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Niveau Maths sup
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acos(x)+bsin(x)+c=0

Posté par
ameline
27-10-13 à 11:09

Bonjour, je suis actuellement en première année de prépa MPSI.
Je bloque sur un exercice...
Merci d'avance pour votre aide.
Ameline

1. Soit x appartenant à R, différent de modulo 2, c'est à dire x +k2, k .On pose t=tan(x/2).

Exprimer cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t.  (Ca j'ai réussi)

2. Résolution de l'équation pour a, b, c appartenant à d'inconnue x
acos(x)+bsin(x)+c=0
par l'utilisation d'une inconnue auxiliaire : pour x +k2, k , on pose t=tan(x/2).

a- A quelle condition sur a, b, c les nombres +k2 (k ) peuvent-ils être solution de (E) ?

b- Résoudre l'équation précédente en séparant les deux cas ac et a=c.

Posté par
Newto_
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 11:19

Salut,

Tu as obtenu quoi  pour sin(x) et cos(x) en fonction de tan(\frac x 2) ?

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 11:24

J'ai obtenu
cos (x) = (1-t²)/(1+t²)
sin (x) = 2t/(1+t²)

Posté par
Newto_
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 11:39

Alors pour les conditions, quand tu développes ton équation en remplaçant avec t, elles apparaissent d'elles-mêmes

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:21

Je n'arrive pas à trouver...
J'obtiens
a-at²+2bt=-c(1+t²)

Posté par
Newto_
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:23

Maintenant quand tu isoles t une racine et un quptient apparaissent et ne sont valables que sous certaines conditions sur a,b et c

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:26

Bonjour
quelle drôle d'idée de chercher à résoudre quand il est juste demandé de voir si des nombres donnés sont solution ?

à quelle condition a-t-on a\cos (\pi + 2k\pi)+b\sin (\pi + 2k\pi)+c = 0 ?
de toutes façons tu ne peux pas le faire en passant par la tangente de x/2 qui n'est pas définie lorsque x =  \pi + 2k\pi

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:27

Surement... Mais j'ai extrêmement de mal à isoler les t.

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:29

n'isole pas les t ! tu n'as pas le droit de poser t = tan(x/2) tant que tu n'as pas établi que \pi + 2k\pi n'est pas solution !

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:30

Mais on pose t=tan(x/2) dès la première question.

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:34

non, pas pour résoudre l'équation
on prend justement la précaution de te faire voir dans quel cas tu pourras utiliser ce changement, et dans quel cas il faudra se débrouiller autrement.
fait les questions dans l'ordre !

Posté par
flight
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:35

je dirais pour a = c

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:36

je te signale que dans la première question c'est bien précisé :

Citation :
1. Soit x appartenant à R, différent de modulo 2, c'est à dire x +k2, k .On pose t=tan(x/2).

Exprimer cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t.

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:37

flight : il suffit de lire la question suivante pour le deviner, laissons la calculer a cos(pi + 2k pi) + b sin(pi + 2k pi) + c pour s'en convaincre ....

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:40

Ah oui, je comprends.
Je dois donc développer a cos(pi + 2k pi) + b sin(pi + 2k pi) + c=0 ?

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:43

développer ? il n'y a rien à développer? juste donner les valeurs des cos et sin, et conclure

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:44

j'obtiens bien a=c

Posté par
flight
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:46

dessine un cercle et fait varier k pour cos( + 2.k.)

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 16:54

Et maintenant que je sais ça, comment je fais pour la question 2b ?

Posté par
flight
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:00

2) le cas a=c donne pour solution x = mod(2)

le cas a c  fait appel à la resolution par le chgt de variable qui devrait t'amener à une équation

du second degré en t

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:02

Oui, j'obtenais a-at²+2bt=-c(1+t²)

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:02

'a pas besoin d'un cercle, depuis le temps qu'elle sait que cos et sin sont 2 pi périodiques !
mais oui, pi + 2k pi ne peut être solution que si a = c

donc pour la 2)b), si a différent de c, pas de danger que ça arrive donc là, tu peux passer en t = tan(x/2)

tu obtiens donc a(1-t²) + 2bt + c(1+t²) = 0

ne me dis pas que tu ne sais pas développer et réduire ça ? et puisque a distinct de c, justement, c'est bien un trinôme du second degré, je te laisse résoudre

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:03

Donc (c-a)t²+2bt+a+c=0

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:03

flight attention aux conclusions hâtives : si a = c, pi + 2k pi est solution, mais on n'a jamais prouvé que ce sont les seules ...

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:14

Je trouve, pour a différent de c
t1=(-4b)/(2(c-a))
t2=0

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:18

tu vois bien que 0 n'est pas solution de cette équation !
qu'as-tu trouvé comme discriminant ?

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:23

Je m'étais trompée.
Je trouve Discriminant=4b²-4c²+4a²

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:26

là je préfère !
tu as donc une condition sur a,b,c, pour que l'équation admette des solutions réelles ....

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:39

il faut que a²+b²-c² soit supérieur ou égal à 0.
Mais là on cherche x non ?

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:41

on cherche t pour en déduire x ...

