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Niveau maths spé
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Addition de variables discrètes

Posté par
ElGerrothorax
08-06-22 à 21:57

Bonsoir à tous et à toutes, je m'entraîne actuellement sur différents exercices type oraux G2E et je suis tombé sur un tout petit sujet qui de prime abord me paraissait classique mais qui me pose pourtant problème.

Une urne contient n boules numérotées de 0 à n-1. On effectue 3 tirages successifs avec remise. On note X, Y et Z les résultats obtenus successivement aux 3 tirages.
1) Calculer P(X+Y=Z)
2) Calculer P(X + Y + Z =n -1)

On a déjà manipulé pas mal de variables définies par des combinaisons linéaires de variables mais ici Z n'est pas défini par X + Y. C'est certainement très bête mais ça me bloque ;
Tout d'abord j'ai explicité le support pour les 3 variables qui est le même avec X(\Omega)=Y(\Omega)=Z(\Omega)=[0;n-1].
-> Les variables suivent une loi uniforme et P(X=k)=1/n

Après on pourrait exprimer P(Z=k)=P(X+Y=k)=\sum_{k=0}^{n-1}{P(X=k)\bigcap{P(Y=n-1-k)}}
Avec le fait que les deux variables sont à image dans n, expliquer qu'elles sont indépendantes et après faire notre calcul de somme.

Mais la question que je me pose c'est comment intégrer l'information que X+Y doit être à valeur dans Z(\Omega
: Est ce que je dois justifier que P(X+Y=Z) = 0 pour tout les X+Y > n-1?

Je serai aussi preneur d'idée de résolution pour la question 2, à part essayer de calculer un P(X+Y=n+1-Z) je ne vois pas trop quelle démarche serait intéressante.

Je vous remercie de votre attention et vous souhaite une bonne soirée.

Posté par
flight
re : Addition de variables discrètes 08-06-22 à 23:53

salut

avec un tableau la réponse du 1) est immediate  les lignes allant de 0 à n-1 et les colonnes de 0 à n-1    

Posté par
flight
re : Addition de variables discrètes 09-06-22 à 00:01

pour la question 2)  il s'agit de repartir  n-1 objets indiscernables dans 3 tiroirs

Posté par
carpediem
re : Addition de variables discrètes 09-06-22 à 08:16

salut

tout d'abord les variables X, Y et Z sont indépendantes et à valeurs dans [[0, n - 1]]

ensuite pour revenir à ta question

ElGerrothorax @ 08-06-2022 à 21:57

Mais la question que je me pose c'est comment intégrer l'information que X+Y doit être à valeur dans Z(\Omega
: Est ce que je dois justifier que P(X + Y = Z) = 0 pour tout les X + Y > n-1?
ben tout simplement la variable S = X + Y est à valeurs dans [[0, 2n - 2] et donc évidemment si S = Z alors nécessairement S < n

P(X + Y = Z) = \sum_{k = 0}^{n - 1} P(\{ (Z = k) \cap (X + Y = k)\}) = \sum P(Z = k) P(X + Y = k)

car X + Y est indépendante de Z

et le calcul de P(X + Y = k) se fait comme dans avec ta formule

pour 2/ c'est la même idée :

P(X + Y + Z = n - 1) = \sum_{k = 0}^{n - 1} P(\{ (Z = k) \cap (X + Y = n - 1 - k) \}= ...

Posté par
GBZM
re : Addition de variables discrètes 09-06-22 à 10:00

Bonjour Elgerrothorax,

Bon, je met aussi mon grain de sel. On a n^3 issues équiprobables : tous les triplets (x,y,z) de \{0,\ldots,n-1\}^3. Pour le première question, il suffit de compter combien il y a de "bons" triplets, ce n'est pas la mer à boire. Et pour la deuxième question, l'idée que tu avances en posant  ta question est bonne ; on peut la formaliser au moyen de la bijection (x,y,z)\mapsto (x,y,n-1-z) pour se ramener à la première question.

Posté par
ElGerrothorax
re : Addition de variables discrètes 15-06-22 à 07:19

Bonjour,
Je tiens à m'excuser pour la réponse très tardive. Je vous remercie pour vos différentes propositions car elles m'ont permis de comprendre ce qui me bloquait! Merci beaucoup et bonne journée.

Posté par
carpediem
re : Addition de variables discrètes 15-06-22 à 16:07

de rien et bonne journée



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