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Actions de Groupes
Bonjour,il y a un exercice dont je ne comprends pas un élément de correction, voici l'énoncé :
On suppose qu'un groupe G de 35 éléments opère sans point fixe sur un ensemble E de cardinal 19. Quel est le nombre d'orbites pour cette action ?
Correction :
Dire qu'aucun éléments de l'ensemble E est fixé par l'action de G, c'est dire que les orbites contiennent au moins 2 éléments : Pourquoi ?
A la fin du calcul on trouve qu'il y a 3 orbites ( deux à 7 éléments et une à 5 ).
Question complémentaire :
Ma première idée était d'utiliser la formule de Burnside en disant que le nombre d'orbites dans E était était
avec Fix(g) les points fixes de g dans E.
J'aurais alors dis que Fix(g) = 0 par l'énoncé, d'ou 0 orbites. Pourquoi ce résonnement est il faux ?
Tout groupe G a un élément neutre, dont le fixateur est égal à E donc la formule de Burnside ne donnera jamais 0 (sauf si E est vide évidemment, mais dans ce cas là l'action n'a aucun intéret)
Excuse-moi pour les délais, le site rame beaucoup.
Le stabilisateur d'un élément est un sous-groupe de G. De quel ordre un sous-groupe de G peut-il être, si G est d'ordre 35 ?
Alors quels sont les cardinaux possibles pour les orbites ?
Sachant par ailleurs que la somme de ces derniers doit être 19 (ils forment une partition de E), ça ne laisse pas beaucoup de possibilités...
Les seuls diviseurs de 35 étant 1-5-7-35 .
On peut exclure 35 car E est de cardinal 19, mais pourquoi peut on exclure 1 ?
Bonjour,
Si tu as bien en tête les définitions :
1°) L'orbite d'un élément sous l'action de
est l'ensemble des
pour
.
2°) Un élément est un point fixe pour l'action de
si et seulement si
pour tout
.
alors tu dois comprendre que est un point fixe pour l'action de
si et seulement si son orbite est réduite à un élément, à savoir lui-même.
Et par conséquent tu dois comprendre que l'hypothèse " opère sans point fixe" équivaut à "il n'y a pas d'orbite à 1 élément".
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