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adhérence et d'un ensemble

Posté par
hiimgosu 10-12-17 à 17:43

Bonjour , c'est une question de mon ds à laquelle je n'ai pas pu répondre pendant le ds mais à laquelle j'ai pensé apres :
on note C l'ensemble des fonctions continues de [0,1] à .
V0 l'ensemble des fonction f éléments de C s'annulant en 0 .
on note fn(t)= t^n pour tout n dans .
Montrer que f0   Ad(V0) .
Pour cela , j'ai essayé de chercher une suite de fonctions qui appartient  à V0 et dont la limite converge vers f0 .
d'apres la def de fn , f0=1 ,j 'ai donc pensé a la suite Vn(t)= 1-exp(-nt) , cette fonction est bien continue sur  [0,1] , elle s'annule en 0 donc appartient a V0 , et tend vers f0=1 en l'infini .
Je voudrais donc savoir si ma réponse est correct ou pas .

Posté par
hiimgosure : adhérence et d'un ensemble 10-12-17 à 17:55

l'avant dernière phrase ... Biensure quand n tend vers l'infini ...

Posté par
luzakre : adhérence et d'un ensemble 10-12-17 à 18:34

Bonsoir !

Citation :
et tend vers f0=1 en l'infini .

Ce n'est pas la limite de la fonction f_n que tu cherches mais la limite (selon une norme que tu ne donnes pas) de la suite de fonctions n\mapsto f_n.

..........................................................
Si f_n(t)=t^n je ne crois pas que f_0(0)=1...

A mon avis la fonction vérifie \forall t\in\R^*,\;f_0(t)=1 mais pas f_0(0).
.....................................................
Tu devrais indiquer la norme (ou la topologie) choisie dans C pour qu'on comprenne ce que signifie ton "adhérence".

Posté par
hiimgosure : adhérence et d'un ensemble 10-12-17 à 19:57

Merci pour ta réponse et tes précisions luzak ,
Enfait on nous a précisé que 0^0 = 1 donc f0(0)=1
En effet , je n'ai pas fait attention a la norme avec laquelle on travail , c'est la norme 2 : tq
N2(f) = (f²(t)dt) , ( integ de 0 à 1 ) , du coup la suite choisi ne marche plus mais j'ai bien compris mon erreur , je chercherai ...

Posté par
perroquetre : adhérence et d'un ensemble 10-12-17 à 21:38

Bonjour, hiimgosu.

Ton idée est correcte, la suite (V_n)_{n \in \mathbb{N}} converge bien vers f_0 pour la norme 2. En effet:
N_2(V_n-f_0)= \sqrt{ \int_0^1  e^{-2nt} dt} =\sqrt{\frac{1-e^{-2n}}{2n}}  
\lim_{n\rightarrow +\infty} N_2(V_n-f)=0
Et ce dernier résultat montre que la suite (V_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers f_0 pour la norme 2.

Posté par
hiimgosure : adhérence et d'un ensemble 10-12-17 à 22:00

Merci pour ta réponse perroquet , oui elle convient bien .
Cela dit , a votre avis y'a-t-il d'autre solutions ?


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