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Aide exercice diagonalisation,...

Posté par helmut perchut (invité) 31-08-04 à 15:13

Bonjour,

J'ai un exi sur les matrices diagonalisable etc..., et il y a quelques questions dont je ne suis pas sur de mes réponses et des questions qui me restent sans réponses.DOnc si quelqu'un pouvait m'aider svp?

Soit a et b 2réels,
on a A une matrice:

  
  0     1     0
A=0     0     1
  ab   -(a+b+ab)   a+b+1

1)Déterminer le polynôme caracteristique Xa de A.
(moi je trouve (1-)(²-(a+b)+ab) est-ce bon?)

2)Soit v1 le vecteur de composantes (1,1,1).Calculer Av1.
(je trouve que Av1= v1 cad (1,1,1)(en colonne))

3)En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
(j'ai déjà 1 comme vp, mais les autres je ne les trouves pas ainsi que les sous-espaces propres.un peu d 'aide svp?)

4)Déterminer l'ensemble des couples (a,b) tels que A soit diagonalisabe.
(alors là aucune idée...)

Merci beaucoup.

Posté par
dad97 Correcteur
re : Aide exercice diagonalisation,... 31-08-04 à 16:36

Bonjour Helmut Perchut,

il faut continuer la factorisation de ton polynôme caractéristique P(µ)=(1-µ)(µ-a)(µ-b) (j'ai mis µ à la place de lambda par commodité de frappe clavier)

donc les valeurs propres sont {1,a,b}

Tu as V1 comme vecteur propre effectivement

pour trouver les autres vecteurs propres bien il faut résoudre AV=aV et AV=bV

Salut

Posté par Guillaume (invité)re : Aide exercice diagonalisation,... 31-08-04 à 17:01

pour la 4 tu fais les differents cas:

1)a=1;b=1
2)a différnt de 1; b=1
3)a=1; b diffrent de 1
4)a différent de 1; b diffrent de 1; a=b
5)a différent de 1; b diffrent de 1; a différnet de b

A chaque fois tu regardes si la dimension du sousespace propre vaut la multiplicité de la valeur propre dans le polynome annulateur.
PS: pour la cas 5; le polynome est scindé, de racines simples donc directement diagonalisable.
chaque sousespace a en effet comme dimenision 1 qui est la multiplicite de chaque racine!

A+

Posté par helmut (invité)re : Aide exercice diagonalisation,... 31-08-04 à 17:49

et ben merci beaucoup pr ttes ces indications.



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