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 17:56

Oui je suis d'accord, mais pourquoi faut-il une condition sur a, b et c ?

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 18:09

parce que si delta est négatif, il n'y a pas de solution ! tu as fait première et terminale, avant le supérieur, rassure moi ?

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 18:14

Oui, oui j'ai fait :/
Seulement, une fois que je sais que a²+b²-c doit être supérieur ou égal à 0 ça ne m'avance à rien. Je suis encore bloquée avec mon équation.

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 18:58

Je trouve t1=(-2b-(a²+b²-c²))/(2(c-a))

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 22:04

oui, et t_2 la même avec un + devant la racine

ensuite tu sais que t = tan(x/2), donc x/2 = Arctan t + k pi, donc x = 2Arctan t + 2kpi : ça te donne les solutions de ton équation, en remplaçant t par les deux valeurs ainsi obtenues.

il te restera à étudier le cas c = a : a(cosx - 1) + b sin x = 0. tu sais que tu as déjà les solutions x = pi + 2k pi
pour voir s'il y en a d'autres, tu peux refaire le changement t = tan(x/2), qui cette fois donne bt + 2a = 0, donc t = -2a/b etc : une deuxième famille de solutions

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 22:05

pardon, j'ai à moitié simplifié par 2 : il faut lire bt + a = 0, qui donne t = -a/b

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 27-10-13 à 22:07

entre parenthèses, il y a une condition supplémentaire pour avoir cette deuxième famille de solution : c'est que b différent de 0. si b = 0 l'équation revient à cos x = 1, elle n'a bien que pi + 2k pi comme solutions.

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 11:02

Merci beaucoup, par contre j'ai encore un problème...
Je dois vérifier que j'obtiens les mêmes résultats que ceux du cours obtenus par une autre méthode. Dans le cours on obtenait :
Si a=b=0 et c=0   S=R
Si a=b=0 et c0   S=
Si (a,b)(0,0)
  -si c²>a²+b²         S=
  -si c²=a²+b²         S=++k2
  -si c²<a²+b²         S=++k2 ; -+k'2

Où cos=a/(a²+b²)
   sin=b/(a²+b²)
   cos=-c/(a²+b²)  

Posté par
carpediem
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 11:17

salut

je ne traite pas le cas a = b = 0

soit d tel que d2 = a2 + b2

alors le triangle (a, b, d) est rectangle d'hypoténuse d

il existe donc u tel que

cos  u = a/d et sin u = b/d

alors

a cos(x) + b sin(x) = c <==> cos(u) cos(x) + sin(u) sin(x) = c/d <==> cos(x - u) = c/d

tout le reste en découle ...

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 14:05

Comment je fais pour montrer que
cos (2Arc tan((-2-(a²+b²-c²))/(2(c-a)))-u)=-c/((a²+b²))
?

Posté par
carpediem
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 14:29

quelle horreur !!! d'où sors-tu cette cochoncetées ?

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 14:37

Par la méthode de l'exercice j'obtiens
x=2arc tan ((-2-(4a²+4b²-4c²))/(2(c-a))+k2

Il faut donc que je montre que comme dans le cours x=++k2 ; -+k'2

Posté par
carpediem
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 17:17

arrête de copier-coller un cours fait pour les machine ...

de 11h17

si |c| > d il n'y a pas de solution

si |c| < d on peut poser c/d = cos(v) et résoudre l'équation ....

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 17:24

Oui mais sur le dm le prof a précisé : "On vérifiera que l'on retrouve bien les solutions de cette équation traitée en cours par une autre méthode"

Posté par
carpediem
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 17:27

passer par des arctan est une monstruosité sans nom ...

dis à ton prof que c'est un bourrin ....

Posté par
ameline
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 17:32

Si seulement je pouvais
Mais les dm c'est mon seul moyen d'avoir des points ^^

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 28-10-13 à 21:39

je te rappelle que tu as calculé au début de l'exercice cos x en fonction de t .... donc si ce n'est pas x qui t'intéresse mais son cosinus, utilise cette relation plutôt que l'arctan.

Posté par
Nixi
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 30-03-20 à 10:00

Bonjour,
Merci pour cette correction. Même si c'est un peu tard pour Ameline, voici une petite correction qui peut être utile à d'autres personnes pour le post de  27-10-13 à 18:58 :
Il manque un facteur 2 devant la racine, ce qui donne en simplifiant par 2 le numérateur et le dénominateur :
t1=\frac{-b-\sqrt{a²+b²-c²}}{c-a}
t2=\frac{-b+\sqrt{a²+b²-c²}}{c-a}

Posté par
lafol Moderateur
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 30-03-20 à 10:52

Merci pour cette relecture attentive
Ça m'avait échappé, il y a six ans et demi...

Posté par
Nixi
re : acos(x)+bsin(x)+c=0 30-03-20 à 11:14

J'ai utilisé cette démonstration pour trouver la valeur d'une rotation dans l'espace avec un quaternion.  
Utile en réalité virtuelle !

Je le dis juste pour que les étudiants se rendent compte qu'il y a des applications très concrètes à ces équations.

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