Bonjour.

On peut prendre comme contre-exemple un ensemble muni de la distance discrète si et si .

Quelle est la boule ouverte de centre et de rayon ? Quelle est son adhérence ?
Quelle est la boule fermée de centre et de rayon ?

Sinon, le résultat est vrai dans les espaces vectoriels normés, c'est-à-dire lorsque est un espace vectoriel, muni de la distance , où est une norme.

B(x,1) = {x}
B'(x,1)= X
Adh B(x,1)= {x} car il s'agit d'un fermé..
Je vois, merci beaucoup.

Bonjour

Juste pour le fun!

Dans je prends l'espace muni de la brave distance euclidienne. Regarde les boules ouvertes et fermées de centre (0,0) et de rayon 1, l'adhérence de la première et l'intérieur de la seconde!

Bonjour,

Dans R^2, considérons l'espace X = [-1, 2] x {0} U {(0, 1)}.

La boule ouverte de centre (0,0) et de rayon 1 est ]-1, 1[ x {0}.
La boule fermée de centre (0,0) et de rayon 1 est [-1, 1] x {0} U {(0, 1)}.
L'adhérence de la boule ouverte est [-1, 1] x {0}.
L'intérieur de la boule fermée est ]-1, 1[ x {0} U {(0, 1)}

conclusions : l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas forcément la boule fermée de même rayon et de même centre et l'intérieur d'une boule fermée n'est pas forcément la boule ouverte de même rayon et de même centre.

Merci beaucoup à Camélia pour cet exemple plus visuel que celui de la distance discrete.

-> Est-ce qu'il y aurait une preuve de la vérité du fait que dans un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une boule ouverte soit la boule fermé?

Oui, Adh B(a,r) est tjrs inclus dans la boule fermé dans n'importe quel espace metrique.
Si on se place dans un normé.

Soit x de la boule fermé.

La suite d'élément Xn = a/n + x.(n-1)/n de la boule ouverte tend vers x.

on peut facilement vérifier que ||Xn - a|| < r.

d'où l'autre inclusion.

Effectivement,

N (x - a) <= r
(n-1)/n < 1
d'où le résultat.

Merci pour la réponse.