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Aide exercice diagonalisation,...
Bonjour,
J'ai un exi sur les matrices diagonalisable etc..., et il y a quelques questions dont je ne suis pas sur de mes réponses et des questions qui me restent sans réponses.DOnc si quelqu'un pouvait m'aider svp?
Soit a et b 2réels,
on a A une matrice:
0 1 0
A=0 0 1
ab -(a+b+ab) a+b+1
1)Déterminer le polynôme caracteristique Xa de A.
(moi je trouve (1-
)(²-(a+b)+ab) est-ce bon?)
2)Soit v1 le vecteur de composantes (1,1,1).Calculer Av1.
(je trouve que Av1= v1 cad (1,1,1)(en colonne))
3)En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
(j'ai déjà 1 comme vp, mais les autres je ne les trouves pas ainsi que les sous-espaces propres.un peu d 'aide svp
?)
4)Déterminer l'ensemble des couples (a,b) tels que A soit diagonalisabe.
(alors là aucune idée...)
Merci beaucoup.
Bonjour Helmut Perchut,
il faut continuer la factorisation de ton polynôme caractéristique P(µ)=(1-µ)(µ-a)(µ-b) (j'ai mis µ à la place de lambda par commodité de frappe clavier)
donc les valeurs propres sont {1,a,b}
Tu as V1 comme vecteur propre effectivement
pour trouver les autres vecteurs propres bien il faut résoudre AV=aV et AV=bV
Salut
pour la 4 tu fais les differents cas:
1)a=1;b=1
2)a différnt de 1; b=1
3)a=1; b diffrent de 1
4)a différent de 1; b diffrent de 1; a=b
5)a différent de 1; b diffrent de 1; a différnet de b
A chaque fois tu regardes si la dimension du sousespace propre vaut la multiplicité de la valeur propre dans le polynome annulateur.
PS: pour la cas 5; le polynome est scindé, de racines simples donc directement diagonalisable.
chaque sousespace a en effet comme dimenision 1 qui est la multiplicite de chaque racine!
A+
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