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Adhérence d'une partie non vide

Posté par
Danog97
07-08-18 à 14:13

Comment montrer que l'adhérence d'une partie non vide est fermée...

Posté par
etniopal
re : Adhérence d'une partie non vide 07-08-18 à 14:24

Quelle est  ta définition de  " l'adhérence d'une partie "  dans un espace topologique ?

Posté par
jsvdb
re : Adhérence d'une partie non vide 07-08-18 à 14:25

Et pourquoi une partie non vide ?

Posté par
SkyMtn
re : Adhérence d'une partie non vide 07-08-18 à 15:18

Bonjour. Selon ta définition de l'adhérence, c'est plus ou moins évident.

Une définition possible de l'adhérence est : l'adhérence d'une partie est le plus petit fermé contenant cette partie, obtenu en faisant l'intersection de tous les fermés contenant cette partie.

Une seconde possible est : l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points adhérents à cette partie, i.e. dont tout voisinage rencontre cette partie.

La première donne directement la réponse, c'est un fermé en tant qu'intersection arbitraire de fermés.

Dans le cas de la seconde définition, on doit justifier que l'adhérence d'une partie non vide est un fermé. Pour cela on peut montrer que le complémentaire de l'adhérence est un ouvert, ou de manière équivalente, voisinage de chacun de ses points...

Posté par
Danog97
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 08:30

La définition que j'ai lue me notifie que: l'adhérence d'une partie est l'ensemble des points adhérents à cette partie..
Un point est dit adhèrent à une partie si tout voisinage de ce point rencontre cette partie...
J'ai essayé la preuve de:l'adhérence d'une partie est fermée. En montrant que son complémentaire est ouvert... Mais je n'aboutis pas...

Posté par
etniopal
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 08:40

Soient A une partie non vide de ton topologique E ,  A ' son adhérence  et B = E \ A ' .
Tu veux montrer que B est un ouvert .
C'est réglé si B est vide .
     Sinon , tu prends x   B .
      Il existe donc au moins un ouvert  V de E tel que x V et V A = .

    On n'aurait pas V contenu dans B  ?

Posté par
Danog97
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 08:56

V contenu dans le complémentaire de A.. Mais je ne vois pas comment  V est contenu dans le complémentaire de l'adhérence de A.

Posté par
etniopal
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 09:11

Un point de V peut-il adhérer à A ?

Posté par
Danog97
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 09:26

Oki, je vois. Non ce n'est pas possible, vu que  tout voisinage contenu dans V d'un point x de V ne rencontre A...
Mais j'ai aussi pu montrer que l'adhérence d'une partie est l'intersection de tous les fermés contenant A..
Merci.

Posté par
jsvdb
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 11:29

Danog97 @ 08-08-2018 à 08:30


Un point est dit adhèrent à une partie si tout voisinage de ce point rencontre cette partie...
J'ai essayé la preuve de : l'adhérence d'une partie est fermée. En montrant que son complémentaire est ouvert... Mais je n'aboutis pas...


Et pourtant, il suffit juste de prendre la négation de la définition puisqu'à toute proposition sur les ouverts correspond une proposition sur les fermés (ou les adhérences) et vice versa.

Un point x sera donc non adhérent à une partie A s'il existe un voisinage de x qui ne rencontre pas A.
Donc le complémentaire de l'adhérence de A est voisinage de chacun de ses points. Donc il est ouvert.

Posté par
jsvdb
re : Adhérence d'une partie non vide 08-08-18 à 11:43

Donc l'adhérence de A est fermé



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