bonjour;

soit Pn la proposition 2<=tn<=3

P0 est vraie par hypothese

Supposons Pn vraie et montrons Pn+1

2<=tn<=3
3<=t(n)+1<=4
ln(3)<=ln(tn+1)<=ln(4)
2ln(3)<=t(n+1)<=2ln(4)=4ln(2)

or e<3 donc ln(3)>1 donc 2ln(3)>2
on remarque aussi que 4ln(2)<3

donc on a bien 2<=t(n+1)<=3
la propriete Pn est hereditaire, donc pour tout n dans IN , Pn est vraie

soit f(x)=2ln(1+x)-x

f est derivable et sa derivee est contine sur [2,3 ]
donc d apres le theoreme des accroissement fini on a
comme tn et  appartiennent a [2,3]
|f(tn-1)-f(t*)|<=sup |f'(x)|*|tn-1-t*|
              x€[2,3]

comme ft(*)=t*, on a
|tn-t*|<=sup|f'(x)|*|t(n-1)-t*|

f'(x)=-(x-1)/(x+1)

on remarque que f' est decroissante et negative sur [2,3] donc
sup |f'(x)|=|f'(3)|=1/2

donc k=1/2

merci beaucoup mais tu à fait une petite erreur à la fin,|f'(3)|=2/3

qu as tu trouver pour f'?
(mais c est possible que je me sois trompe)

oups non attend,je crois avoir fait une erreur,je revérifi

je reverifie aussi

f(x)=2*ln(1+x)-x

f'(x)=2/(1+x)-1
     =[2-1-x]/(1+x)
     =(1-x)/(1+x)

k=2/3
f(x)=2ln(1=x)
f'(x)=2/(1+x)
x compris entre 2 et 3
x+1 compris entre 3 et 4
f' est décroissante
f'(3)<f'(x)<f'(2)
1/2<f'(x)<2/3
donc k =2/3

on a pas la meme fonction f
moi j ai f(t)=2 ln (1-x)-x

ce que tu as est la fonction auxilière.

autre question vite fait,on sait que tn converge vers t*,comment calculer t* a 10-1 près