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accroissements finis

Posté par
romu 08-10-07 à 13:38

Bonjour, j'ai du mal à comprendre cette démo:

Théorème des accroissements finis:

Soit B une boule ouverte d'un espace \mathbb{R}^m, f de classe C^1 définie sur B à valeurs dans \mathbb{R}^n, alors pour x et y quelconques dans B et en munissant \mathbb{R}^m et \mathbb{R}^n de leurs normes euclidiennes usuelles et \mathcal{L}(\mathbb{R}^m,\mathbb{R}^n) d'une norme telle que

3$(I.29)\qquad \qquad ||l(x)||\leq ||l||.||x||

on a

4$(I.30)\qquad \qquad ||f(x)-f(y)||\leq ||x-y||\sup_{z\in B} ||f'(z)||.

preuve:

On a

4$\qquad \qquad \qquad f(x)-f(y) = \Bigint_0^1 \frac{d}{dt}(f(y+t(x-y)))dt = \Bigint_0^1 [f'(y+t(x-y))](x-y)dt

où l'intégration porte sur chacune des composantes du vecteur [f'(y+t(x-y))](x-y).
On a alors immédiatement en utilisant (I.29)

4$||f(x)-f(y)||\leq \Bigint_0^1 ||f'(y+t(x-y))||.||x-y||dt \leq ||x-y||\sup_{z\in B} ||f'(z)||.


Déjà, je ne comprends pas la toute première égalité de cette démo.
Apparemment la fonction t\rightarrow \frac{d}{dt}(f(y+t(x-y))) est définie sur [0,1] et à valeurs dans \mathbb{R}^n.
Mais je ne sais pas intégrer une application qui est à valeurs dans \mathbb{R}^n. Dans quel genre de chapitre je peux trouver l'étude de cette notion?

merci pour votre aide.

Posté par
romure : accroissements finis 08-10-07 à 14:22

Si j'ai bien compris, quand l'auteur dit que f(x)-f(y)=\Bigint_0^1 \frac{d}{dt}(f(y+t(x-y))) dt, en notant p_i les projections définies sur \mathbb{R}^n, il veut dire que

4$f_i(x)-f_i(y)=\Bigint_0^1 \frac{d}{dt}f_i(y+t(x-y))) dt pour tout i, avec f_i=p_i\circ f.


C'est bien ça?

Posté par
Camélia Correcteurre : accroissements finis 08-10-07 à 14:23

Bonjour romu

Une application de variable réelle à valeurs dans Rn, s'écrit f=(f1,...,fn) où les fi sont des fonctions à valeurs réelles. On intègre coordonnée par coordonnée.
Ton vrai problème vient de la notation f' pour une fonction de Rm dans Rn. Moi j'aime mieux les différentielles.

Alors pour x et y fixés considérons g(t)=f(y+t(x-y)) C'est une fonction composée; essaye de démontrer que
\Large Dg_t(u)=uDf_{(y+t(x-y))}(x-y)

Posté par
romure : accroissements finis 08-10-07 à 14:29

Bonjour Camélia

Je ne comprends pas vraiment les notations avec le D, je les ai un peu vu pour les dérivées directionnelles.

3$Dg_t(u) c'est comme 3$[g'(u)](t) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : accroissements finis 08-10-07 à 14:43

En général: la différentielle au point a est une application linéaire donc on Dfa(h).

Pour les fonctions de R dans R on le perd de vue, car Df_a(h)=hf'(a) (avec dans ce cas f'(a) un nombre). Mais si vous avez l'habitude d'écrire avec g', la réponse à ta dernière ligne est OUI.

Posté par
romure : accroissements finis 09-10-07 à 00:30

ok, merci Camélia.


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