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Action fidèle et transitive implique simplement transitive

Posté par
Kernelpanic 24-09-19 à 19:07

Bonsoir à tous,

je bloque sur un exercice que j'ai vu ce matin en Algèbre et la correction me laisse perplexe.

"Soit G un groupe abélien (il a été barré par le prof, mais peut-être que ça a de l'importance ?...) opérant sur un ensemble E. On suppose que l'action de G est fidèle et transitive. Montrer que G est simplement transitif sur E."

J'arrive à montrer l'implication contraire même si c'est pas demandé mais pour l'implication simple...

Voici comment la preuve est esquissée pendant le TD :

Pour deux éléments x et y dans E, il existe g dans G tel que x = g . y .
Supposons qu'il existe g' dans G tel que x = g' . y = g . y, autrement dit tel que (g'^-1 * g) . y = y. Comme c'est vrai pour tout y de E, et que l'action de G est fidèle, g = g'.

Je ne comprends vraiment pas comment on conclut aussi vite. Pour utiliser l'hypothèse de l'action fidèle, il faudrait montrer que g'^-1 * g fixe tous les points de E, mais ça on en sait rien parce qu'en faisant varier y, bah le g varie aussi... Ou alors j'ai rien compris (je pense que c'est ça). Un peu d'aide s'il vous plait ?

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 24-09-19 à 19:13

Bonsoir,

x et y sont choisis arbitrairement dans E, en tenant compte du caractère transitif de l'action de G sur E. C'est finalement cet arbitraire et la fidélité de la dite action qui permet de conclure.

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 24-09-19 à 19:14

(...) qui permettent de conclure

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 24-09-19 à 19:31

Soit x, y dans E arbitrairement choisis. Puisque l'action est transitive, il existe donc g\in{G} tel que x=g.y. Maintenant, si h\in{G} est également tel que x=h.y, il vient immédiatement que \phi(g)(y)=\phi(h)(y) (où \phi est le morphisme structurel), d'où \phi(g)=\phi(h), en vertu de l'arbitraire sur y, et donc que g=h vu que l'action est fidèle, ce qui revient à dire que \phi est injective.

Posté par
Kernelpanicre : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 24-09-19 à 19:42

Bonsoir ThierryPoma, merci infiniment. Je n'arrêtais pas de me dire que si je change y, forcément le h et le g de votre rédaction allait bouger et donc tout tombait à l'eau mais on s'en fiche totalement au vu de l'arbitraire sur y. C'est quand même dingue de bloquer sur ce genre de petites choses niveau terminale.

Bonne soirée

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 24-09-19 à 19:42

Voici le morphisme structurel :

\phi:\left\{\begin{array}{rcl}\text{G}&\longrightarrow&\mathfrak{S}_{\text{E}}\\g&\longmapsto&\phi(g):{\left\{\begin{array}{rcl}\text{E}&\longrightarrow&\text{E}\\x&\longmapsto&\phi(g)(x)=g.x\\\end{array}\right.}\\\end{array}\right.

Posté par
mokassinre : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 25-09-19 à 07:50

Bonjour,
Je ne comprends rien à ce fil. Quel est ta définition de simplement transitive?

On est bien d'accord (surtout vu le abélien barré) que tu veux prouver qu'une action fidèle et transitive d'un groupe (abélien) est libre et transitive, et le caractère abélien est alors crucial, c'est faux sans ca.

SO(3) agit fidèlement et transitivement sur S², mais n'agit pas de manière libre et transitive dessus.

Les démonstrations données ci dessus sont fausses et ta remarque ici

Kernelpanic @ 24-09-2019 à 19:07

mais ça on en sait rien parce qu'en faisant varier y, bah le g varie aussi...

est totalement correcte.

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 25-09-19 à 14:09

Bonjour,

Reprenons. Supposons \text{G} commutatif et soit e son neutre. L'on suppose que \text{G} opère sur \text{E} fidèlement et transitivement. Soit (x,\,g)\in\text{E}\times\text{G} tel que \phi(g)(x)=x. C'est ainsi que, pour tout y\in\text{E}, il existe nécessairement g_y\in\text{G} tel que y=\phi(g_y)(x) (vu que l'opération de \text{G} sur \text{E} est transitive), de sorte que

\phi(g)(y)=\phi(g)(\phi(g_y)(x))=\phi(g\,g_y)(x)=\phi(g_y\,g)(x)=\phi(g_y)(\phi(g)(x))=\phi(g_y)(x)=y

L'opération de \text{G} sur \text{E} étant fidèle (i.e. le morphisme structurel étant injectif), il s'ensuit que g=e. L'opération de \text{G} sur \text{E} est donc simplement transitive, ce que l'on peut traduire comme suit : pour tous x, y\in\text{G}, il existe un unique g_y\in\text{G} tel que y=\phi(g_y)(x).

Désolé pour la méprise !!

Posté par
ThierryPomare : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 25-09-19 à 14:11

Errata :

(...) ce que l'on peut traduire comme suit : pour tous x, y\in\text{E}, il existe un unique g_y\in\text{G} tel que y=\phi(g_y)(x).

Posté par
Kernelpanicre : Action fidèle et transitive implique simplement transitive 25-09-19 à 19:37

Bonsoir, j'arrive après la guerre. Oui, l'hypothèse de commutativité est essentielle, je m'en suis rendu compte ce matin en reprenant à tête reposée. Je suis passé voir mon professeur après le cours magistral en lui exposant le problème, et il m'a en effet confirmé son erreur.

Bonne journée.


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