il existe c appartenant à ]d,\frac{d+b}{2}[ tel que :
f'(\frac{d+b}{2}) - f'(d) = f''(c) (\frac{b-d}{2})
Donc K = \frac{f''(c)}{4}
et g(a) = 0 permet de conclure

Posté par yocto (invité)re : Accroissements finis 10-12-06 à 16:13

oulah big merci Matouille2b, tout s'éclairci tout d'un coup

Posté par
Matouille2bre : Accroissements finis 10-12-06 à 16:14

mais de rien ...

Posté par yocto (invité)re : Accroissements finis 10-12-06 à 16:16

si si j'insiste...


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