bon pour la limite c'est plutot court avec un developpement
limité:
ln(1+x) = x+ o(x)

donc lim (ln(1+x)/x) =1
         x->0

Maintenant pour :f' 0 => f croissante

Soit (x,x') dans I² (I l'intervalle d'etude) tq :

         x<x'

f est continue sur[x,x'] et dérivable sur ]x,x'[:
par l'égalité des accroisements finis il existe c dans ]x,x'[
tq:

      f(x)-f(x')=f'(c) (x-x')

or f'(c) 0 par hypothèses et x-x'<0

donc f(x)-f(x') 0

ainsi    pour x<x' on a f(x)f(x')

f est croissante.