Bonjour, pouvez vous m'aidez pour ce dm car je bloque sur pas mal de question. Je dois rendre cet exo la semaine prochaine et notre prof nous a un peu pris de court! Je vous accorde que ce dm est long mais si vous pouviez m'aider sur certaine question je vous en remercie par avance.

Soit p une application dérivable sur R+. On considère l'équation différentielle :
(E) (1-e^(-x))y'(x)+y(x)=p(x)
Partie I
On note G et F les applications de R+* dans E définies par :
V x € R+*,    G(x)= int(e^t*p(t)dt ,0,x     et       F(x) = (1/(e^x-1)) *G(x)
1) Montrer que G et F sont des applications de classe C1 sur R+*.
2)     a) Déterminer le développement limité de G au voisinage de 0 à l'ordre 2. En déduire le développement limité de F au voisinage de 0 à l'ordre 1 : F(x)=p(0)+(x/2)*p'(0)+o(x)
b) En déduire que F est prolongeable par continuité en 0. On notera encore F la fonction prolongé ; préciser F(0). Montrer que F est dérivable en 0 et préciser F'(0).
3) Résoudre sur R+* l'équation différentielle :
(Eo)    (l-e^(-x))y'(x)+y(x)=0.
Indication : on pourra remarquer que (Eo)  équivaut à y'(x) + (e^x/(e^x-1))*y(x) = 0.
4) Montrer que F  vérifie (E) sur R+*.
5)     a) Exprimer la solution générale de (E) sur R+*.
b) Vérifier que F est l'unique solution de (E) sur R+* possédant une limite finie quand x tend vers 0.
6) La fonction F est-elle une solution (E ) sur R+ ?
7) On suppose dans cette question que l'application p est décroissante sur R+.
a) Montrer que pour tout x réel strictement positif on a : p(x) <=F(x). Ce résultat demeure-t-il pour x = 0 ?
b) En déduire que F est décroissante sur R+.

Partie II.
On suppose dans la suite du problème que Vx € R+,    p(x) = e^(-x)
1)     a) Déterminer explicitement F(x).
b) Donner un développement limité de F à l'ordre 2 au voisinage de 0.
c) Dresser le tableau de variation de F sur R+.
2)     a) On note $ la primitive de F sur R+ et s'annulant en 0.
Montrer que     Vx >= 4,    x <= e^(x/2) — 1     puis que     Vx >=4,    F(x)<=1/( e^(x/2) + 1) <=  e^(-x/2)    En déduire que la fonction $ est bornée sur R+
b) Etudier les variations de $ sur R+. En déduire que $(x)admet une limite finie quand x tend vers +00.
Partie III.
Point admis :
Dans cette partie, A désigne la limite de $(r) quand x tend vers +00. On admettra le résultat suivant :
A=lim(Som(1/k²),k,1,n) (n tendant vers +00)
1) Montrer que pour tout t réel et pour tout n entier naturel non nul on a :
2sin(t/2)(cos(t)+…+cos(nt)=sin((2n+1)/2)t-sin(t/2)
2) Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout entier naturel k on a :
int((at+bt²)cos(kt)dt,0,pi)=1/k²
3)     a) On pose pour tout t réel, t €]0,pi], g(t)=(at+bt²)/(sin(t/2)) et g(0)=2a
là) Montrer que la fonction g ainsi définie est continue sur [0,pi].
b) Montrer que g est dérivable sur ]0, PI] et donner g'(t) pour t € ]0,pi].
c) Vérifier que g'(t) admet une limite finie quand t tend vers 0. En déduire que g est de classe C1  sur [0,pi].
4) Montrer que pour tout fonction h de classe C1 sur [0, PI], la suite int(h(t)sin((n+t/2)t)dt,0,pi
tend vers 0 quand n tend vers +00.
5) Déduire des parties II et III :  A = pi²/6

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