Quelle est  ta définition de  " l'adhérence d'une partie "  dans un espace topologique ?

Et pourquoi une partie non vide ?

Bonjour. Selon ta définition de l'adhérence, c'est plus ou moins évident.

Une définition possible de l'adhérence est : l'adhérence d'une partie est le plus petit fermé contenant cette partie, obtenu en faisant l'intersection de tous les fermés contenant cette partie.

Une seconde possible est : l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points adhérents à cette partie, i.e. dont tout voisinage rencontre cette partie.

La première donne directement la réponse, c'est un fermé en tant qu'intersection arbitraire de fermés.

Dans le cas de la seconde définition, on doit justifier que l'adhérence d'une partie non vide est un fermé. Pour cela on peut montrer que le complémentaire de l'adhérence est un ouvert, ou de manière équivalente, voisinage de chacun de ses points...

La définition que j'ai lue me notifie que: l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points adhérents à cette partie..
Un point est dit adhèrent à une partie si tout voisinage de ce point rencontre cette partie...
J'ai essayé la preuve de:l'adhérence d'une partie est fermée. En montrant que son complémentaire est ouvert... Mais je n'aboutis pas...

Soient A une partie non vide de ton topologique E ,  A ' son adhérence  et B = E \ A ' .
Tu veux montrer que B est un ouvert .
C'est réglé si B est vide .
     Sinon , tu prends x   B .
      Il existe donc au moins un ouvert  V de E tel que x V et V A = .

    On n'aurait pas V contenu dans B  ?

V contenu dans le complémentaire de A.. Mais je ne vois pas comment  V est contenu dans le complémentaire de l'adhérence de A.

Un point de V peut-il adhérer à A ?

Oki, je vois. Non ce n'est pas possible, vu que  tout voisinage contenu dans V d'un point x de V ne rencontre A...
Mais j'ai aussi pu montrer que l'adhérence d'une partie est l'intersection de tous les fermés contenant A..
Merci.

Donc l'adhérence de A est fermé