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Actions de Groupes

Posté par
Arthur68329
11-10-22 à 11:12

Bonjour,il y a un exercice dont je ne comprends pas un élément de correction, voici l'énoncé :

On suppose qu'un groupe G de 35 éléments opère sans point fixe sur un ensemble E de cardinal 19. Quel est le nombre d'orbites pour cette action ?

Correction :

Dire qu'aucun éléments de l'ensemble E est fixé par l'action de G, c'est dire que les orbites contiennent au moins 2 éléments : Pourquoi ?

A la fin du calcul on trouve qu'il y a 3 orbites ( deux à 7 éléments et une à 5 ).

Posté par
Arthur68329
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 11:18

Question complémentaire :

Ma première idée était d'utiliser la formule de Burnside en disant que le nombre d'orbites dans E était était

\frac{1}{card(G)}\sum{Fix(g)} avec Fix(g) les points fixes de g dans E.

J'aurais alors dis que Fix(g) = 0 par l'énoncé, d'ou 0 orbites. Pourquoi ce résonnement est il faux ?

Posté par
Ulmiere
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 11:43

Tout groupe G a un élément neutre, dont le fixateur est égal à E donc la formule de Burnside ne donnera jamais 0 (sauf si E est vide évidemment, mais dans ce cas là l'action n'a aucun intéret)

Posté par
Arthur68329
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 12:22

Mais est ce que c'est possible d'utiliser Burnside pour cet exercice ?

Posté par
Ulmiere
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 15:20

Excuse-moi pour les délais, le site rame beaucoup.

Le stabilisateur d'un élément est un sous-groupe de G. De quel ordre un sous-groupe de G peut-il être, si G est d'ordre 35 ?
Alors quels sont les cardinaux possibles pour les orbites ?


Sachant par ailleurs que la somme de ces derniers doit être 19 (ils forment une partition de E), ça ne laisse pas beaucoup de possibilités...

Posté par
Arthur68329
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 15:29

Les seuls diviseurs de 35 étant 1-5-7-35 .
On peut exclure 35 car E est de cardinal 19, mais pourquoi peut on exclure 1 ?

Posté par
GBZM
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 17:39

Bonjour,
Si tu as bien en tête les définitions :
1°) L'orbite d'un élément x\in E sous l'action de G est l'ensemble des g\cdot x pour g\in G.
2°) Un élément x\in E est un point fixe pour l'action de G si et seulement si g\cdot x=x pour tout g\in G.
alors tu dois comprendre que x est un point fixe pour l'action de G si et seulement si son orbite est réduite à un élément, à savoir lui-même.
Et par conséquent tu dois comprendre que l'hypothèse "G opère sans point fixe" équivaut à "il n'y a pas d'orbite à 1 élément".

Posté par
Arthur68329
re : Actions de Groupes 11-10-22 à 17:56

Ca parait logique quand vous le déroulez comme ça, Merci.



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