Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Aide pour 2 propositions
Bonsoir à tous, j'ai un petit problème sur 3 propositions. Un ami et moi ne sommes pas d'accord sur 2 propositions et nous n'arrivons pas à trancher.
1)"Si f est définie au voisinage de 0, lim(x->0)f(x)=2 et si(un) est une suite convergente vers 0, alors f(un) converge vers 2."
Je pense que cette proposition est vraie du fait que la suite et la fonction convergent vers la même valeur.
2)"On peut trouver une fonction f continue sur l'intervalle [0,1] qui s'annule une infinité de fois mais qui ne soit pas identiquement nulle sur aucun sous intervalle de [0,1]."
Je pense que cette proposition est vraie car si on prend par exemple la fonction cos(kx), avec k qui tend vers l'infini, la fonction va s'annuler une infinité de fois sans pour autant être nulle sur tout l'intervalle.
3)"Si f est une fonction définie sur [-1,1] par f(x)=|x|-1. Comme f(1)=f(-1)=0, il existe un réel c dans ]-1,1[ tel que f'(c)=0"
Ici je pense qu'il s'agit tout simplement du théorème de Rolle appliqué à un exemple.
Voila merci de me dire si c'est juste ou non et si possible de m'expliquer pourquoi c'est faux.
Bonne soirée 
La proposition 1 n'est pas toujours vérifiée.
Il faut que la fonction f soit continue pour avoir lim f(Un) = lim f.
Pour la proposition 2, la fonction que tu choisis ne marche pas... A cause du hasardeux passage à la limite que tu effectues. Je crois bien que cette proposition est fausse aussi. Elle est clairement fausse si f est lipschitzienne (l'orthographe est-elle juste ?). Mais ici f n'est pas forcément lip, elle est juste uniformément continue (un fonction continue sur un intervalle est uniformément continue). Si je trouve un truc, je le mettrai à la suite.
Pour la proposition 3, il faut que tu fasses attention, parce que le théorème de Rolle ne fonctionne qu'avec les fonctions C1. Ici, ta fonction n'est que continue, sa dérivée n'étant pas continue. Tu ne peux pas l'appliquer.
D'ailleurs, la dérivée n'est pas très difficile à calculer, et tu peux vérifier qu'elle est égale à -1 sur [-1;0[ et égale à 1 sur ]0;1].
Pardon, pour rolle, il faut simplement dérivable sur l'intervalle ouvert. Mais ca marche quand même pas, puisque que ta fonction n'est pas dérivable en 0.
La premiere proposition est juste, en effet soit e>0 et m>0 tel que |x|<m implique |f(x)-2|<e.
Soit alors N assez grand au delà duquel |un|<m.
Par choix de m, si n>N, |f(un)-2|<e
Ceci prouve que f(un tend vers 2 quand n tend vers l'infini.
La deuxième proposition est juste, considérons par exemple la fonction :
f : x -> x.sin(1/x) si x>0
0 si x=0
- Elle est continue (il suffit de le vérifier en 0, ailleurs c'est par théorème de composition, et comme il est clair que f(x) est compris entre -x et x, par encadrement elle tend vers 0 en 0).
- Elle s'annule en x=0 et en tout les 1/k
pour k>0 entier. Ce sont ses seuls points d'annulation (car les seuls points d'annulation de sin sont les k pour k entier). C'est un ensemble discret (dénombrable) donc en particulier, en particulier il ne contient aucun sous-intervalle non restreint à un point de [0,1] (un tel sous-intervalle a la puissance du continu donc est indénombrable).
Ceci prouve que f répond à la question posée...
Enfin la proposition 3 est fausse car la dérivée de f prend la valeur 1 au delà de 0, -1 en deça et n'est pas définie en 0.
En fait le théorème de Rolle s'applique qu'aux fonctions dérivable (pas seulement C1)
Merci pour la correction.
J'avais confondu avec le fait que lim(f(Un))=f(lim(Un)) qui n'est vraie que pour f continue...
Pour la seconde proposition, ta fonction marche bien effectivement. Je n'avais pensé qu'à sin(1/x) qui n'est pas continue en 0.
Sinon, j'avais corrigé mon erreur de la 3. 
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac