Bonjour,
je ne comprend pas ce que tu cherches à faire.
Ici la méthode directe fonctionne:
Fais tendre y vers x et regarde si f(x,y) tend vers f(x,x)=exp(x).

disons quà mon sens, la méthode directe n'est pas applicable à la formule générale de f vu qu'on se retrouve avec un truc du style 0/0.

à moins que je ne voie pas ce que tu entends par méthode "directe"...

mon problème est ici d'écrire la formules des accroissements finis dans ce cas loin (pour moi ) du classique f(0+h,0) ou autre.

euh escuse moi otto, mais si tu fais comme ca tu va montrer que f est continu vis a vis de chacune des variables, il me semble que vu la facon dont le sujet est posé il faut étudier la continuité vis a vis du couple de variable non ?



moi je ferais comme ca : deja remarque que par un changement de variable si c'est continu en (0,0) c'est continu en (a,a) qu'elle que soit a (en faisant le changement (x,y)=(x',y')+(a,a), (x,y)->(a,a) et (x',y')->(0,0)

et apres essai de majorer  |(exp(x)-exp(y))/(x-y) - 1 |  par quelque chose dont tu sais que sa tend vers 0 quand (x,y) tend vers 0... et pour ca utilise des inégalité type accroissement finit pour majorer exp(x)-x et exp(y)-y...

enfait le probleme si tu utilise un f(x,y)=exp(x)+ theta(x-y) qui va venir d'acroissement fini, c'est que la fonction theta va dépendre de y (ou de x) et donc tu ne sera pas plus avancé pour la continuité vis a vis de (x,y) !



enfait j'ai peut-etre encore mieux : exp(x)-exp(y) = integral de exp(t)dt pour t allant de x a y.

et donc :

exp(min(x,y))*|x-y|<|exp(x)-exp(y)|<|x-y|*exp(max(x,y))

et si tu sais déja que min et max sont des fonction continu (sinon, ca ce vérifie grace à la caractérisation séquentielle par exemple...) , et bien c'est gagné !

snif...

bon allez une troisieme solution, mais celle ci est simple :

(exp(x)-exp(y))/(x-y) = exp(y)* [(exp(x-y)-1)/(x-y)]

qui est un produit de fonction continu... ((x,y)->exp(y) est continu, et comme f:t->(exp(t)-1)/t est continu (en prolongent par f(0)=1 ) (x,y)->f(x-y) est continu... et hop c'est finit !!

en fait je crois que je me suis mal exprimée, désolée

je dois montrer grâce au TAF (et dieu sait que du taf j'en ai... ok je sors) que

f(x,y) = e^{x+ (x-y)}
avec [0,1] (le du TAF quoi)

et impossible de formaliser donc.

brrrr ça me prend la tête

ok je crois que j'ai trouvé
et ce que j'ai trouvé me dégoute des heures que j'ai passé à chercher ce qui était l'évidence même...

il suffisait d'appliquer un bête TAF à la fonction e^x avec h=x-y
et pif paf pouf

je vais me pendre

merci tout de même pour le soutien