Niveau maths spé

adhérence matrice diagonalisable

Posté par
alb1du29 06-10-18 à 15:57

Bonjour,
je bloque face à cet exercice de topologie, j'ai réussi le début mais je n'arrive pas à voir le lien avec la suite : montrer que $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\chi_M$ (pol. caracteristique)est scindé sur $\mathbb{R}$ il existe $P \in O_n(\mathbb{R})$ et $T \in \mathcal{T}^+_n(\mathbb{R})$ telles que $M=PTP^{-1}$ . En déduire l'adhérence des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Pour la première partie j'ai réussi en "transformant" la matrice de passage par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Par contre je ne vois pas du tout le lien avec la question suivante. J'imagine qu'il faut sûrement utiliser la compacité de $O_n(\mathbb{R})$ et peut-être utiliser des suites de matrices mais je ne vois pas comment et en quoi la question précédente aide. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Bonne journée !

Posté par adhérence matrice diagonalisable 06-10-18 à 17:11

bonjour,
Une idée
Je pense qu'il utiliser le fait que $Det(Xid-M)=det(P(Xid-M)P^{-1})=Det(PXidP^{-1}-PMP^{-1})=Det(Xid-T)=\prod_{i=1}^{n}(X-\lambda_i})$ car $(Det(P)=Det(P^{-1})=1$

Il me semble donc qu'il faut faire intervenir l'adhérence dans l'ensemble des polynômes de $\mathbb{R}[X]$ des polynômes de la forme $\prod_{i=1}^{n}(X-\lambda_i})$ de degré n qui s'annulent pour n réels $\lambda_i$

pour quelle topologie ?

Posté par re : adhérence matrice diagonalisable 06-10-18 à 18:00

@DOMOREA :
"qui s'annulent pour $n$ réels $\lambda_i$ " : il n'est pas sûr qu'il y ait $n$ racines distinctes...
Et les normes sont équivalentes en dimension finie !

@ alb1du29 :
Que signifie $T \in \mathcal{T}^+_n(\mathbb{R})$ ?

Si c'est l'espace des "trigonales supérieures" il me semble que c'est un fermé.
Si $E$ désigne l'ensemble des matrices scindées, peut-être considérer l'application

$\varphi : O_n(\R)\times\mathcal{T}^+_n(\mathbb{R})\to E,\;\varphi(P,T)=PTP^{-1}$

Posté par adhérence matrice diagonalisable 06-10-18 à 18:43

oui c'est que je voulais dire en poursuivant ce fil.
l'ensemble des polynômes $\chi_M$ que j'avais définies est manifestement fermé donc il est égale à son adhérence et ainsi il faut que le polynôme caractéristique $\chi_M$ soit scindé donc M $\in T^+_n(\mathbb{R})$

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